基于积极学习心理培养的“集合的概念”教学

管军

[摘  要] 好的开始等于成功的一半！“集合的概念”是高中数学的开篇课，是学生步入高中最先学习的数学内容，集合的概念及其表示方式也是贯穿高中数学始终的重要知识，“开篇有益”对学生高中数学学习影响深远，好的“开篇”应该催生出积极学习心理，帮助学生树立正确的数学观念和思维方式.

[关键词] 集合;概念;积极学习心理;核心素养

“集合的概念”是学生步入高中的第一节课，同时集合又是贯穿高中数学始终的重要概念. “一个健全的心态比一百种智慧更有力量！”笔者认为，我们高中数学第一堂课除了要让学生习得集合的概念外，还应该注重培养他们的数学思维方式和积极学习心理. 问题情境的创设应尽可能从学生熟悉的数学内容出发，消除“陌生感”，搭好“脚手架”，让学生在第一节课就能体验到探究的乐趣和成功的喜悦，形成正面力量，让他们对学好整个高中数学知识产生期待，继而更早地适应高中数学学习.

消除“陌生感”，催生积极学习心理

理解教学内容，把脉学生的学情基础是上好课的前提. “集合的概念”是学生从初中走向高中的开篇课，“集合”是一种数学语言，因此也是学生跨越初中、高中后“用数学语言表达世界”的开始，新教材在情境的设置上做到了准确定位，有效衔接，能够让学生在第一次学习高中数学时感到既熟悉、有趣，又有深度，在理解概念的过程中消除知识陌生感，催生积极学习心理[1].

教材的设置从初中数学学习中容易完成的“作业”出发，展现了一堆数字，有“正数集合”“负数集合”“整数集合”“分数集合”，让学生将数填到对应的“集合”中. 教材中的例题情境设置的目的是指导教师在选择教学内容时可以从学生熟悉的，尤其是体验过的，有成就感的数学内容出发，消除学生对高中数学知识学习的陌生感. 同时，自然生成问题.

问题1：生活中我们还有哪些与“整数集合”相似的例子？

学生可以列举质数、奇数、偶数、实数等数学知识;也可以列举诸如：家庭成员，班级男生、女生等例子. 这些例子的呈现不仅仅是简单的模仿，而是在为抽象的“集合”概念建立提供感性认知基础，同时自然联系到“对象”“元素（元）”等次位概念.

问题2：什么是集合？

由“整数集合”到生活中的实例，让学生对“集合”概念初步的认识显得格外自然，从开始呈现的“初中作业”出发，联系到“Venn图”表示法（如图1）（这一过程能够让学生看到直观的“Venn图”，而且让学生感受到初中对其就熟悉只是不知其名而已），由此自然生成“有没有更为简明的数学语言表述呢？”这也为学生深度理解“一个且只有一个”的“确定性”本质特征做了铺垫.

与老教材相比，新教材在“集合”概念的建立上显得直接且更具有数学味. 不过，这不是让我们教师直接抛出概念，而是要在第一课就让学生意识到数学是“理性与抽象的结合物”，一个概念的建立必然会经历从“分析具体对象”到“抽象数学概念”过程，在此过程中体悟数学思想，如“集合”概念的建立就渗透着整体思想（集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”）. 联系“初中数学概念”让学生感悟到“数学概念”都是一些“对象”的集合，且揭示出集合内“对象（元）”的共同属性. 而概念建立过程中让学生类比着列举生活中的例子（通过列举可以让学生感受到“对象”的广泛性，即可视化的任何事物都可以成为“元素”），是丰富感性认识的过程，有利于学生对“集合”“元素”等概念的认识.

撘好“脚手架”，静待素养自然生长

有效的学习一定是学生有意义自主建构的过程. 而学生从初中刚刚步入高中，自主建构不应该是“无根”生长的状态. “集合的概念”这节课不仅仅只有“集合”这个概念，而是“概念组”课. 在“集合”的主概念下不仅有开始导入新课时的一系列“数集”，还涉及“元素”“相等集合”“子集”“补集”“空集”“有限集”“无限集”等概念，另外在概念建立的过程中还涉及诸多数学方法. 那么，如此多的内容在高中的第一节数学课上出现，在学生对“集合”有了初步的认识后，如何组织学生深度学习呢？笔者认为“灌输”或“一问到底”均难以达到促进学生数学核心素养长足发展的要求，相反可能会导致部分学生因为体验不足被“当头一棒”，甚至会诱发“习得性无助”继而怕数学. 高中数学起始阶段教学正确的做法是结合教学内容和学生认知特点搭好“脚手架”，引领学生拾级而上，在实践和解决具体的问题中实现核心素养的自然生长[2].

如，我们通过预设问题和适当引导给学生搭建“脚手架”，启发学生在分析和解決问题的构成中自主归纳集合中元素的特征;教会学生用“列举法”“描述法”描述集合;用具体的例题促进学生内化“元素与集合的关系”.

环节1：自主归纳集合中元素的特征

问题1：如果把咱们班全体同学看作一个集合，那么某次调整位置后该集合变化了吗？

问题2：下列各组对象能够构成集合的是哪些？（1）所有接近于0的数;（2）全体的近似值;（3）平面内到坐标原点距离等于1的所有的点.

借助于问题串引导学生在分析问题的过程中感受集合中的元素具有“确定性”（用于判断元素是否组成集合的依据）、“无序性”（判断集合是否发生变化的依据）、“互异性”等特征. 在学生弄清楚集合中元素的特征后，自然生成问题.

问题3：如何简明表示元素和集合的确定性关系呢？

教师先引导学生用a∈A与a？埸A刻画某元素a与集合A之间的关系，然后在此基础上提出具体的问题促进概念内化.

问题4：若x为集合A中的元素且满足x∈N，∈N，则A中的元素有哪些？

问题4是在问题3认知基础上的延展，学生要解决问题4需要进行定量计算，探究易得A中的元素为0，1，2. 问题结果自然催生出新的认知需求，即如何表示集合A呢？借此可以向下一个环节自然衔接.

环节2：制造认知冲突让“集合表示方法”自然生长

问题4的解决实际上就是“列举”，借此介绍问题4中的集合可以用A={0，1，2}表示，自然衔接到用“列举法”表示集合（观察总结出“一一列举”“大括号”“逗号隔开”等特征）. 接下来，可以以此为基础继续搭建脚手架，引导学生认知生长.

问题5：请同学们尝试表示下列集合，

（1）在1～20范围内所有素数组成的集合B;

（2）由方程x2=x所有的实数根组成的集合C;

（3）不等式x-3<7的解集D.

对于问题5中的（1）（2）是在学习了“列举法”后的方法应用，学生可以用列举法得到B={2，3，5，7，11，13，17，19};C={0，1}. 但是对于（3）的集合D，学生没办法用列举法表示了，认知冲突形成，在建立“描述法”概念前，可以适当追问引发学生自主总结和归纳出“描述法”.

追问1：集合D中的元素有什么性质？元素和集合之间的关系如何表示呢？

教师先引导学生认清“共同特征”，归纳出一般的描述法{xp（x）}并完成问题5中的（3）;再以此为基础继续追问，引导学生在思考过程中实现认知范围的发展.

追问2：所有整数的集合、偶数的集合、奇数的集合、有理数的集合如何表示呢？

追问3：你认为用描述法表示时，注意点有哪些呢？

学生认知是螺旋式发展的，“描述法”表示集合本身就是本节课的重点、难点，教学过程中不应急于求成，而要低起点、慢节奏、高密度设置台阶，静待学生认知自然生长，体现“慢”的艺术. 借助于上述追问，学生通过交流与讨论可以总结出用描述法表示的多个关注点：要写清楚集合中元素的符号，如明晰点或数;要明确集合中元素的共同特征;不可以用未被说明的字母表示等等. 接着趁热打铁，用具体的数学情境引导学生解决问题，获取成功体验，催生积极心理品质，力求高达成[3].

问题6：请用描述法表示，

（1）大于4的所有偶数的集合;（{xx=2n，n∈Z且n≥3}）

（2）第一象限内所有的点的集合. （{（x，y）x>0，y>0}）

问题6的“脚手架”设置是前面3个追问的深度挖掘和延展，学生对描述法有了更为深刻的理解，此时教师可引导学生自主总结出用描述法表示集合的具体步骤. 这实际上是学生掌握“数学语言”的体现，在高中数学的第一节课教师就帮助学生树立了“用数学语言表达现实世界”的意识，同时培养学生建模意识、提炼解决问题方法的意识，这无疑是学好高中数学的一个良好开端.

环节3：综合性问题引导学生跳着摘桃

前面两个环节帮助学生积攒了足够的能量和经验，最后可以尝试着结合学生的学情，从最近发展区出发设置具有一定综合性、能力要求较高的问题，要求学生跳一跳摘桃. 学生在解决复杂的综合性问题的过程中获得更大的成就感，从第一节课便开始注重培养自身的积极学习心理[4].

问题7：已知非空集合A满足以下条件：若a∈A，则∈A，且1？埸A.

（1）若2∈A，试着分析并求出集合A中的其他元素;

（2）求证：若a∈A，则∈A;

（3）求证：集合A中的元素个数大于等于3.

问题7的解决指向集合与元素的综合关系，三个子问题的设置指向本节课的所学内容，该问题的解决既是对学生学习效果的一种检测，也是促进学生内化所学知识的载体.

当然，有效的“脚手架”一定是具有延展性的，如问题4中的集合A和问题5中的集合B与集合C可以作为下节课相关概念的“熟悉情境”，让学生初步体验数学概念之间的脉络，为形成集合单元的思维导图打实基石，探索积极学习心理的路径，培植他们探索“未知”的信念，为实现“兴趣是最好的老师”做实基本实践.

结语

笔者认为：万事開头难，因此教师在教学集合单元第一课时，一定要认真研究学生已有的数学知识水平和数学素养水平，在备课环节预设学生熟悉的或是学生可能在课堂中生成的事例，以方便学生真实体验数学概念建立的过程，让每个学生都可以通过独立思考并结合生生、师生合作学习获得新知，催生他们的积极学习心理. 课后笔者再运用访谈、配套练习检验学生课堂学习的效果，帮助学生形成学习高中数学的闭环，同时培植学生深度学习的原动力. 为了让“均衡教育”真正落地，教师必须扣紧学生学习高中数学的“第一颗扣子”.

参考文献：

[1]  陈婧亭.如何将操作经验内化为数学经验[J]. 教育实践与研究，2012（1A）.

[2]  汤炳兴. 在概念教学中“学数学做数学用数学”[J]. 数学教育学报，2002，11（4）.

[3]  王光明，佘文娟，廖晶，王兆云. 高效率数学学习高中生的元认知特征及其教学意义[J]. 教育科学研究，2017（4）.

[4]  王光明，张晓敏，王兆云. 高中生高效率数学学习的智力特征研究[J]. 教育科学研究，2016（3）.