核心素养下数学试卷讲评课教改尝试

施小山

[摘  要] 促进学生核心素养的大背景下，避免陷入“就题论题”的低效模式，笔者做了一些新的尝试. 笔者认为，我们需要抛开课型的规定形式，牢牢把握试卷讲评的本质，以能力培养为立意，以过程性教学为抓手打通学生的思维，以变式训练为抓手完成数学思想和方法的提炼和建构，有的放矢地提升核心素养.

[关键词] 数学试卷;讲评课;核心素养;培养

问题的提出

试卷讲评课作为一种重要课型，在高三数学复习阶段占据着重要地位，其根本目的是巩固知识、纠正错误、提升能力和促进反思. 由于高中数学抽象概括性强、选拔要求高，从而造成了学生数学成绩上的巨大差异. 同样的一节试卷讲评课，倘若照顾到学困生，则易导致学优生“吃不饱”;倘若就着学优生，则易使得学困生“吃不下”. 如何解决这一困境？不少教师会采取中庸之道，以典型问题作为选题依据进行实际讲评，这样的讲评策略是否可行？笔者经过一段时间的实践后，发现这样的讲评方式下，一些不懂或做错的题目，学生都能认真听讲，参与探究;而一些已懂或做对的题目，哪怕是教师多次强调解法的优选，学生貌似都无法全神贯注地听讲，参与探究也是漫不经心，从而错失反思和提升的机会.

新课程改革下，更加关注学生的个性化和多样化的学习和发展需求，着力发展学生的核心素养，从而依托课程模式开展教学改革尝试，目的是改变传统的试卷讲评模式，提升试卷讲评的针对性和精准性，让试卷讲评实现育人模式的转型. 下面以一次试卷讲评课为载体，谈谈笔者对相关问题的理解.

教学片段实录

问题1：如图1，已知点O是△ABC的重心，AB=6，OA⊥OB，则·的值为________.

分析：一般来说，一切行为皆源于目的，而为了达到目的，需要采取一些有效方法. 高三复习中的试卷讲评，目的是通过分析达到提升数学素养和综合素质的目的. 本题并非试卷上最具典型性的一道试题，但却是具有代数与几何双重性的代表问题. 不少学生在解题的过程中，只能从其中的一个方面着手解题. 笔者选择该题作为讲评典范的目的是为了通过讲评充分暴露学生的思维，通过解决一道问题引领学生追根溯源，拓宽学生的思维空间，最终实现对一类问题的探究.

师：一般情况下，我们都是通过什么方法求向量数量积的？对于本题，在考试中你又是如何思考的呢？

生1：本题中，和的模与夹角都是未知的，那就需要从目标向量的数量积着手进行转化. 具体解法如下：如图2，连接CO后延长，与AB相交于点D. 因为点O是△ABC的重心，所以点D为AB的中点. 又因为AB=6，OA⊥OB，所以OD=3，所以OC=6. 从而·=（+）·（+）=·++·+2=·（+）+2=2·+2=72.

生2：我的思路与生1类似，但却是通过关键性条件“和互为相反向量”来求解的. 解法如下：如图2，连接CO后延长，与AB相交于点D. 因为点O是△ABC的重心，所以点D为AB的中点. 又因为AB=6，OA⊥OB，所以OD=3，所以OC=6，DC=9. 从而·=（+）·（+）=·++·+2=·+（+）·+2=-9+0+81=72.

师：生1和生2均是通过平面向量的基本定理转化为向量解题的，充分展现了化归数学思想. 尽管是一般解法，但解题思路非常漂亮，其他同学都明白了吗？还有其他的解题思路吗？

生3：求解数量积的一般方法也包括将向量等式平方这一思路.

师：对，但又会是什么样的向量等式呢？

生3：只有等号的一边为和时，平方后才会得出·的形式. 解法如下：如图2，连接CO后延长，与AB相交于点D. 因为点O是△ABC的重心，所以点D为AB的中点. 又因为AB=6，OA⊥OB，所以OD=3，所以OC=6，DC=9. 据+=2，-=，平方后相减，可得4·=4×81-36=288，所以·=·=72.

師：生3较好地运用了函数与方程数学思想完美地解决了问题，非常好！是否还有其他方法呢？

生4：建系.

师：如何操作呢？

生4：因为AB的长度是已知的，所以可以以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建系. 又因为OA⊥OB，所以点O在一圆上. 解法如下：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系. 因为AB=6，OA⊥OB，所以点O为圆x2+y2=9上的一点. 又因为点O是△ABC的重心，所以点C为圆x2+y2=81上的一点. 设C（x，y），则有·=（x+3，y）·（x-3，y）=x2+y2-9=72.

师：向量的代数性主要表现在坐标法上，而如何建系则是解决问题的关键所在. 生4牢牢把握了问题的本质，充分运用“垂直”与“重心”这两个条件来解决问题，等于抓住了解题的命脉.

生5：建系的方法仅此一种吗？这里有OA⊥OB，那直接以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建系不是更好吗？

生6：可OA和OB的长度都未知啊！

生5：建系后一样可以设求啊！

师：那具体说一说解法.

生5：以点O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建系. 设A（a，0），B（0，b），则有C（-a，-b），所以·=（-2a，-b）·（-a，-2b）=2（a2+b2）=72.

师：哇！这样的建系方式更加完美地体现了坐标法运算的优势，非常棒！刚才这5位同学的解法从不同的角度阐释了向量的数量积，为我们展现了丰富多彩的策略. 经过本题的探求，你们是否对向量的数量积有了不同的认识呢？事实上，在高考中，对于此类问题的考查难度不大，但也并非“一眼望穿”的类型，从而我们需要在最短的时间内找准方向，优化解题路径. 下面，我们一起来看看大家是否能真正做到既快又准地解题.

问题2：已知△ABC中，S△ABC=，BC=2，AC-AB=1，则·=________.

解法1（坐标法）：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线所在直线为y轴建系，则B（-1，0），C（1，0）. 设A（x，y）在x轴上方，据AC-AB=1<2，得出点A的轨迹为4x2-=1x<-. 据S△ABC=·2·y=，可得y=，x=-，所以·=（-1-x，-y）·（1-x，-y）=x2+y2-1=+3-1=.

解法2（定义法）：设AB=x，则AC=x+1，cosA==，sinA==. 又因为S△ABC=x（x+1）sinA=·==，则4x2+4x-19=0. 所以·=·cosA=x（x+1）·==.

评析：笔者觉得寻求问题的最优解法是解决问题通性通法的必要条件. 在解决问题2时，不少学生在运用定义法求解的过程中没有做到一气呵成，原因在于当解决到sinA=时，不少学生已经提前预知后面的过程过于烦琐，从而丧失了探求欲望，最终导致解题失败. 从上述两种解法看出，尽管问题都得以解决，但从解题过程的简洁性出发，坐标法的確优于定义法，所以教学中需要注重过程，将发现简洁解法的机会大智若愚地让给学生，从而使得学生的思维不断发散.

启示与思考

试卷讲评课中，学生最为关注的是试题的对与错，而并非教师的讲评过程，从而“就题论题”讲评在高三数学试卷讲评课中是最不可取的. 据上分析，我们需要牢牢把握试卷讲评的本质，以能力培养为立意，借助适当的抓手提升学生的思维品质，实现育人模式的转型.

1. 以过程性教学为抓手，打通学生的思维

在过程中打通思维，本质上就是通过过程性教学培养学生的分析能力. 那么，如何注重过程呢？又该如何有效地实施有过程性的讲评教学呢？笔者认为，最重要的是需要充分展示学生的思维过程，让学生及时暴露思维的“闪光点”和存在的问题，从而促使思维不断深入. 本课中，教师关注到讲评的过程，从学生的具体学情出发灵活调控教学过程，将课堂教学的主体地位交还给学生，将质疑问难的权利交给学生，将发掘多种多样解法的专利让给学生，将切身体会分析过程的机会留给学生，让学生在经历审题、思考、纠结、疑惑、顿悟等一系列过程中，有效地建立思想、发展思维和形成能力.

数学学习终究离不开解题的本质，由于解题方法的优化往往要求较高的思维品质，因此通过一题多解、一法多思等，有利于提升学生的思维强度和思维层次，完善思维品质.

2. 以变式训练为抓手，完成数学思想和方法的提炼和建构

思想是方法的源泉，而方法形成于思想的指导下. 那么，何来思想？笔者认为，需要在教学的过程中自然渗透并借助适当的抓手进行总结和反思，形成迁移能力. 心理学认为，一些行为在初步形成时需要及时强化，否则即会消退. 本课中，对于这个数学问题，我们将解法分析得十分清楚和透彻，并及时以变式训练为抓手进行强化，于是既有了总结，又有了概括、提炼和整合，从而便有了升华，学生自然洞察了其本质，形成了迁移能力.

就这样，从一个问题出发，让一个或几个问题得到解决，使学生获得解决一类问题的通法，从而形成数学“习题链”，促成数学“习题网”，最终提高学生数学解题的收益率.

总之，高三数学试卷讲评需打破传统教学中“就题论题”的束缚，不断挖掘数学精髓，通过过程性探究打通学生的思维，通过变式训练完成数学思想和方法的提炼和建构，将知识网络的建构与核心素养的培养、智力的发展有机统一起来，提升学生的思维层次和数学核心素养.

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