初中数学教学中学生数学思维的培养

连元坤

[摘  要] 在不同的背景之下，对数学思维的理解是有所不同的，而不同的理解往往对应着不同的教学实践行为. 对核心素养视角下的数学思维的理解，应当包括这样两个方面：一是数学思维是“数学的思维”，二是数学思维是“数学地思维”. 考虑到数学学习活动是学生获取数学知识、提升学科素养的主要载体，那么教师所设计的数学学习活动应指向高阶思维的发展，数学思维的培养一定要抓住思维的基本特征. 思维的多向性是高阶思维的根本体现，也是初中数学教学中培养学生数学思维能力的一个重要抓手.

[关键词] 初中数学;数学思维;思维培养

数学思维的培养，是初中数学教学永恒的主题. 对于数学思维的价值，历来受到数学教学研究者以及教师的重视，普遍认同的一个观点就是：在数学学习当中，最为重要的一部分就是培育学生的数学思维，当学生拥有良好的数学思维后，学生往往能够更好地运用自己的知识储备进行有效的迁移，解决在练习过程中的问题. 需要注意的是，在不同的背景之下，对数学思维的理解是有所不同的，而不同的理解往往对应着不同的教学实践行为：在追求数学知识价值的时代，数学思维服务于学生知识的建构;在追求数学思想和方法的价值的时代，数学思维起着支撑学生理解数学思想和方法的作用;在课程改革中，数学思维又与数学思想和方法一起，被包括在三维目标中. 当下的初中数学教学，追求核心素养的培养，那么在核心素养的背景之下，数学思维又应当如何理解呢？数学思维的培养又应当如何进行呢？对这些问题的回答，笔者在实践中进行了探究. 现以人教版“三角形的稳定性”的教学为例，略谈笔者的一些思索.

核心素养视角下数学思维的

理解

从核心素养的表述来看，其中强调的关键能力离不开具体的思维支撑，因此培养学生的数学思维就是为关键能力的形成打基础;从数学学科核心素养的表述来看，六个要素中与数学思维关系最为直接的，当属逻辑推理，一个基于严密数学逻辑进行推理的过程，必然是数学思维的过程. 但实际上其他的要素与数学思维也密切相关，比如说离开了数学思维就谈不上数学抽象，数学抽象的关键在于剥离实际事物中的非数学因素，这就需要判断什么样的因素是数学因素，什么样的因素是非数学因素，这显然是数学思维的结果. 反之，如果没有数学思维，那么数学抽象就很难获得成功. 具体来说，对核心素养视角下的数学思维的理解，应当包括这样两个方面：

一是数学思维是“数学的思维”. 思维是一个广泛的概念，在任何学科中都能谈及思维，因此数学思维实际上是思维的一个下位概念. 在数学学科的视野下理解思维，也就是所谓的数学思维，首先必须强调的一点就是数学思维是“数学的思维”，数学思维是隶属于数学的. 当学生开始锻炼数学思维的时候，意味着是带着数学知识与数学工具去锻炼思维的.

比如“三角形的稳定性”这一知识，从生活的角度来看，“稳定性”有“固定”的意思，而从数学的角度来看，稳定性则是指“三角形的边长、内角是固定的值”. 尽管两个理解中都有“固定”的内涵，但唯有从边长、内角大小等角度去界定，这才是真正的以“数量”去描述“图形”，是数形结合思想的体现，彰显着数学思维的价值.

二是数学思维是“数学地思维”. 如果说“数学的思维”是一个静态的概念的话，那么“数学地思维”就是一个动态的概念. “数学地思维”与数学学科核心素养的关系在于其是对“用数学的眼光观察事物，用数学的逻辑判断事物，用数学的语言描述事物”的高度概括，意味着学生在学习的过程中有观察、判断和描述的动态需要，意味着学生是伴随着这些过程完成数学学习的.

比如，“三角形的稳定性”这一知识中，给学生提供生活中的一些三角形图形（如图1），要让学生“数学地思维”，就必须让他们在“为什么房梁要设计成这个形状”这一问题的驱动之下进行思考. 只有这样学生才会有意识地进行数学抽象，并进行适当的推理，最后用语言来描述. 这样的一个动态过程就是“数学地思维”过程，学生的思维能力可以在这样的过程中得到充分的培养.

基于核心素养的数学思维培养

既然当前教育的大背景是培养学生的核心素养，那对于初中数学学科而言，就要在这样的背景之下去培养学生的数学思维. 考虑到数学学习活动是学生获取数学知识、提升学科素养的主要载体，那么教师所设计的数学学习活动应指向高阶思维的发展（学生思维能力培养的标志，就是从低阶思维走向高阶思维）. 在目标设计的时候要突出关键能力导向，在内容设计的时候要突出问题任务导向，在过程设计的时候要突出主体实践导向，在评价设计的时候要突出批判反思导向. 只要满足了这些条件，那么学生在实际的学习过程中就能够投入高阶的学习活动，进而经历锻炼高阶思维的过程，最终发展高阶思维能力.

例如，在“三角形的稳定性”这一知识的教学中，笔者在设计教学目标的時候，就特别强调“要让学生通过有效的数学抽象与逻辑推理，得出三角形具有稳定性”这一目标，因为在笔者看来，只有明确了这两个要素（实际上当学生得出三角形具有稳定性这一认识之后，数学建模这一要素也得到了体现），才能让学生带着数学意识去锻炼思维.

而在具体的内容设计与过程设计中，笔者重点设计了一个充满对比性的数学实验过程. 也就是分别让学生用准备好的学具（若干根可以连接的木片），然后分别去组成三角形、四边形、五边形等，再分别去扭动，看它们的形状是否发生改变. 通过学生的体验与比较可以发现，唯有三角形的形状是不会改变的. 由于这是一个学生自己体验的比较过程，因此学生可以形成比较深刻的直觉性认识，这一认识中有一个很重要的比较思路，即促使学生思考“三角形的形状不会改变说明了什么”. 教师此时可以顺着学生的思维提出一个问题：“如果从数学的角度来看三角形的这一特征，那应当如何来描述？”这实际上是一个将学生的思维从一般性思维引向数学思维的过程，而在这一问题的驱动之下，学生的思维也就更加具有数学意味，他们会思考“三角形的这种固定，如果用数学语言来描述，那么应该如何描述？”思考过程中学生给出的答案是具有阶梯性的，比如有学生刚开始认为“只要一个图形的边或者角固定不变，那就说明这个图形是稳定的”，后来才发现不应当是“或”，而应当是“且”. 为了阐述这一观点，学生也举出了相应的例子，比如平行四边形在变化的过程中边的长度不变，又比如说用皮筋绷成的三角形可以在角度不变的情况下改变边的长度. 学生能够主动地想到这些例子来证明自己的观点，就说明学生处于一个深度思维的状态，具有了高阶思维的水平，是学生的数学思维能力得到培养的实实在在的过程.

数学思维的培养要抓住基本

特征

著名美籍匈牙利数学家乔治·波利亚，在他的经典著作《怎样解题》中曾经这样启发学生：解决数学问题要善于联想——你以前见过它吗？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？这样一段通俗的表述，深刻地见识了在初中数学教学中数学思维的重要价值以及具体的运用策略. 也就是说在数学教学过程中，要让学生在面对新问题的时候，从已有的经验中寻找蛛丝马迹，进行广泛的联系，这样往往可以将思维的触角伸向陌生的领域. 在这个过程中，笔者以为必须特别强调：数学思维的培养一定要抓住思维的基本特征.

在众多特征中，笔者想重点强调的是思维的多向性. 所谓思维的多向性，就是从不同的角度思考问题，既思前因，又思后果，扩大思路有所突破. 这种多向性具体表现在能自如地从一种心理运算转换到另一种性质不同的心理运算过程. 这是高阶思维的根本体现，也是初中数学教学中培养学生数学思维能力的一个重要抓手，瞄准学生的思维，多向性去培养学生的数学思维能力，既可以让学生的数学思维具有一定的深度，又可以让学生的数学思维具有一定的广度. 在同时满足了深度和广度这两个要求之后，学生在新的数学知识学习以及新的数学问题解决过程中，往往能够进行更为广泛的联系，进行更加深度的推理，而只要做到这一点，就不仅培养了学生的数学思维能力，也促进了数学学科核心素养的落地.

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