一道平面几何问题的多解和多变教学解析

刘一凡 陈算荣

[摘  要] 平面几何是初中数学的重要组成部分，几何图形千变万化，解题角度多种多样. 文章以一道平面几何问题为例，通过对其进行一题多解和一题多变的教学分析，阐述如何在解题教学中发展学生的直观想象和逻辑推理素养.

[关键词] 平面几何;直观想象;逻辑推理;一题多解;一题多变

平面几何是初中数学的重要内容，学生在平面几何问题解答过程中的思维表现与直观想象和逻辑推理素养息息相关，因此，平面几何问题解决的教学自然关联着这些素养的落实和发展. 本文以一道平面几何问题为例，通过解题教学分析，阐述如何引导学生抓住几何图形中给出的边和角的信息，主动关联与之相关的几何知识，开展直观想象，进而找到问题解答的有效路径，并在后续的论证和求解过程中发展学生的逻辑推理素养. 此外，通过对问题进行变式，实现对原题信息不同角度的挖掘，从而进一步发展学生的数学核心素养.

2. 由数量关系联想位置特征，开辟数形结合的蹊径

教学分析：教师可以启发学生思考：当我们从“形”的角度一时难以突破时，我们可以借助什么？我们学过哪些方便我们进行数形结合的模型？在学生思考的基础上，教师进一步引导学生：由“∠A+∠B=90°”这个条件可以得到DA和CB有何位置关系？存在互相垂直的两条线段为建立什么数学模型提供了可能？学生在教师问题串的引导下可以得出：建立平面直角坐标系. 接着，自然地“看”出以DA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以两条直线交点为原点建系. 合理建系后，要求线段EF的长度，便可通过确定点E、点F的坐标来完成. 由两线段垂直关联到平面直角坐标系这一思维过程有助于学生发展直观想象的核心素养，利用坐标将几何关系转化为数量关系也可以大大降低求解难度.

变式设计意图：原题中的“中点”信息主要用于运用“直角三角形斜边中线定理”，而缺少对“中位线”知识的关联，所以本文设置变式1以弥补这一缺憾. 另外，变式1弱化条件，实现了对梯形这一特殊图形的一般化.

教学分析：此题即求当点G位于何处时，EG=FG. 要求的是一个等量关系，而由题已知的等量关系是：AD=BC，那么就要考虑如何在EG，FG与AD，BC之间建立数量联系. 再次审题，“点E，F分别为DC，AB中点，点G为对角线DB上一动点”，教师可以启发学生：我们学过哪些与“中点”有关的数量关系？并引导学生思考图中的对角线将四边形转化为了什么图形？通过师生、生生之间的对话、讨论，使学生自己得出“三角形中位线定理”. 在这一过程中，教师带领学生从待求结论出发，回溯题目条件，通过逻辑推理厘清条件与结论、条件与条件之间的关系，将任务清晰化. 并且引导学生由条件中的几何信息、图形中的线条意义展开想象，进行直观感知. 学生通过亲历这些思维过程，在潜移默化中养成这样的思维习惯，对发展逻辑推理、直观想象素养大有裨益. 需要注意的是：构造四边形的对角线是处理四边形问题的常用方法，对角线这条辅助线的添加，将学生较为陌生的任意四边形转化为学生熟悉的三角形，体现了转化的数学思想方法. 教师需要鼓励学生在日常解题中积累几何问题辅助线的添加方法，并将其内化，实现挥洒自如，这有助于提升学生的直观想象能力.

变式设计意图：变式2亦是将原题中的“中点”信息与“中位线”知识进行关联，变式1侧重于考查中位线的数量关系，而变式2侧重于考查中位线的位置关系. 此外，变式2以变式1为抓手，实现了对变式1中所积累的辅助线添加方法的应用，因此学生能够主动关联、直观想象，并从中感知到积累辅助线、发展直观想象素养的裨益.

教学分析：变式2的解题关键是将题中分散的三条长度信息通过合理转化整合在一起. 此题辅助线的添加反映了一种通过图形展开的想象力：教师可以引导学生由“中点”联想学过的知识，在学生关联到“中位线”的基础上，教师引导学生思考中位线一般适用的图形：题中的任意四边形能转化为梯形吗？能转化为三角形吗？如何将其转化为三角形呢？这时，经过变式1 的练习，学生对构造四边形对角线已有经验，所以学生能够从积累的辅助线添加方法中进行合理提取，构造出对角线及其中点. 这一过程发展了学生的直观想象素养，也提高了学生主动积累辅助线添加方法的积极性，而这种积累又为进一步提升学生的直观想象素养打下基础. 接着，根据已知条件联系相关知识，对这些几何图形进行逻辑推理，完成求解过程.

变式设计意图：几何最值求解问题、动点问题都是中考的热门问题，几何图形的变换、运动也是几何直观的重要内容，可以使学生经历数学观察、数学操作等具体感知过程，整体把握图形与图形之间的关系，学会用运动变化思想分析问题，于是我们对变式2进行改编，得到变式3，使问题由静变动，从而发展学生对动态几何的直观想象素养.

教学分析：对于动点问题，教师可以引导学生多画图（作出几个具体情况下的点的位置），使学生通过画图直观感受图形变换中的变与不变. 再对这些具体的點进行分析，利用直观想象感知动点的完整轨迹，进而直观地发现变化过程中的最值位置;利用逻辑推理，从特殊情况入手，归纳出变化中的不变，并推广到一般情形. 此题中点E的位置（圆心）和ED的长度（半径）都是不变量，得到动点的运动轨迹（圆）后，利用转化思维，原问题就转化为求圆周上一动点D′到圆内一定点F的距离的最小值，根据圆的有关性质，最值的求解就水到渠成了.

教学启示

直观想象素养的发展需要学生积累几何经验，逻辑推理素养的发展需要学生养成严谨的数学习惯. 在几何教学过程中，教师可以鼓励学生多画图、观察图形、合理想象，利用几何图形中边和角的条件信息获得辅助线的添加方法;可以通过一题多解、一题多变对基本图形、辅助线常用添加方法等进行归纳、积累，使学生能够对几何图形进行直观判断与合理联想，“看”出解题思路. 同时，教师要注意直观想象与逻辑推理之间的密切联系，要在做题时提醒学生：利用直观想象得出的结论需要经过逻辑推理给出严谨的证明，进而提升学生的逻辑推理能力. 教师要引导学生在具体解题过程中，首先利用直观想象直接感知几何图形的特征、性质，联想所学知识，“看”出解题思路，再借助逻辑推理进行验证，给出完整严密的解题过程.

参考文献：

[1]何维安，邹一心，奚根荣，文竹. 平面几何常用解题方法[M]. 上海：东方出版中心，2003.

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[3]李永杰，王申怀. 新课标下平面几何变式教学几例[J]. 数学通报，2011，50（1）.

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