概括：揭示概念的形成过程

周杨

[摘  要] 数学概念是教学的核心，概念教学要在概念发生和发展的过程中揭示其“本来面目”，让学生参与概念本质特征的概括过程，感悟概念形成的必要性、必然性、合理性.

[关键词] 概念教学;概括;形成过程;方差

多次观摩“方差”的教学，看到的大多是沉闷的课堂，教师往往将方差的概念及计算方式直接告知学生，教师讲得乏味，学生学得无趣. 这样的做法，学生虽然比较容易掌握方差的概念及其计算方法，但是学生难以理解为什么要用方差来描述数据的离散程度. 这样的做法体现得更多的是一种记忆认识，学生不会真正掌握日后研究其他描述数据的一般方法;这样的做法生硬、教条，机械的训练不会让学生感受到学习的乐趣，不会让学生认识到探索问题的方法和策略. 概念教学的关键就是要让学生深知建立这个概念的必要性. 方差的教学价值，就是让学生发现用方差来描述数据的离散程度的必要性、必然性、合理性.

内容及内容解析

1. 内容

本节课为苏科版九年级数学上册“3.4 方差”的新授课.

2. 内容解析

一组数据主要描述其集中趋势和离散程度. 离散程度，即观测变量各个取值之间的差异程度. 通过对随机变量取值之间离散程度的测定，可以反映各个观测个体之间的差异大小，从而也就可以反映分布中心的指标对各个观测变量值代表性的高低;通过对随机变量取值之间离散程度的测定，可以反映随机变量次数分布密度曲线的瘦俏或矮胖程度. 学生已学过用平均数、中位数、众数描述一组数据的集中趋势，本节课将学习如何描述一组数据的离散程度. 方差是描述一组数据离散程度的重要特征数，方差越大，数据越不稳定;它全面、平均地表示一组数据的离散程度，是最常用的描述数据离散程度的统计量之一，广泛应用于比较实际事物的整体性、均匀性和过程的稳定性、均衡性. 方差对学生统计观念的形成有着重要的作用.

本节课的教学重点是理解方差的概念，会计算简单数据的方差. 为了引导学生学习方差，逐步了解方差产生的必要性与形成过程，理解方差的概念，通过三个层次让学生不断产生认知冲突，在认知冲突中理解方差. 当多组数据的平均数、中位数、众数都相同时，学生会感受到统计量不够用，从而形成第一次认知冲突，激发学生猜想到最大值与最小值的差，即极差. 在原有数据的基础上修改数据，当平均数、中位数、众数、极差都相同时，形成第二次认知冲突，学生通过画图观察，得到数据波动的大小;为了量化数据波动的大小，计算各个数据与平均数的差，当发现差的和为零时，学生会进一步修正为差的绝对值的平均数，也就是平均差. 继续修改数据，当多组数据的平均差也相同时，形成第三次认知冲突，此时将绝对值修正为平方，也就是各个数据与平均数之差的平方的平均数，这样方差的公式就自然合理地产生了.

在上述整个方差学习的过程中，学生经历了观察、猜测、计算、验证等活动过程，充分感悟方差的形成过程，深入理解方差的概念，了解方差产生的必要性. 概念教学的关鍵就是要让学生深知建立这个概念的必要性，让学生掌握研究其他描述数据的一般方法，认识到探索问题的方法和策略.

目标及目标解析

1. 目标

（1）经历刻画数据离散程度的探索过程，体会方差的统计意义;

（2）掌握方差的概念，会计算简单数据的方差;

（3）了解方差是刻画数据离散程度的一个常用的统计量，并在具体情境中加以应用.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志是：在经历画图、观察、探索及量化数据离散程度的过程中，体验方差可以反映数据的波动状况，刻画数据的离散程度，增进对方差意义的了解，体会方差的作用.

达成目标（2）的标志是：会计算一组数据的方差，用方差来描述数据的波动程度，进一步理解方差的概念.

达成目标（3）的标志是：根据统计的结果，对具体数据的集中趋势、离散程度做出简单的判断，对事例数据的发展变化做出简单的预测.

3. 教学问题诊断

由于学生刚刚学习了数据的集中趋势，学生可能会习惯于用所学的平均数、中位数、众数去解决生活中的统计问题，所以研究数据波动的必要性需要学生充分体会. 由于方差的计算公式较复杂，学生难以记忆，而且为什么要这么算、方差公式的合理性也使得学生疑惑不解. 正是理解的困难造成记忆、计算和应用的困难，这些都需要教师在遵循学生的认知规律的基础上借助典型实例加以说明. 在具体的实例中，若数据较多较大，则会影响学生的探究乐趣，故在选取实例时不宜选用数据较多较大的实例. 在对统计的结果进行解释时，受以前数学学习结果的是非判断原则的影响，学生容易将统计的结果以简单的“对错”为判断标准. 因此在实际情境中，不能合理选择统计量进行分析，对于统计结果不会有合理的解释. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是了解方差产生的必要性和形成过程，体会方差算法的合理性.

教学过程设计

1. 创设情境，引入极差

甲、乙两位运动员在射击选拔比赛中，各射击了5次，成绩如表1所示（单位：环）.

问题1  现在要选派一位运动员去参加比赛，如果你是教练，你准备怎么办？用数据表达你的观点.

追问  我们发现平均数、中位数、众数都一样，无法选择. 为了稳中求胜，我们要研究两位运动员的稳定性. 你能看出谁更加稳定吗？用数据表达你的观点.

师生活动  教师提出问题并引导学生思考，用数据阐明自己的看法. 学生计算两组数据的平均数、中位数、众数后，发现这三个量都是一样的，此时产生了认知冲突，由此激发学生去寻找另一种量来描述甲、乙两位运动员射击成绩的优劣. 学生经过小组合作交流，想到用最大值减去最小值，也就是用极差来描述，由此引出本节课的主题：描述数据离散程度的量.

设计意图  联系生活实际，激发学生的学习兴趣. 以两名运动员的射击成绩创设情境——两组数据的平均数、中位数、众数都相同，设置为5次成绩，简化计算，易于探究. “问题1”复习了平均数、中位数、众数在生活中的应用，“追问”让学生理解仅用平均数、中位数、众数不能解决射击问题，它需要更多的描述数据的统计量，让学生感受到研究数据的必要性.

2. 问题探究，引入方差

问题2  如果改变数据，平均数、极差都相同，还可以用什么量来描述数据的离散程度？

追问1  以射击次数为横坐标，对应成绩为纵坐标，在平面直角坐标系中描点. 观察图像，你能发现什么特征？

追问2  每次成绩相对于平均数的波动大小是多少？可以用什么量来描述？

追问3  两组数据的个数不一样，怎么办？

师生活动  教师提出问题并引导学生思考，若还是不能解决问题，再通过追问引导学生思考，既然从数的角度无法研究，可以借助形来研究. 通过“追问1”的引导，学生很容易描出对应的点，实际教学中大多数学生会将这些点连成折线图. 学生观察折线图后会发现点的上下波动，此时引导学生观察这些点在几环附近波动，并通过“追问2”让学生用一个统计量量化每个数据波动的大小. 学生由此会想到每个数据波动大小的和. 通过“追问3”——如果两组数据的个数不同，由此激发学生想到平均差.

设计意图  改变数据，在平均数、极差都相同的情况下，激发学生思考描述数据离散程度的其他量. 通过“追问1”引导学生在动手画图中集思广益，用图直观研究成绩分布情况，为下一步定量的研究做好准备. 通过“追问2”引导学生思考画图除了能直观反映数据的波动外，还能将其量化，体现定性到定量的分析过程.

问题3  如果改变数据，平均数、极差、平均差都相同，还可以用什么量来描述数据的离散程度？

追问  与绝对值功能类似的是什么量？

师生活动  此时学生已经得到描述数据离散程度的一个量（平均差），为了引导学生想到方差，继续改变数据，使得平均数、极差、平均差都相同，激发学生在得到平均差的基础上再次优化描述数据离散程度的表示方法，通过“追问1”引导学生想到平方，由此引出方差的概念.

设计意图  改变数据，在平均数、极差、平均差也都相同的情况下，进一步激发学生思考描述数据离散程度的其他量，通过“追问”引导学生发现与绝对值功能类似的平方，进而得到方差. 进一步感受并理解用方差描述数据波动大小的合理性.

3. 回顾反思，形成概念

回顾以上探索过程：①一组数据中每个数据与平均数的差;②差的平方和;③差的平方的平均数. 将上述过程归纳呈现：

用途：方差是描述数据离散程度的一个量. 一组数据方差越小，数据波动越小;方差越大，数据波动越大.

設计意图  让学生在教师的引导下感受新知，通过合作交流，得到方差的本质特征，获取新知，体会方差的统计思想.

4. 应用概念，解决问题

例 某市2018年、2019年3月前5日的日最高气温（单位：℃）如下（见表4）：

该市这两年中，哪一年3月前5日的日最高气温比较稳定？为什么？

师生活动  学生独立思考、计算、判断，解决问题;教师展示学生的解答过程，引导学生分析题意、规范书写.  重点要理清以下几个问题：①题目中“稳定”的含义是什么？说明在这个题目中要研究一组数据的什么特征？②在求方差之前先要求哪个统计量？总结用方差估计数据离散（波动）程度的步骤.

设计意图  巩固方差公式，再一次体验方差在生活中的应用，结合实例理解方差的意义，熟悉公式的计算过程——先计算平均数，再求差，平方后再求平均数，进而规范解题格式.

练习1  某地某日最高气温为12 ℃，最低气温为-7 ℃，该日气温的极差是______.

练习2  为了从小明和小刚两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：小明是7，8，7，8，10;小刚是10，4，10，6，10.

（1）填写表5：

（2）根据以上信息，若教练选择小明参加射击比赛，理由可能是什么？

（3）若小刚再射击2次，分别命中7环、9环，则小刚这7次的射击成绩的方差_________. （填“变大”“不变”或“变小”）

（4）根据以上信息，若教练选择小刚参加射击比赛，理由可能是什么？

师生活动  教师呈现练习题，学生独立完成. “练习2”的第（2）问要强调平均数相同，可举例进一步让学生理解为什么要平均数相同. 如甲的5次射击成绩是6，6，6，6，6，方差为0;乙的5次射击成绩是6，7，8，9，10，方差为2. 甲的方差小，但成绩明显不如乙. 本节课主要研究方差这种在统计中常用的刻画数据离散（波动）程度的统计量，在用方差分析数据的波动程度时，只适用于在平均数相同或相近的情况. “练习2”的第（3）问引导学生思考，除了直接计算小刚7次成绩的方差，还可以怎么算;“练习2”的第（4）问引导学生发现，有的时候并不是数据的方差越小越好，应该根据情况而定，教师可以举出适当、简单的例子来说明.

设计意图  “练习1”是巩固极差;“练习2”的第（1）问是计算平均数与方差，进一步巩固方差的计算方法;“练习2”的第（2）问是体验方差在生活中的应用，进一步体会用方差刻画数据的波动程度;“练习2”的第（3）问结合实例进一步理解方差的本质;“练习2”的第（4）问表示在实际问题中，不一定是数据的波动程度越小越好.

5. 小结思考，深化认识

（1）什么是方差？

（2）方差有什么作用？

（3）如果两组数据的平均数、极差、平均差、方差都一样，又用什么量来描述数据的离散程度？

设计意图  “问题（1）”引导学生回顾方差的计算公式;“问题（2）”引导学生思考方差的统计意义;“问题（3）”激发学生继续探索描述数据离散程度的统计量.

教学反思

概念教学要在概念发生和发展的过程中揭示它的“本来面目”，让学生参与概念本质特征的概括过程，感悟概念形成的必要性、必然性、合理性. 本节课似乎没什么内容可讲，也没什么难点，很容易完成教学任务，但这只是知识目标的实现. 方差概念的重要性不言而喻，要让学生感受到数学概念产生和发展的基本过程，体会到研究数学问题的基本套路，进而提高提出问题、研究问题的能力，才算体现方差概念的教学价值.

1. 让概念在冲突中产生

概念的形成过程充满了矛盾和冲突，这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件. 本节课中，刻画数据波动程度的统计量常有极差、方差、标准差、平均差、四分位差等. 方差是描述一组数据离散程度的重要特征数，而学生已经学习过描述集中趋势的特征数有平均数、中位数、众数，这些都是统计分析中重要的参考数据，所以学生在分析一组数据时会很自然地以上述三个特征数作为切入点. 在初始阶段，教师给出两组平均数、中位数、众数都相同的数据，让学生分析数据并做出合理决策，此时学生会产生第一次认知冲突. 在问题分析阶段，教师通过改变数据，使得两组数据的平均数、极差都相同，营造第二次认知冲突. 在问题解决阶段，教师继续改变数据，使得两组数据的平均数、极差、平均差也都相同，营造第三次认知冲突. 每次认知冲突使得寻找另一种统计量成为进一步研究的方向，由此自然地引入方差，这是一种无声的数学交流. 学生在层层深入的问题的引领下，很快会对问题理解得更加透彻. 在这三个阶段中，不断营造认知冲突，让概念在解决问题的有冲突的过程中产生.

2. 让概念在概括中形成

使概念课生动活泼、优 质高效的关键之一是让学生参与概念本质特征的概括过程. 这就要求我们充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，把学生卷入其中，让学生有参与的时间和机会，特别是要有实质性思维的参与. 让概念在冲突中产生，目的是给学生参与概括概念本质特征的机会，实实在在地经历概念的形成过程. 如本节课的探究过程，必然要从数和形两个方面展开思考，于是差就很容易被概括了出来，平均差、方差等概念的产生也比较自然. 教师適时介入，强化本质特征，规范概念的表达，与学生一起完成概念的定义. 课堂小结构建了一个新的问题，学生可以从中学习如何获得研究的对象、如何提出研究的问题、如何找到研究的方法. 这些都是课本中找不到的，需要学生具有一定的概括能力.

3. 让概念形成过程自然

概念课就应该使概念形成得自然、应然、必然. 本节课的教学，力求使学生了解方差概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的课题. 从课堂教学的要求来看，概念教学的自然、应然、必然包括两方面：一是知识的逻辑顺序，二是学生的心理逻辑，主要是思维过程. 在引导学生展开对相关概念进行学习的过程中，要让学生参与概念的概括活动，不轻易打断学生的思维和行动，恰时恰点地以问题引导学生在“追问—反思”的过程中深化对概念的理解，使学生对概念的理解成为他们主动思维的结果. 因此，本节课对方差概念的教学，为学生勾勒了研究框架和总体思路，使学生知道往哪里走，引导学生在不断的认知冲突中理解方差的定义、方差的表示. 概念教学要返璞归真，在概念发生和发展的过程中要揭示它的“本来面目”;要让学生参与概念本质特征的概括过程，这是概念教学中培养学生的创新精神和实践能力的必由之路.

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