“再创造”范式下的一题一课复习

胡柳青

[摘  要] 学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是学生要学习的东西由自己去发现或创造出来. 教师的任务是引导和帮助学生进行这种“再创造”的工作，而不是把现成的知识灌输给学生. 文章以“反比例函数k的几何意义”为例，结合一题一课复习详尽地展现了这一范式操作的可行性和科学性，阐述实际操作中如何谋篇布局，提质促效.

[关键词] 再创造;一题一课;数学复习

问题提出

弗赖登塔尔反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是学生要学习的东西由自己去发现或创造出来. 教师的任务是引导和帮助进行“再创造”的工作，而不是把现成的知识灌输给学生. 因此，进行有指导的“再创造”无可非议是每个数学教育工作者必须领会和遵循的教學思想.

省特级教师、正高级教师盛志军于2017年成立桐庐县、富阳区杭州市农村名师工作室. 工作室以弗赖登塔尔的“再创造”理论为指导，开展《再创造：基于核心素养的初中数学课堂范式研究》的课题研究（浙江省教研规划课题G2019028）. “再创造”教学范式显著特征就是强调学生再创造者的地位，经历知识的再创造过程，注重与生活的联系和应用. 根据弗氏相关理论，我们把“再创造”教学的基本理念描述如下（如图1）：

（1）确定处于学术状态的“现成数学”中的核心内容作为教学材料;

（2）把核心问题回溯到学生的现成数学状态中去，进而发现问题、提出问题、理解问题;

（3）引领学生数学认知联结（寻求兴趣点、生长点和疑难点等），通过“水平数学化”分析问题，初步解决核心问题;

（4）巩固核心内容，并以此为起点，“垂直数学化”，拓展探索，发现新的问题，水平探索……螺旋上升，循环往复.

三年来，工作室开展了丰富多彩的实践活动，就如何实施“再创造”教学进行有益探索并构建基本范式（如图2）. 《反比例函数k的几何意义》为工作室成员卢老师的一堂示范课，现摘录如下，以飨同仁.

课例展示

1. 复习课题

反比例函数k的几何意义.

2. 复习目标

（1）经历从函数图像上任意一点向x、y轴作垂线所得三角形（矩形）面积的探索过程，进一步理解函数系数k的几何意义.

（2）通过探究函数系数k的几何意义，感受数形结合和转化等数学思想、数学方法.

（3）能够灵活运用函数系数k的几何意义，解决一些比较综合的问题，理解函数系数k的本质.

3. 学情分析

浙教版教材中，学生在八上学习函数、一次函数，在八下学习反比例函数，在九上学习二次函数，在九下学习三角函数等. 反比例函数学习，可以促进学生进一步理解函数概念，熟悉研究过程与思考方法，为后续学习奠定基础. 在学习中，学生对于函数解析式等理解相对透彻，对几何意义的理解尚显不足. 反比例函数的问题解决，通常会与图形面积交汇一起，通过对应关系渗透数形结合思想，从而理解函数系数k、函数解析式和函数图形的内在联系，建立“数”“式”“形”的一一对应关系. 为此，本节课将在原有模型基础上构建新模型，通过水平数学化和垂直数学化，激发学生更深层次的思维活动，实现反比例函数k的几何意义的“再创造”学习. 本节课确定如下几点.

中心：反比例函数k的几何意义;

重心：反比例函数k的几何意义的综合问题探究;

核心：反比例函数中数形结合思想的运用.

4.思考方向

函数背景考点多. 反比例函数知识繁杂，需要熟练掌握概念、图像、性质与应用等. 知识间不是独立存在的，往往相互联系，综合程度比较高. 反比例函数已然成为中考的常考内容，形式越来越新颖，探索性越来越强. 本节课以反比例函数系数k为突破口，探究其与矩形、三角形面积的内在联系，将知识进行整理、融合、提升，对学生分析和解决问题的能力提出更高要求.

图像变化种类多. 利用k的几何意义解决反比例函数与面积的综合问题，通常会在基础图形（见图3）上变化延伸，从而产生更多图形. 如何在众多变形中找出内在联系，进而有效解决，就需要他们熟练掌握基础图形，概括归纳寻求共性，进而找出通解通法.

思维提升阻碍多. 反比例函数是最基本的初等函数，是学习二次函数、三角函数乃至对数与指数函数的基础，系数k与生俱来的代数意义和几何意义，完美体现了“数形结合”. 已知系数k，就应该联想到相关图形面积，考虑系数k的几何意义;反之，如果知道相关面积信息，就应该考虑系数k的代数意义. 学习时，学生们往往会割裂其联系，顾此失彼. 这就需要教师引导学生打破原有的知识壁垒，从复杂图形中抽丝剥茧地找出基础模型，寻找解决问题的钥匙，实现“再创造”的学习.

基于以上分析，本节课将通过模型来研究题型，依托一题多解和多题一解，对反比例函数系数k的几何意义进行再次理解和归纳，从而实现知识、技能和思想方法上的“再创造”.

5. 设计思路

环节一  本源回溯

（1）我们已经学过一次函数、反比例函数和二次函数等知识，请思考：

问题1：平面直角坐标系上有一点A（1，6），你能得到过点A的函数吗？如果有点A（1，6）和点B（2，3），你能得到过点A，B的函数吗？如果有点A（1，6）、点B（2，3）、点C（-1，-6），你能得到过点A，B，C的函数吗？

问题2：①如图4，如果有点A（1，6）、点B（2，3）、点C（-1，-6）和点D（-2，-3），你能得到过点A，B，C，D的函数吗？你能找出图像上的其他点吗？

②如图5，在函数图像上，过点B向x，y轴作垂线，垂足为E，F，则OEBF面积为多少？若P（x，y）是图像上任意一点，过点P向x，y轴作垂线，垂足为M，N，则OMPN面积为多少？

③如图6，过点A，B，C，D作x轴（或y轴）垂线，该点、垂足与点O构成四个三角形，求三角形面积. 如果P是函数图像上任意点，作x轴（或y轴）垂线，求垂足、点P、点O所构三角形面积.

设计说明：本源回溯是整个课堂教学的基础，务须符合认知需求，强调知识衔接. 教师从经过一个、两个、三个、四个点的解析式入手，从本源上引导学生回溯系数k与几何面积的联系，关注k的代数意义与几何意义. 只有本源回溯精准，才能从学生实际出发，开展适合学生认知的学习，以此来加强教学活动设计的实效性，为“再创造”提供可行条件.

环节二  新知再造

设计说明：新知再造要引导学生梳理知识网络，在整体结构中理解数学本质. 学生认知结构、活動经验等均有不同，有独特“数学现实”. 教师课堂教学“再创造”，要根植学生的“数学现实”和“思维水平”，创设丰富的学习活动，分别经历知识的水平数学化和垂直数学化，完成“再创造”，达成知识建构. 拓展一，先求出点A，B，延长BO交另一支于点C，如图14，利用对称性得BO=CO，△AOB与△AOC面积相等，求得△AOB面积. 拓展二，由一支曲线上两点转化为两支曲线的特殊点，如图16，连接OA，OB，得S△APB=S△AOB，利用模型求得S△APB=S△AOB=S△AOC-S△BOC=2. 拓展三，将特殊点又转化为一般点（如图18），将同一象限的两点转化为不同象限的两点（如图20、22），仍可用类似方法求解：问题1，如图19，过A，B作x轴垂线AM，BN，转化为四边形与三角形面积的和（差）：S△AOB=S△AOM+S四边形AMNB-S△OBN，与例题不同的地方是：由于点在不同函数上，故两个三角形面积不相等;问题2则与拓展一完全相同，可利用中心对称性，如图21，延长BO交双曲线另一支于点C，得S△ABO=S△ACO;问题3则与前两问题的解法相似，如图23，转化为四边形与三角形面积的和（差）. 教师逐步引导下，找出问题共性，一题多解，多题一解，体会利用基础模型解决复杂问题的便利，最终实现数学知识和思想方法的“再创造”.

设计说明：后续联结是整节课的知识回顾，也可以是下节课的本源回溯，但不能和预习与复习混淆. 后续联结是巩固所学知识、形成技能方法、培养良好思维、发展核心素养的重要途径. 问题选择时也要适当提升难度，培养发散思维，提升创新思维，在持续发展中不断“再创造”. 上述题目均选自2020年中考真题，着重考查学生是否掌握了反比例系数k的几何意义，起到课后检测的作用.

反思跟进

“再创造”范式下的一题一课复习，是一个让学生在更高视野下的构建知识的过程，也是一个让学生在更深思维下的感受生长的过程，还是一个让学生在更精文化下的发展自我的过程. 本节课从一个主问题开始，以点带面、由浅入深地复习整章知识，通过反比例函数k的几何意义串联形成一条主线，不同的知识又由这条主线关联在一起，从而使得复习教学走向简约而高效.

1. “再创造”范例下的一题一课，要选准一个好题

数学复习应该有一定的广度和深度. 广度是横向上的容量与范围，深度则是纵向上的数学思考. 一题一课，知识的掌握、方法的提升、思想的领悟都凝聚于题，一题的选择就尤其关键. 首先，知识内容应该是主干知识、重要思想，而不能旁枝逸出，轻重不分;其次，知识含量应该充足，或者可供拓展，能进行丰富和必要的发散提升;最后，知识种类应该丰富，是多种类、多样化的，既要有知识、技能，又要有思想、方法和活动体验. 教学时还要对所选例题进行充分的、必要的、精细的打磨，要将所选问题与教学目标进行关联，弱化无关知识，强化核心思想，从而保证最终解决的问题具有很高的价值.

2. “再创造”范例下的一题一课，要突出一个主体

《义务教育数学课程标准》指出“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”. “再创造”范例下的一题一课就是要强调“学生之本位”，还“课堂之本色”. 教学中，要始终以学生为主体，尝试引导学生参与变式、拟题活动，提出一些富有探究价值的问题，在问题中提升，使得学生对知识理解更为全面、更加透彻，让不同层次学生有不同程度的理解深度，让个性相异学生表达自主独特的思考路径，还要让学生的疑惑引发教师的思考，将被动灌输转变为主动探究，从而将复习教学转化为生动有趣、学知育人的有效课堂.

3. “再创造”范例下的一题一课，要经历一次生长

教育的出发点和落脚点就是让学生经历成长、见证成长、完成成长. “再创造”范例下的一题一课复习秉承的是一种让学生在复习课中成长的理念，讲究的是一种让学生在复习课中成长的策略. 具体地讲，“再创造”范例下的一题一课，正是通过创设问题情境、独立自主探究、生生合作交流、师生成果展示等过程，让学生充分经历观察、类比、猜想、思考、验证、推理、转化等过程，让他们感受到数学可以如此有趣、轻松地学，而且能够理解与掌握研究数学、解决问题的常用思路和一般方法. 唯有如此，才能让核心知识、重要思想的真正价值落到实处，也只有这样，才能确保教学方向的准确无误，学习成效的显著提升，才能真正激发学生的数学学习兴趣，启迪数学智慧，开拓思维能力，培养创新意识，提高数学素养.

以往，在浩瀚的图书馆中寻找多日的资料，今天，借助百度、知乎可以信手拈来;以往，“知识就是力量”，未来，“思维才是力量”;以往，在职场中稳操胜券的是“有知识的人”，未来，在职场中独领风骚的将是“会学习的人”……“再创造”就是让学生参与发现、探索、创造知识的全过程. 只有教师“再创造”地教才能为学生“再创造”地学提供肥沃土壤，才能使学生的“再创造”能力不断地得到发展.