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一道省质检试题的八种解法

2021-03-11蔡海涛

数理化解题研究 2021年4期
关键词:极小值极大值海涛

蔡海涛

(福建省莆田第二中学 351131)

(1)求f(x)的极值;

(2)若exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0,求正实数m的取值范围.

解(1)当a>0时,f(x)的极小值为f(a)=1-2lna,无极大值;当a<0时,f(x)的极小值为f(a)=1-2ln(-a),无极大值.(过程略)

(2)解法1 由(1)知,当a=1时,f(x)=x-lnx在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1,所以x-lnx≥1,因为exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0,所以ex(lnx-x)+mx2+x+m≤0,所以

所以当00,当x>1时,g′(x)<0;

因此g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减, 所以g(x)max=g(1)≤0,所以正实数m的取值范围为

所以当00,当x>1时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,所以h(x)≤1,即所以当时,成立,即原不等式恒成立.

所以H(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以

由(1)知,lnx≤x-1,当且仅当x=1时等号成立.

(ⅱ)当x>1时,由lnx≤x-1得(1-x)lnx>(1-x)(x-1)=-1+2x-x2,

又因为k′(1)=0,所以当00,当x>1时,k′(x)<0,所以k(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以k(x)max=k(1)=0,所以k(x)≤0,所以exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0,当且仅当x=1时等号成立,所以正实数m的取值范围为

在解题教学中,教师要善于挖掘数学问题的深层本质,寻找题目条件与结论之间的逻辑关系,帮助学生准确审题、获取解题思路,通过一题多解拓展学生的思维.

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