以方格为工具，把握度量本质

○姜永春

《平行四边形的面积》是学生学习了长方形、正方形的面积之后，进一步对二维图形面积的度量进行深入的研究和探索。关于度量，史宁中教授在《小学数学教学中的若干问题》一书中指出：要度量就必须确定度量单位，而度量就是计算所要度量的图形包含多少个度量单位。让学生体会度量本质是图形测量教学的核心。但在实际教学中，却存在着重公式轻本质的现象，教师往往会忽视用面积单位度量的过程，而过早地进行形式化计算，导致学生无法深入理解面积公式背后的道理。

那么，我们如何深入浅出地让学生体会度量的本质，培养他们的度量意识呢？

【教学回放】

师：同学们，观察这两个花坛，猜一猜，哪个花坛的面积大一些呢？

生：长方形花坛面积大。

生：平行四边形花坛面积大。

生：我认为两个花坛的面积一样大。

师：大家观察得很仔细，都作出了自己的猜测。假如这个长方形的花坛长是6m，宽是4m，怎样计算出它的面积呢？

生：因为长方形的面积=长×宽，可以得到长方形花坛的面积是6×4=24（米2）。

师：平行四边形面积的计算方法我们以前没学过，请同学们大胆猜测，你认为该怎样计算呢？

【诊断分析】

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第一学段要求，结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。这种要求对面积和体积的单位也同样适用。本教学片段，教师用两个花坛的情境引入，虽然调动了学生学习的兴趣，但数学意义上的测量是要计算所要度量的图形包含多少个度量单位，是要对图形指定一个合适的数，在这样的视角下，度量的数学意义被淹没了。为了更好地让学生体会度量的本质，体会度量单位的重要性，我们不妨直接从面积单位引入。

【教学重构】

师：同学们，这里有两条线段，我们怎么知道它们各自有多长呢？

生：用尺子去量一量。

师：对，尺子是测量长度的工具。

师：仔细看，现在线段运动起来变成了面，我们用什么工具来测量面的大小呢？同学们可回想学习过的长方形面积是怎么得到的。

生：那时我们用小方格来求长方形的面积。

生：用长乘宽就得到了面积。

（教师在二维图形中加上方格。）

师：对，方格是测量面积的工具，每个方格就是一个面积单位。看图说说长方形的长、宽和面积在方格里分别表示什么呢？

生：长方形的长表示一行多少个方格，宽表示一共多少行，乘积就表示一共多少个方格，也就是长方形的面积。

师：看图接着说明正方形面积公式“边长×边长”中两个边长又表示什么呢？

生：一个边长表示一行多少个方格，另一个边长表示一共多少行，乘积就是正方形的面积。

师：对，要想求一个图形的面积，只要想办法计算出它包含多少个面积单位就可以了。其他图形的面积是否也能这样来研究呢？今天我们来学习另外一个平面图形——平行四边形的面积。

图形大小的测量皆有各自的测量工具（一维长度的测量工具是刻度尺，二维面积的测量工具是大小不同的方格，三维体积的测量工具是大小不同的方块）以及各自的度量单位。在长方形面积教学时，学生用1平方厘米的面积单位去覆盖，已经明白长和宽分别表示一行多少个小正方形和一共多少行，积就是多少个面积单位，也就是所测量的长方形的面积。但后来的求面积变成了用一把尺子去量长和宽，量面积又变成了量长度，造成了学生在做题目时，周长和面积经常搞混。

为了让学生深刻体会面积是用面积单位来刻画的，本教学片段从一维的线运动到二维的面，让学生体验面积单位“方格”的含义。之后在方格纸上复习长方形、正方形面积计算公式所表示的意义，长乘宽以及边长乘边长的本质皆是：一行多少个面积单位×一共多少行=图形所包含的面积单位个数，也就是所测图形的面积。这样，学生既体会了度量单位的重要性，又加深了对“面积单位的累加”度量本质的感知，同时对新知平行四边形面积的探索有了方向上的指引。

【教学回放】

师：同学们手中都有一个平行四边形，我们现在不知道它的面积如何计算，能不能把它转化成我们已学过的图形呢？

生：能！可以转化成学过的长方形。

师：四人小组合作，用课前准备好的平行四边形卡片和剪刀，把平行四边形剪拼成长方形吧。

（学生活动后展示两种转化方法。）

师：请大家认真观察，转化前平行四边形的面积、底和高分别与转化后的长方形的面积、长和宽有怎样的联系？

生：长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，它们的面积相等。

生：长方形的面积等于长乘宽，平行四边形的面积等于底乘高。

【诊断分析】

这一教学片段中淡化了面积单位的使用，而把教学重点只放在如何转化成长方形的转化思想的渗透，以及寻找图形各元素之间的关系并推理得到计算公式上。有的教师引导学生用面积单位小方格去测量，也只是按“不满一格的都按半格计算”来解决，这样的做法显然远离了度量的本质。这里，应该让学生体会“面积单位的累加”以及“面积测量的实质是要对某些平面图形指定一个合适的数”。

【教学重构】

（教师事先发放给学生画有平行四边形的边长为1厘米的方格纸。）

师：请同学们看平行四边形的面积能否通过数方格得到呢？

生：没办法数，因为两边不是整格。

生：可以把平行四边形左边剪掉一部分补到右边，变成能数的长方形。

师：同学们想办法把平行四边形转化成能数的图形，并求出它的面积。

（学生活动后展示两种转化方法。）

生：我们通过图很清晰地看出，长方形的长和平行四边形的底同样是6厘米，长方形的宽和平行四边形的高都是4厘米。又因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，也就是6×4=24（平方厘米）。

生：我们还从转化的过程中体会到平行四边形只是把剪下的一部分挪了个位置，面积大小没变，同样能得到平行四边形的面积=底×高。

师：现在同学们推导出了平行四边形的面积，谁能说说公式中的底、高和面积在方格中分别表示什么？

生：底表示一行多少个方格，高表示一共多少行，面积就是用一行多少个方格乘一共多少行，求出多少个方格，平行四边形的面积就是多少平方厘米。

师：对，无论是平行四边形，还是长方形和正方形，它们的面积公式虽然都是长度的乘积，但它们所表示的都是一行多少个面积单位乘一共多少行，也就是一共包含多少个面积单位。

关于规则图形的度量，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段指出，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题。如何探索？三年级教学长方形的面积时，把重点放在对度量单位的摆放和寻找规律数出度量单位的个数上，而平行四边形作为对二维图形面积的第二次探索（正方形的面积是根据与长方形的关系得到的），笔者认为度量单位的使用是不可或缺的。

这一教学片段，把方格也就是面积的度量单位贯穿教学始终。首先让学生在方格纸上数平行四边形的面积，数不出来就要想办法转化成能数的图形，这也是解决面积测量的基本方法。在方格纸上，学生把平行四边形转化成长方形，位置不管怎么变化，但是面积单位的总和是不变的，运用了面积的运动不变性；一个单位方格的面积是1，它就是一个标准，即正则性；数方格的过程就蕴含了面积的有限可加性，最后得出平行四边形的面积公式，即求面积单位总个数的简便方法，同时也设法给了面积一个确定的数与之相对应。之后，又通过对平行四边形、长方形、正方形面积的梳理，它们的本质都指向：一行多少个面积单位×一共多少行=面积。这样就把面积测量的基本思想贯通起来，使学生体会到不管测量什么图形的面积，其本质皆为“度量单位个数累加的结果”。度量单位是一切图形测量的本源，而这种思想和方法为今后学习其他平面图形面积的测量奠定了基础。