代数群上由模糊（拟）伪度量诱导的拓扑

涂金基，谢利红

（1.江门职业技术学院 数学教研室，广东 江门 529000；2.五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

1 引言与记号

拓扑代数是目前国际上研究的热点方向之一，拓扑群、仿拓扑群以及半拓扑群等是其中的主要研究对象.

定义1[1]12设(G，×)是一个抽象的群，τ是G上的一个拓扑，

1）如果群G上的乘法运算×:G×G→G关于拓扑τ是左连续的，则称(G，τ)为左拓扑群；

2）如果群G上的乘法运算×:G×G→G关于拓扑τ是右连续的，则称(G，τ)为右拓扑群；

3）如果群G上的乘法运算×:G×G→G关于拓扑τ是联合连续的，则称(G，τ)为仿拓扑；

4）设(G，τ)是一个仿拓扑群，如果G中的求逆运算也是连续的，则称(G，τ)是一个拓扑群.

本文简记(G，τ)为G.显然每一个拓扑群都是一个仿拓扑群；每一个仿拓扑群都是一个左拓扑群和右拓扑群.

作为度量的推广，Kramosil等[4]引入了模糊度量.研究表明，模糊度量在研究模糊结构方面是个强有力的工具[3，5-7]；一些拓扑学家应用模糊度量研究拓扑群[8-10]时发现：某些特殊的模糊（拟）度量将使一些拓扑代数结构变成更强的拓扑结构.例如：

定理1[10]81设G是一个抽象群以及(M，*)是G上的一个左不变的模糊拟伪度量，如果(G，M，*)是一个模糊拟伪度量右拓扑群，那么(G，M，*)是一个模糊仿拓扑群.

本文主要研究抽象群上由一些特殊的模糊（拟）伪度量诱导的拓扑.下面介绍本文用到的定义和符号.

定义2设X是一非空集合，d:X×X→[0，+∞)是一个函数：

1）若d满足：i）对任意的x∈X有d(x，x)=0和ii）对任意的x，y，z∈X有d(x，z)≤d(x，y)+d(y，z)，则称d是X上的一个拟伪度量；

2）如果d是X上的一个拟伪度量且满足：iii）对任意的x，y∈X有d(x，y)=0当且仅当x=y，则称d是X上的一个拟度量；

3）如果d是X上的一个拟伪度量且满足：iv）对任意的x，y∈X有d(x，y)=d(y，x)，则称d是X上的一个伪度量；

4）如果d是X上的一个伪度量且满足上面的条件iii），则称d是X上的一个度量.

设X是一非空集合，d是X上的一个拟伪度量，记其中对任意的x∈X，ε＞0有：那么可知，τd是X上的一个拓扑，而且βd是τd的拓扑基.

定义3[11]318如果二元运算*:[0，1]×[0，1]→[0，1]满足如下条件，则称*是一个连续的t-模：

1）*满足结合律和交换律；2）*是连续的；3）对任意的a∈[0，1]有a*1=a；4）对任意的a，b，c，d∈[0，1]，如果有a≤c，b≤d，则有a*b≤c*d.

已知对于任意的连续t-模*有：*≤˄，其中˄是如下定义的连续t-模：

定义4[2]30设X是一集合，*一个连续t-模以及M是X×X×[0，+∞)上的一个模糊集，如果对于任意的x，y，z∈X和t，s＞0有（M，*）满足：1）M（x，y，0）=0；2）M（x，x，t）=1；3）M（x，z，t+s）≥M（x，y，t）*M（y，z，s）；4）M（x，y，_）:[0，+∞)→[0，1]是左连续的，则称（M，*）是X上的一个模糊拟伪度量；如果（M，*）还满足：5）M（x，y，t）=M（y，x，t）对任意的x，y∈X和t＞0，则称（M，*）是X上的一个模糊伪度量.

定义5[10]80设（M，*）是群G上的一个模糊伪度量，对任意的a，x，y∈G和t＞0，如果：

1）（M，*）满足M(x，y，t)=M(ax，ay，t)，则称（M，*）是左不变的；

2）（M，*）满足M(x，y，t)=M(xa，ya，t)，则称（M，*）是右不变的；

3）如果（M，*）既是左不变的，又是右不变的，则称（M，*）是不变的.

2 主要结果

定义6[2]31设X是一集合，（M，*）是X上的一个模糊（拟）伪度量，那么称(X，M，*)为一个模糊（拟）伪度量空间.

设(X，M，*)是一个模糊（拟）伪度量空间，记其中对任意的有：

引理1[8]110设(X，M，*)是一个模糊拟伪度量空间，那么τM是X上的一个拓扑，而且βM构成τM的一个拓扑基.

定理2设G是一个抽象群，(M，*)是G上的一个模糊拟伪度量，则：

1）如果(M，*)是左不变的，那么(G，τM)是一个左拓扑群；

2）如果(M，*)是右不变的，那么(G，τM)是一个右拓扑群；

3）如果(M，*)是不变的，那么(G，τM)是一个仿拓扑群.

证明设e是群G的单位元，记Be=｛M（e，ε，t）:ε∈（0，1），t＞0｝.

1）根据引理1可知τM是G上的一个拓扑，下面证明群的乘法运算关于τM是左连续的.任取x，y∈G和包含xy的一个开集U，根据引理1，则存在某一ε∈（0，1）和t＞0有xy∈BM（xy，ε，t）⊆U.又因为M是左不变的，因此有xBM（y，ε，t）=BM（xy，ε，t）⊆U，显然BM（y，ε，t）是y的开邻域，因此证明了群G的乘法运算关于τM是左连续的，从而(G，τM)是一个左拓扑群.类似可证2）.

3）根据引理1可知τM是G上的一个拓扑，下面证明群的乘法运算关于τM是联合连续的.任取x，y∈G和包含xy的一个开集U，根据引理1，则存在某一ε∈（0，1）和t＞0有xy∈BM（xy，ε，t）⊆U.因为t-模*是连续的，所以对于上面的ε可以找到ε0∈（0，1）满足（1-ε0）*（1-ε0）＞1-ε.

从而xy∈BM（e，ε，t），这就证明了显然是x的邻域、是y的邻域，下面只需证明即可.

注意到（M，*）既是左不变的又是右不变的，因此很容易验证：对任意的成立，所以有：得证.

（X，d）是一个（拟）伪度量空间，定义X×X×[0，+∞)上的模糊集那么（Md，˄）就是X上的一个模糊（拟）伪度量，从而对于任意的t-模*有（Md，*）是X上的一个模糊（拟）伪度量.已知在X上由（Md，*）诱导的拓扑τM和由d诱导的拓扑τd是一样的，所以根据定理2很容易得到以下结论：

推论1设G是一个抽象群，d是G上的一个拟伪度量，则：

1）如果d是左不变的，那么(G，τd)是一个左拓扑群；

2）如果d是右不变的，那么(G，τd)是一个右拓扑群；

3）如果d是不变的，那么(G，τd)是一个仿拓扑群.

定理3设G是一个抽象群，(M，*)是G上的一个模糊伪度量，如果(M，*)是不变的，那么(G，τM)是一个拓扑群.

证明因为每一个模糊伪度量都是一个模糊拟伪度量，因此根据定理2的3）可知(G，τM)是一个仿拓扑群.下面只需证明G中的求逆运算是连续的.

任取x∈G以及包含x-1的开邻域U.根据引理1，则存在某一ε∈（0，1）和t＞0有x-1∈BM（x-1，ε，t）⊆U.下面只需证明BM（x，ε，t）-1⊆U即可.任取z∈BM（x，ε，t），由于(M，*)是不变的模糊伪度量，从而有：

这就证明了BM（x，ε，t）-1⊆U，所以(G，τM)是一个拓扑群.

由定理3可以直接得到以下结论：

推论2设G是一个抽象群，d是G上的一个伪度量，如果d是不变的，那么(G，τd)是一个拓扑群.