深度学习视角下的教学实践与思考——以“十字相乘法”为例

广东省广州市白云广雅实验学校 贺福凯

广东省广州市白云中学 郭根文

1 背景分析

在不断深化基础教育改革的今天,深度学习理念收到越来越多的教育工作者的认可和推崇. 它根植于一线课堂,从本源上揭示了教学的最终价值诉求: 我们所有教学设计的出发点和落脚点不是聚焦教师的“教”,而是通过教师的专业智慧和价值追求, 开发出生动, 鲜活, 富有创造性的教学活动,驱动学生全身心主动参与、积极探索,深度体验,以期达成学生关键能力、必备品格的全面提升. 通过深度学习,学生理解了学习过程,掌握了核心知识,把握了学科的本质,领悟了思想方法,形成了积极的内在学习动机和情感体验. 因此,深度学习不仅赋予了我们高屋建瓴的观念指引,更是给予了我们如何将理念落地生根的策略方法. 我们平时在教学中应该在深刻领悟其内涵和精神的基础上,结合实际需求努力地践行.

十字相乘法是因式分解中一种重要的方法, 从人教版(2013 版)教学八下编排来看,十字相乘法是在已经学习了公式法基础上的一种“新法”探究,它主要适用对象是特定结构的二次三项式“(x2+(p+q)x+pq)”. 笔者在平时教学中由于机缘巧合,听了数次关于十字相乘法的课例. 在听的过程中,发现大多数执教者的设计思路都是这样的模式: 首先举一些基于(x+p)(x+q)结构的多项式乘法的特殊例子,让学生计算,计算完毕引导学生观察,辨析结构,感知等式左右式子特点,接下来利用因式分解和整式乘法互逆关系,指引学生反向观察,“自然”地引出了十字相乘法,之后指导学生如何将十字相乘法步骤程式化......

细细揣摩,“十字相乘法”这节课这样设计和实施,真的凸显了它的内容价值吗? 这节课实施效果真的“自然”吗? 笔者不敢苟同,提出两点商榷之处:

(1) 十字相乘法是整式的乘法与因式分解中最具统摄性的方法, 它不仅解决了因式分解中的二次三项式“(x2+ (p + q)x + pq) ”的问题, 揭示了公式法和其特殊与一般的关系,而且从根源上也直观展现了整式的乘法的发展过程. 如果这节课的定位如果仅仅是让学生获取一种新的操作技能,那么其品味一定是浅层的,淡然无味的.

(2)正如第一点所述,由于执教者在做教学设计时忽略了内容的本质,以至于在实施时未能揭示出“十字相乘法”的来龙去脉(特别是十字相乘法的源头),以至于在介绍十字相乘法的操作步骤时显得突兀, 像是给学生“强行”植入一种“凭空产生”的方法,学生未能深度参与知识的构建过程,感悟不“自然”.

带着这样的思考,结合深度学习的教学理念,笔者重新对课例做了修改,并在所任教班级进行试验,效果良好,以下展示部分教学片断.

2 教学过程

2.1 追根溯源,回顾旧知

问题1: 我们本章学习了整式的乘法,整式的乘法有哪几种类型? 它们之间有什么关系? 用到的原理是什么?

学生1: 整式的乘法有单项式乘单项式,单项式乘多项式,多项式乘多项式,它们之间的关系是多项式乘多项式转化为单项式乘多项式,单项式乘多项式转化为单项式乘单项式,用到的原理是乘法分配律、加法交换律和结合律.

问题2: 你能具体举一些多项式乘多项式的运算例子吗?

教学活动: 学生按照自己的习惯自由的写,老师进行适当收集,整理出有代表性的以下一些例子:

(1)(x+y)(a+2b+c)=ax+2bx+cx+ay+2by+cy

(2)(2a+3b)(c+d)=2ac+2ad+3bc+3bd

(3)(2x+y)(x −3y)=2x2−5xy −3y2

(4)(4a+b)(4a+b)=16a2+8ab+b2

(5)(3x+2y)(3x −2y)=9x2−4y2

教学分析: 追溯因式分解的源头: 整式的乘法. 功能除了回顾旧知,突出单元主线外(单项式×单项式为整章运算的核心,加法、乘法运算律为运算基础). 还为后面研磨结构特征环节,自然引入十字相乘法埋下伏笔.

2.2 深挖细剖,重整认知

问题3: 结合多项式乘多项式原理,观察以上例子. 你发现等式左右两边结构的多项式的项和项数呈现什么特点?

学生2: 我观察到(1)式左边是二项式乘三项式,右边得到六项式. (2)式左边是二项式乘二项式, 右边得到四项式.因此右边多项式的项为左边多项式的各单项式分别相乘后的结果,项数为左边两个多项式项数之积.

追问1: 请结合必要的图示进行说明为何呈现以上特点.

学生2: 我试试,我将(1)、(2)式的运算过程展开,如图1、图2.

图1

图2

(1)式左边二项式x+y 分别乘三项式a+2b+c 每一项,再求和,得ax+2bx+cy+ay+2by+cy. 因此共3×2=6项,且每一项皆是第一个多项式每一项和第二个多项式每一项乘积结果. (2)亦是同理.

很多学生投来赞许和肯定的目光……

追问2: 所有多项式的乘法都遵循这个规律吗? (目光转向全班)

学生3: 我不赞成生2 的观点,举(3)式作为例子,展开其运算过程,如图3.

图3

(3)式左边相乘,求和得2x2−6xy+xy −3y2,但还需要合并同类项(−6xy 与xy 为同类项) , 因此最终结果为2x2−5xy −3y2,这时项数少了(只有三项),项也不纯粹是左边单项式和单项式的乘积.

“对哦”,“确实是这样”,部分同学开始疑惑……

追问3: 为何会产生这些不同的情况? (乘积之后项和项数的不确定性)

教学活动: 学生带着疑惑和不解开始思考,并联合学习小组的组员进行交流和讨论,大约持续了5 分钟.

学生4(某学习小组代表): 我来发表一下看法,式子左边两个多项式的不同类型是造成右边多项式项与项数不同情况的原因. 如(2)式左边两个多项式2a+3b 和c+d,组成它们的各项没有同类项,因此运算之后不可能产生新的同类项,因此右边多项式项数为2×2=4,项为左边各项之积;而(3)式左边两个多项式为2x+y 和x −3y,组成他们的各项有两组同类项(2x 与x,y 与−3y),因此相乘过程是: 第一次运算是第一组同类项相乘(即2x 乘x 得2x2),不妨记为首项,第二次和第三次运算是非同类项交叉相乘,产生新的同类项−6xy 和xy,可将它们合并为−5xy,不妨记为中间项,第四次运算是第二组同类项相乘(即y 乘−3y 得−3y2),不妨记为尾项. 由于(3)式化简期间有产生同类项和合并同类项的过程中,因此就产生了和(2)不同的情况……

师: 生4 说的非常好! 简单地说,整式乘法运算后项与项数本质上是由两个多项式结构组成决定的. 两个多项式相乘,特别的,如果两个多项式之间的组成要素(单项式)互为同类项(有别于一般的无同类项的多项式相乘),不同组别的同类项互相乘,结果仍产生不同组别的同类项,即为首项和尾项(无法合并). 两多项式中非同类项交叉相乘,结果会产生新的同类项,这时就可以进一步合并,项和项数相比于一般的多项式相乘就会有变化了.

追问4: 大家现在对式子(4)、(5)有了新的认识了吗?

多个学生:“平方差公式”、“完全平方公式”都是互为同类项的多项式相乘的特殊情况,特殊之处就在于组成他们的多项式之间的同类项相同或相反,导致第二次乘和第三次乘产生同号的同类项或异号的同类项,于是合并之后中间项产生“2 倍首项尾项之积(结果共3 项)”或“相消(结果共2 项)”的情况.

教学分析: 此环节旨在挑选典型的例子指引学生对已学公式再探究,充分激发学生的好奇心和探究欲望. 学生基于结构特征进行深入“二次发现”后, 能从有别于新授课的角度对过去熟悉的知识的进行重新认识,特别是借助于直观的“整式乘法图示”(十字相乘法的雏形),学生能真实感受到不同类别的整式相乘的特殊和一般的关系,凸显了本章的研究方法和主线!

2.3 类比思考,形成新知

师: 我们知道,因式分解是整式乘法的逆运算,结合以上的分析,大家进一步继续思考. 以上的图示分析方式是否能迁移到因式分解?

问题4: 请将下列式子进行因式分解.

(1)a2−16 (2)a2−4a+4 (3)a2−4a+3

学生5: 对于(1)式,首项为a2,尾项为−16,中间项无,即要求首项和尾项的分解项中的非同类项相互乘积后产生异号的新同类项. 如图4: 因此a2−16=(a+4)(a −4).

图4

学生6: 对于(2)式,首项为a2,尾项为4,中间项为−4a,即要求首项和尾项的分解项中的非同类项相互乘积后产生−4a. 如图5: 因此,a2−4a+4=(a −2)(a −2).

图5

学生7: 对于(3)式,首项为a2,尾项为3,中间项为−4a,即要求首项和尾项的分解项中的非同类项相互乘积后产生−4a. 如图6: 因此,a2−4a+3=(a −1)(a −3).

图6

师: 生5、6、7 演示的非常好. 像这样,竖向分解二次项,常数项,横向组合分解项的方法,称之“十字相乘法”.

教学分析: 本环节基于对已学知识进行重新认知的基础上,引导学生悟出新技能. 由于前面环节知识支架已经搭建的十分稳固,特别是运用形象的整式乘法“图示分析”,直观展示了乘法过程. 因此学生在因式分解时,也会自然逆向思考,将“图示”迁移过来,形成“十字相乘法”.

2.4 归纳反思,品味新知

师: 大家重新观察问题4, 比较, 辨析三个式子, 继续思考.

问题5: 这三个式子有什么特点? (引导学生从结构上分析)你可以用一个式子概括出来了吗?

学生8: 三个式子结构都满足: 首尾两项分解后交叉相乘结果之和等于中间项. 可以用x2+(p+q)x+pq 概括.

追问: 如何将这个式子进行因式分解? 运用公式法因式分解和运用十字相乘法因式分解有何异同?

学生9: 运用十字相乘法, x2+ (p + q)x + pq =(x + p)(x + q), 运用公式法因式分解本质上属于十字相乘法的特殊应用,是p=q,p=−q 两种情况.

师: 综上所述,“十字相乘法”是一种普适性非常强的方法,是通法. 它可以解决特殊结构(平方差和完全平方)因式分解问题,也可以解决一般的二次三项式结构因式分解问题,甚至它还推动了整式的乘法的发展(整式乘法图示).

问题6: 请大家结合本节课的探究和思考,做一个思维导图.

3 教学感悟

3.1 精读教材,整合教材是促使深度学习的首要前提

深度学习是对知识本质的理解,对知识内在联系的认识和整体把握. 这要求我们在进行教学设计、组织教学活动时要重视对教材这一重要范本的解读.“重视解读”不是要将教材上的内容奉为“金科玉律”,不加更改的照本宣科地传递给学生,而是应该通过精读、整合等方式将教材内部零散的知识点通过一定的逻辑关系串联起来,形成主线. 本章内蕴于知识的隐形主线是运算律与运算法则的运用引领了整式的乘法由简至繁地发展,“十字相乘法”则是这条隐形主线的显性推动者. 因此,“十字相乘法”的价值不应该仅仅局限于分解x2+(p+q)x+pq 式,它的“形”和“魂”还展示了运算律和运算法则在推动整式运算和因式分解发展时起到的引领和统摄作用. 因此我们在设计这堂课时,可以跳出教材的框架,从整体出发,以重组和发展学生的认知结构为目标,选择熟悉的素材,设置基于本质的问题串和活动链,引导学生深度感悟“十字相乘法”操作方法和思想引航的双重属性.

3.2 拉长研磨思维链条是促使深度学习的重要基础

深度学习要求学生能够全身心投入到具有挑战性、富有思维含量的学习活动. 众所周知,数学概念、原理教学的一般模式是引入—建立—巩固—应用. 在实际教学中,很多教师基于应试功利化缘故,为了在短时间内让学生习得知识,强化技能,不惜压缩甚至减免引入和建立的过程,快速给学生植入概念、原理等新知内容后就进行大量机械重复训练或题型归类训练,在此过程中,通过“变式”加大训练难度,美名其曰:“思维训练”. 这其实是一个观念误区! 实质上,数学概念形成过程承载着数学最本质的方法、思想及精神. 训练学生的思维,提升学生的思维品质,就应该尽可能拉长引入—建立的思维链条. 在上面的课例中,笔者从数学知识和获取数学知识的过程中聚焦思维的发力点(多项式乘以多项式,其结果项和项数的呈现结果,是由原来两个多项式的结构特点决定的),倒逼学生通过举例,比较,辨析,归纳(图示)等一系列思维活动深度参与“十字相乘法”的建构过程. 探索过程是曲折的,中间可能有疑惑,有偏差,有冲突,但正是这些自然而丰富的“插曲”在里面,才会促使学生在思辨过程中思维不断调整,不断优化,不断完善,通过深度参与达到知识、方法、情感、体验的多重发展.

3.3 激发学生的生长原动力是促使深度学习的最终归宿

深度学习最终归宿,不在于给学生传授了多少知识,而在于激发,唤醒,鼓舞学生生长的原动力,激励他们成为问题的发现者、探索者及研究者. 正如以上分析,“十字相乘法”这节课的如要实现深度学习,最初的设计定位收获的价值不仅仅是知识本身,更重要的是体悟到推动知识发展的“从整体到局部”的研究思想(本章大概念是整式的乘法,是整体,面向局部研究是单项式乘单项式,单项式乘多项式,多项式乘多项式);从特殊到一般、从一般到特殊的研究方法(本节课是从特殊的例子归纳出一般的规律,再用一般的规律去解释特殊的例子)和“以简驭繁”的研究观念(十字相乘法作为一般方法统摄全章). 一旦学生将这些凝聚在思维活动中的经验、方法、观念进行实质性内化,生成新的经验,组成新的认知系统的话,那么未来在研究新的对象和问题时,一定会变得有章可循,有理可依. 实现课堂培养学生发现问题、提出问题及分析问题、解决问题的能力的功能,从而发展学生数学核心素养.