同类项学习三步曲

唐高明

同类项及其合并是整式运算的基础,因此同学们要认真学好这部分内容. 在学习中,同学们要按如下三步曲来做.

准确理解同类项的意义

所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.所有的常数都是同类项,理解同类项的意义,关键要抓住以下几点.

(1) 同类项概念是对几个相比较的情况下建立的,如:2a､-3a与a是同类项;2a与-3a2不是同类项.因此单独一项就不能说是或不是同类项.

(2) 判断若干项是否为同类项,关键就是看这些项是否符合同类项的两条标准:①所含的字母相同;②相同字母的指数也分别相同. 两者缺一不可. 如3a2b与3ab2不是同类项,因为它们只具备①,不具备②;3a2b2与-3a2b2c也不是同类项,因为它们不具备①.

(3) 所有同类项都是同类项,如3与1,-2与,6与等都是同类项.

(4) 同类项与字母的排列顺序无关,如4x3y2与-2y2x3是同类项.

(5) 同类项与系数无关,n个同类项,去掉它们的系数后(即系数都看做1),余下的部分完全相同. 如-x3y,2x3y与 - x3y去掉系数后,余下的都是x3y,这就是同类项中的类,如2ab的类是ab,-2ab2的类是ab2. 这样,同类项可以理解为“类相同的项”.

熟练进行同类项的合并

在代数式中,如果出现了同类项,那么就可以把这些同类项合并为一项,即合并同类项. 如-7a2b + 2a2b,根据乘法对加法的分配律有-7a2b + 2a2b = (-7 + 2)a2b = - 5a2b. 可见,合并同类项的理论根据就是逆用分配律,由此可得出合并同类项的法则:在合并同类项时,把同类项的系数相加,所得的结果作为结果的系数,字母和字母的指数不变. 这个法则可简记为“一个相加,两个不变”,即系数相加,字母及其指数不变. 运用类似的概念又可理解为“系数相加,类不变”.

在合并同类项时,首先要准确地找出同类项,可在同类项下面画横线或波浪线以区分不同的同类项,如x2y - 3xy2 + 2x2y + xy2 +- a -中标注就表示了三类不同的同类项;其次合并同类项,运用乘法分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变,如上式可写成(1 + 2)x2y + (-3 + 1)xy2 - a + (5-2);最后写出合并后的结果. 上式的结果为3x2y - 2xy2 - a + 3. 在合并同类项时,要注意以下几点.

(1) 只有同类项才能合并,否则不能合并,如2x + 2y,4x2 - 2x等都不能合并同类项. 在合并同类项后,只要不再有同类项,就是最后结果.

(2) 合并同类项的实质是系数的合并,因此不能改变字母和字母的指数. 如3x + 2x = 5x2,7x2 - 5x2 = 2等都是错误的.

(3) 多个项中的项交换时,符号要一起移动,不能把符号丢掉,不动的项符号也不能动. 如由3x2 - 2y2 + 5x2 + 4y2变为3x2 - 5x2 + 2y2 + 4y2是错误的.

(4) 合并后的系数为带分数一定要化为假分数,如:2x + x = 2x,7x - x = 6x等都是不妥的.

(5) 合并后的系数为1或-1必须省去1. 如6x - 5x = 1x,2xy - 3xy = -1xy等都是不合适的.

(6) 合并后系数为0,结果应为0,而不能写成字母及其指数的形式. 如:2x - x - x = x,5x2 - 8x2 + 3x2 = x2等都是错误的.

灵活运用同类项的概念解题

在学习同类项的概念时,同学们并不感到困难,但灵活地运用它去解决一些实际问题却很不习惯. 事实上,同类项的概念中隐含着“相同字母的指数相同”的等量关系,利用这一等量关系,先建立简易方程,再解方程,问题便得到解决. 值得注意的是依据同类项的概念建立等量关系时,切记同类项与“系数”无关.

例1 若5m3x - 1和7mx - 3是同类项,则x = .

由同类项的概念,可以得到方程:3x - 1 = x - 3,解得:x = -1.

例2 若3am - 1bc2与-2a3bn - 2c2是同类项,求3m2n - 2mn2 + 2m2n - 4mn2的值.

先由同类项的概念求出m､n的值,再将代数式化简后代入求值.

解:因为3am - 1bc2与 - 2a3bn - 2c2是同类项,所以有m - 1 = 3,n - 2 = 1,所以m = 4,n = 3. 原式 = (3 + 2)m2n + (-2) + (-4)]mn2 = 5m2n - 6mn2. 当m = 4,n = 3时,原式= 5 × 42 × 3 - 6 × 4 × 32 = 24.

例3(1)若a4b3与3am-1bn是同类项,-2axb|y|与3am-1bn是同类项,则x=,y=;

(2)若mapbq与 - 3ab2p+1的差为-apbq,则pq(p + q)=.

(1)由题知a4b3与-2axb|y|是同类项,所以有x = 4,|y| = 3,得y = ±3. 因此应填4､±3.

(2)由mapbq与-3ab2p+1的差为-apbq知mapbq与-3ab2p+1是同类项,所以有p = 1,2p + 1 = q,解得q = 3.

当p = 1,q = 3 时,原式 = 1 × 3 × (1 + 3) = 12.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文