“理”图形表征，“论”模型本质

周伟萍

【摘要】数学学习的抽象有经验抽象和自反抽象.经验抽象可以是以真实的事物或现象作为直接的原型，由一类物质对象抽象出共同的特征;自反抽象是以已经建构的数学对象为原型的间接抽象，在更高层次上去对已有的东西进行重新构建.Ed Dubinsky提出的APOS理论是对皮亚杰的数学学习“自反抽象”的拓展.在经过操作、过程、对象、图式等阶段后完成数学对象、数学思维的建构和提升.以APOS理论为指引，对毕业班复习阶段性学业评价训练的压轴题“理”图形表征，“论”模型本质.

【关键词一】APOS理论;初中数学;压轴题

一、复习阶段性学业评价训练原题呈现

如图1，矩形OABC的顶点O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D，E，F分别与B，C，O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q.

（1）求证：△ACQ是等腰三角形.

（2）求点D的坐标.

（3）如图2，动点M从点A出发在折线A-F-C上运动（不与A，C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S，求S关于x的函数关系式.

图1  图2

二、梳理原题图形表征

本题为全卷压轴题，分值为10分，考查：旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的性质、矩形和三角形的面积等知识，用到了函数思想、方程思想、分类讨论思想、转化思想等.本题考查的是几何综合类型，也有代数的综合味道在里面，是一道符合课程标准的好题.

图形中包含着坐标、一般三角形、直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形、翻折的三角形、旋转的三角形、矩形及旋转的矩形.相似三角形中有A字型、反A字型、旋转型、一线三等角型等.

三、讨论几何模型本质

APOS理论认为，在数学学习中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式，从而理清问题过程，顺利解决问题.

1.对基本形的感知，完成操作

个体对于感知到的对象进行转换，而此时的对象实质上是一种外部刺激.不断地重复这种操作，学生可以从中得到不断的反思，会在大脑中进行一种内部的心理结构，形成一种过程模式.

图3（1）如图3，已知矩形ABCD，连接AC，求证：△ABC≌△CDA.

（2）如图3，已知矩形ABCD，将△ABC沿AC对折得△AEC，求证：△AEC≌△CDA.

（3）如图3，已知矩形ABCD，将△ABC沿AC对折，CE与AD交于Q点，AB=4，AD=8，求CQ的长.

图4（4）如图4，AO⊥CO，BO⊥DO，CO⊥EO，写出图中相等的角.

（5）如图4，AO⊥CO，BO⊥DO，CO⊥EO，若∠BOD绕着点O旋转，写出图中相等的角.

（6）如图4，AO⊥CO，BO⊥DO，CO⊥EO，若∠BOD绕着点O旋转，BF⊥OC，请构造出与△OBF相似的三角形.

设计的理由：矩形和垂直，这两个几何图形在几何压轴题中均是重要的基本形，是构成复杂图形的基础.因此，应该围绕矩形及余角定理基本形设计问题以帮助学生从各个角度去认识基本形，认识图形所承载的命题.矩形中存在全等形，可由全等形所带出的对应边相等及对应角相等，从而引出等腰三角形、直角三角形、勾股定理.余角定理涵盖着旋转的变化，以旋转角为位似中心，构造出相似的三角形及由相似三角形得到对应边成比例.

每一个问题的设计目的均是加深学生对基本图形知觉上的识别能力，并使学生通过观察、对比、计算、发现等学习行为，对附在图形之上的判定定理与该问题条件和结论的语义做细致的辨别.不断地重复操作使学生不断反思，慢慢地呈现出自动化的表现形式，不需要借助外部的刺激，而是对图形整体的一个转化及操作，可以指明图形的基本性质，还可以进行各种选定的数学计算，如勾股定理、相似三角形对应边成比例等.

2.对结构完整基本形的应用，进入过程

图5如图5，矩形OABC的顶点O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形OABC绕点A逆时针旋转得到矩形AEDF，D，E，F分别与C，B，O对应，DE的延长线恰好经过点C，AE与OC相交于点G.

（1）求证：△ACG是等腰三角形.

（2）求点F、点E的坐标.

设计的理由：将操作阶段中的两个基本形放入更复杂的图形里，與阶段训练题相似，在训练中对基本形进行寻找和确认.学生如果能在结构完整的几何图形中寻找出基本形，就完成了过程模式的建构，接下来对基本形的运用便没问题了.我们需要将基本形背后的语义分解并放入已知或求证中，培养学生通过已知条件或求证结论结合题目图形发现基本形的能力.将操作中的基本形放入平面直角坐标系中，并利用矩形的性质定理设计题目，将基本形逆时针旋转，点F在第四象限，结合相似求点F的坐标，需要在平面直角坐标系中构造直角三角形，过点F作x轴的垂线，点F的纵坐标为负数.通过加大确定基本形的难度，从而加强学生确定基本形的能力.学生若能将这一过程看作一个整体，便是把这一过程看作一个数学对象，可在结构完整的图形中具体地指出几何图形的各种性质及如何应用.

3.对复杂图形一般化后基本形的探究，明确对象

图6如图6，已知矩形ABCD，AB=8，BC=43，矩形ABCD绕着点B顺时针旋转为矩形A′BC′D′，当点D′、点A′、点D在一条直线上时，可以添加适当的辅助线和字母，写出四个不同类型的结论.

设计的理由：学生已经完成了模式构建，意识到对整体的转换与操作，就是将过程看作一个一般的数学对象.由“过程”向“对象”转移的意义在于从更高的层次进行研究，将原有的平面直角坐标系去掉，只存在两个全等的矩形，其中一个固定，另一个绕着一点旋转到一个特殊位置时，会出现哪些特殊的几何模型？开放式的问题情境引发学生再观察、再思考，如全等、对折、等腰三角形、相似等，学生可自动化地辨析出与之前相似的基本形及与基本形相关的定理，从而达到迁移的目的.学生从中发现更多图形相关的性质，可以多种不同的形式表达思维.

对本题的解决现状进行检查，可了解学生是否已经对几何基本形做出心理建构.教师在教学中更能把握学生的学习程度，找准学生学习的困难点，并有效地打开结点.

4.改编求解结论的基本形应用，形成图式

图7改编一：如图7，矩形OABC绕着点A顺时针旋转，旋转角为α，0°<α<180°，线段AF所在直线与线段BC所在直线交于点Q，作EH⊥x轴交CB于点P，求线段AQ的函数关系式.

改编二：如图7，若点M在线段AF上运动，连接EM，求45AM+EM的最小值，并求此时AM的值.

改编三：如图7，矩形绕着点A顺时针旋转中，D，B，F三点是否会共线？若会，求点D的坐标;若不会，说明理由.

图8改编四：如图8，矩形OABC旋转后使点O刚好落在线段BC上为点E.

（1）求∠OAE的大小.

（2）动点M从点A出发在折线A-F-C上运动（不与A，C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S，求S关于x的函数关系式.

（3）求△AMN周长C关于x的函数关系式.

设计的理由：学生在头脑中对原有的相关方面的问题图式进行整合，图式由单个图式发展为多个图式，并进行图式的迁移，就会产生新的问题图式.学生要会辨析并决定某些问题或某类问题是否属于这个图式，从而做出不同的反应.通过对原题的各种改编，学生跳出原有的实践活动，对自己的活动过程进行反思，认识单个图式的性质，整合多个图式的关联.学生会对基本形进行分类，在遇到新问题时是单个图式处理，还是多个图式整合，就会判断哪些问题是存在于这个图式中，最后对图式进行迁移，形成对基本形的理解，建构自己的认知结构.

设置多个例题及其变式，由问题链构成回顾小结.如让学生自己改编题目，使学生在学习后进行自我反思，达到在反思中建构新“图式”.

四、APOS理论对数学教学的价值

APOS理论起源于皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论，指导教学可以使学生经历由感性认识上升到理性认识，再经过比较、反复，形成更高层次的认识.在形成知识图式的同时，形成了思维图式，学生思维得到不断提升.在建立图式的过程中，教师不断启发学生，调动学生的积极性，使学生的非认知因素得到改善，培养学生全面发展，因此，运用APOS理论对数学教学产生指导作用.

【参考文献】

[1]乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001（03）：16-18.

[2]陈丽清.初中平面几何的概念课教学设计研究[D].成都：四川師范大学，2016.

[3]仲康康.基于APOS理论的初中平面几何教学的题组设计研究[J].鞍山师范学院学报，2018（02）：29-32.