“圆的第一节复习课”的教学设计与反思

齐肖肖

【摘要】本文笔者从不同视角研究圆的复习课教学的新模式，基于生活经验设计“破镜重圆”的生活问题，采用三段式教学层层递进复习圆的相关概念、定理和性质，通过课堂效果，反思提炼教学革新方法，融入整体建构思想，开发学生思维，让圆的知识系统化，帮助学生更好、更有效地消化吸收课堂中的难点和重点，用生活经验配合整体建构思想打造新的初三复习新模式.

【关键词】圆;三段式教学;整体建构

引言：圆是苏科版初中教材中最后学习的几何图形，学生在小学时就已经能从具体的事物中抽象出圆的形状，对圆有一定的了解.圆的知识位于苏科版九年级上册第二章内容，学生刚学习过圆的概念、与圆相关的定理和圆的一些性质，根据艾宾浩斯遗忘曲线，学生如果不及时复习，那么残留在脑海里的圆的知识会越来越少，再加之圆这一章涉及的知识点繁杂，因此圆的第一节复习课不能过多追求难度的提升.针对学生的学习现状，教师在进行教学设计时，应该略高于新课引入设置问题情境，可以充分利用知识导图，帮助学生搭建整体结构体系.因此本堂课的主旨是概念的梳理和性质、概念的总结归类.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出：“数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具[1]”，因此教师在整堂复习课中应该注重培养学生观察、分析、总结等基本數学素养.

一、教学设计过程

整堂课以回顾、思考本章所学知识及所体现的数学思想方法为主，并让学生用自己喜欢的方式对相关知识进行梳理，使其所学知识系统化;进一步丰富学生对“对称图形——圆”的认识，让学生能有条理地、清晰地阐明自己的观点;以培养学生归纳、反思的意识为教学目标，采用讲授法、讨论法、动手操作法等教学方法，让学生动手作图，通过观察——发现问题——提出问题——解决问题——总结方法的基本研究方式归纳圆这一章的知识点，形成完整的知识导图.

二、教学过程

采用四个板块，依次为：确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦、圆周角之间的关系及回归本“圆”.考虑到课堂容量有限，并结合教参的教学建议，将直线与圆的位置关系这部分内容放置在复习课的第二课时.教学时以现实生活中的圆镜为“引”，层层递进，逐步引导学生构建圆的知识体系.

板块1 确定圆的条件

图1任务1：小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图1所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片可以是.

问题1：带第1块可不可以？为什么？（预设：第1块只含有圆上两个点无法确定圆心位置）

图2

图3问题2：那可以带哪块去？怎样确定圆心位置？（预设：应该带第3块，如图2所示，可以在弧CD上再取一个点P，连接PC，PD，作PC，PD的垂直平分线，即可确定圆心O，再以OC为半径即可还原圆形镜子）

问题3：上述过程利用的是“垂径定理”，涉及了圆的轴对称性，在图3中，利用圆的轴对称性还可以得到： ①CK=PK，CM=PM（对应的弦相等）;②弧CK=弧KP、弧CM=弧PM（对应的弧相等）;③△CKN≌△PKN、△CMN≌△PMN（对应角和边相等）.

练习：①若弧CK的度数为10°，则弧PM的度数为.②若OM=13，ON=12，则CP的长为.

任务小结：利用轴对称性可以求角度，结合垂径定理可以求弦长.最终得出：要确定一个圆，除了已知圆心和半径外，不在同一直线上的三点也可以确定一个圆.

设计目的：回顾圆的定义及圆的基本组成要素：圆心定位置，半径定大小.让学生认识到不在同一直线上的三点也可以唯一确定一个圆.结合确定圆心的方法，引申出圆的轴对称性，结合圆的轴对称性找出求角度和弦长的一般方法.

板块2 点与圆的位置关系

图4任务1：在图4中，以点A为圆心，r为半径作⊙A，若B，E，F三点：①恰有一点在⊙A内，则r的范围为;②恰有两点在⊙A内，r的范围为;③恰有三点在⊙A内，则r的范围为;

任务2：若点E到⊙A上点的最近距离为4，最远距离为6，则⊙A的半径为.

小结：点与圆的位置关系通过点心距与半径的大小关系来确定，可以体现数学中数形结合的思想，任务2中体现了分类讨论的思想，可以分点E在圆内、点E在圆外来考虑.

设计目的：根据教材内容编写次序由浅入深、层层递进式复习，方便学生回顾已学的知识点.

板块3 圆心角、弧、弦、圆周角之间的关系

任务1：在图5中，弦AB=弦EF，∠AOB=∠EOF，弧AB=弧EF三个条件中，其中一个成立，另外两个条件也成立.利用中心对称性，可得△AOB≌△FOE，△BOE≌△AOF，对应的边和角均相等.

任务2：如图6所示，观察△AOB在旋转过程中，对应的弧、弦、角和形还具有等量关系吗？（预设，结论依旧成立）

图5  图6

图7练习：如图7所示，已知⊙O的半径为5，弦A′B′，EF所对的圆心角分别是∠A′OB′，∠EOF，∠A′OB′与∠EOF互补，①若弦EF=6，则弦A′B′的长为.②若∠OA′B′=30°，则∠EOF的度数为.

小结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.同时还可以发现直径所对的圆周角为90°，90°的圆周角所对的弦为直径;同弧所对圆周角是圆心角的一半.

设计目的：研究问题遵循从特殊到一般的步骤，在梳理知识点的同时向学生渗透思想方法.口述练习主要考查的是学生利用圆的旋转不变性解决问题的能力.

板块4 回归本“圆”

任务1：如图8，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为.

图8

练习：若∠CAD=90°，∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，则∠CBD=.

小结：在解题过程中，要注意隐藏的圆，简化解题过程.

设计意图：考查圆周角与圆心角的关系，同时让学生加深对圆的理解：圆是到定点距离等于定长的点的集合，让学生回归本“圆”.

课堂小结：本堂课复习了圆、圆的对称性、确定圆的条件和圆周角四节课的内容，重点复习圆周角的相关知识点，在研究问题时应追根溯“圆”.

思考题：AB是半圆的直径，图9中，点C在半圆外，图10中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在图9中，画出△ABC的三条高的交点;

（2）在图10中，畫出△ABC中AB边上的高，简要说说你的作图依据.

图9 图10 图11

小结：可以利用直径所对的圆周角等于90°，巧妙构造各边的高线.

变式：如图11所示，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E.不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线，并说说你的理由.

设计意图：引导学生灵活应用弧、圆周角、圆心角之间最基础的性质巧妙构造辅助线解决问题.

知识导图设计：

复习要回归本“圆”（源）

三、教学反思

1.引入要小步快走

课堂虽然以实际情境引入，但是起点略微拔得过高，导致后续的问题串施展不开，也不利于后面教学活动的顺利开展.“破镜重圆”固然是好事，但是对于知识记忆模糊的初三学生，过高的引入门槛会让他们望而却步.因此在这里应当降低引入门槛.教师可以充分利用数学实验手册工具，让学生动手操作.例如，让学生拿出一张圆形纸片，通过折叠的方式找到它的圆心.接下来“破镜重圆”，先把学生带入圆中，然后再逐级增加思维含量，引入时不仅要考虑学优生，还要照顾绝大多数的中等生和学困生，让他们有事可做.

2.从整体建构角度架构复习课

知识点并不是独立存在的，苏霍姆林斯基曾指出：教师要弄明白已知和未知之间的关系，因为这关系到学生掌握知识的质量及在头脑中的保持状态，同时也会有效激发学生的兴趣.教师必须让学生从整章层面去理解圆包含的基本概念、定理和性质，然后有的放矢地搭建知识体系，详略得当地处理重难点.追求现实情境引入固然重要，但是复习课更应注重的是知识的重构与组建，是知识的融会贯通.因此在这里，教师可以先抛出圆的知识导图，让学生通过练习的方式填充相应的文字和符号，这样既增加了知识的系统性，又大大提升了复习课的效率.

3.回归课本，追根溯源

书本中的练习都是经过精挑细选的，很多题目具有一定的代表性，因此复习课设计应该以书本上的简单练习为主，注重知识的回顾，又可以兼顾绝大部分学生.与此同时，教师可以在简单问题基础上进行适当变式，以检查学生的学习效果.

4.渗透核心素养

几何教学重点训练学生的观察能力和抽象能力，增强学生的几何直观.罗增儒教授指出：“数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体”，因此教师在教学时，适当设置有意义的小组探究活动，有益于学生数学核心素养的养成与发展.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.