依托课堂评价，培养学生的推理能力

[摘要]课堂评价是课堂教学中的重要组成部分，是促进高质量教学的手段，对学生推理能力的培养具有诊断和促进作用.文章以教学评价为依据，结合多个例题，谈谈在数学教学中怎样利用课堂评价来促进学生推理能力的发展

[关键詞]课堂评价;直觉推理;抽象推理;联想推理

作者简介：何建霞（1976-），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.

随着基础教育课程改革的不断深人，带来了诸多教学变革，其中较为显著的就是变“讲授式”教学为“对话式”教学，数学课堂教学再也不是教师一厢情愿的“表演”，而是以教师、学生和文本对话为载体的教学过程.长久以来这样的对话中课堂评价不仅可见可闻，而且易于操作，同时对学生思维能力和推理能力有着巨大的推动作用.现代教学论认为，有效的课堂教学离不开或明或暗的教学评价，它是促进学生思维发展，提升学生推理能力的有效措施.这就启发我们可以依靠课堂评价的内在力量，借助各种教学策略来促进学生的几何推理能力.

通过对思维过程的评价，助カ直觉推理能力的形成

学生的思维过程是通过表征的方式进行外显的，当学生完成某个数学思维后，则会形成语言成分和非语言成分的表征，二者对于思维过程同样重要通过对学生思维过程的评价，即评价学生的数学表征能力，则可对其思维过程有一个准确的认识.在几何教学中，教师可以适当的题目为载体，让学生去积极领悟和直接洞察，直观揭示数学本质.而此时需要教师的细致而个性的适时评价，来激起学生数学思维的积极性，使其获得数学的体验和对话，并逐步升华为直觉推理能力的提升.例1如图1，已知数轴上有a和め两点，试判断一，-b，a，b，a-b，a+b的大小关系.

此题主要用来测试学生的直观推理能力，需要直观思维的支撑.在完成本道题的过程中，不少学生由于对概念的理解不够充分，无法将与之对应的点在数轴上一表示，从而导致了解题错误.在解题教学中，面对学生的错误解答，自然需要教师通过数轴将“描点”的技术传授给学生，并将“如何会想到描点”渗透给学生，促进学生真正意义上的理解和领悟.进一步地，教师可以抛出问题“谁能一找寻到以上所有的坐标点”，从而为学生提供动手操作的机会，让学生充分经历观察、思考、判断和猜想，具体形象地表示出所有的数，并表达自身认识的过程，同时使其直观感受到“相反数在数轴上的具体位置关系”而此时教师需要对于学生的表征进行评价，正确的予以充分肯定，错误的予以及时纠正，进而使得其中蕴含的本质规律便会在这一个个的课堂评价中慢慢显露出来，解决本题就不困难了，也促进了数学思维及直觉推理能力的发展

通过对问题解决的评价，助カ抽象推理能力的形成

对数学问题进行推理分析是寻求到解决问题的策略的重要环节，在几何教学中教师需要努力培养和提升学生的抽象推理能力.教师需要对学生的问题解决有准确的预估，并对学生的问题解决过程进行评价，通过课堂评价为学生搭建适宜的“思维脚手架”，帮助学生及时洞察问题的内涵，助力学生逐步形成“抽象推理”的能力

例2如图2，已知AB=CD，BC=DA，且AC上有E，F两点，问：当BF，DE满足什么条件时，AE=CF

这是从课本习题中改编而来的，这样开放性的问题，可以引发学生的深度思考和自主探究.学生经过一番思考后得出以下结论

生1：当DE=BF时，AE=CF.具体证明过程如下：因为AB=CD，BC=DA，所以四边形ABCD为平行四边形，所以∠1=∠2，因为△DAE≌△BCF，所以AE=CF.（事实上，这样的错误是学生易犯的错误，已在教师的预设范围之内）师：生1的解题过程是否正确？下面以小组合作讨论的形式进行分析.（学生讨论热情很高，课堂气氛火热）

生2：刚才生1是通过“SSA"”的方式进行证明的，证明理由不够充分.（其余学生顿时领悟）

生3：我认为当DE⊥AC，BF⊥AC时，AE=CF.具体证明过程如下：因为DE⊥AC，BF⊥AC、所以∠DEA=∠BFC=90°，∠1=∠2.又因为BC=DA4，所以△DAE≌△BCF，所以AE=CF（AAS

生4：生3所说的垂直这一情况是特例，事实上只需要当DE∥BF时，则有∠DEC=∠BFA，∠DEA=∠BFC，则△DAE≌△BCF，所以AE=CF得证.

师：大家的解法都非常棒，不仅思路清晰，而且结论也很正确.

生5：那么当BF，DE共线时，AE=CF是否成立？（生5的提问显然已经在教师的预设范围之外）

生6：当点E，F在边AC两个端点的延长线上，结论又会如何呢？

师：非常好，生5和生6的思维显然已经延展开去了，提出的问题也十分具有探究性，让我们一起来研究

以上教学过程中，教师试图从问题解决过程中让学生体验数学的魅力，以激起学生的学习动机.本质上，本题旨在为学生提供开放的空间，创造出抽象推理的过程，学生的回答让教师甚是欣慰.这里，学生一次又一次的思维延伸，有助于学生养成创新思维的习惯，并提升系统思维的水平.特别地，教师以别致的课堂评价方式，为学生的自主学习和独立思考提供了契机，让学生真正进人思考状态，使其有了展示成果的迫切欲望，增强了教学的有效性，培养了学生抽象推理能力

通过对知识技能的评价，助カ联想推理能力的形成

联想推理能力是创新思维的一种，培养联想推理是教师培养几何推理能力的着力点，是培养创新思维能力的有效载体，是张扬学生个性的重要途径.知识技能是对数学知识的认知，具有般性.因此，教师在几何教学中不仅需关注到问题解决和思维过程的评价，还需关注到知识和技能的评价，让学生及时联想推理，培养学生的联想推理能力

例3如图3，已知△ABC中，有AB=AC，∠A=90°，点D平分边BC，且点E在AB上，点F在AC上，BE=AF，证明△DEF为等腰直角三角形

师：本题若证明DE=DF，则如何关联已知条件和已学知识呢？

生1：我觉得可以联想证明三角形全等的方法进行证明.连接AD，易证△AED≌△CFD或△BED≌△AFD，再借助∠BDE=∠ADF，即可得出∠EDF-90

师：这里“连接AD”的作用是什呢？

生1：图3中并未展现两个三角形全等，需要通过联想去构造.通过AB=AC点D平分边BC，联想等腰三角形的“三线合一”，即可实现构造全等.

师：以联系的观点来解决问题，并快速找寻到线段之间的关系，非常棒的想法，想象力也十分丰富，希望其他同学也能得到启示.（学生通过以上思路，进一步得出∠BAD=∠CAD=45°，又因为∠B=∠C=45°，可得∠B=∠DAC，再

由AD=BD即可得证.）

生2：我还有其他方法

师：来和大家具体说一说呢.

生2：可以作DH⊥AB，DG⊥AC，可得DH=DG.由于BH=AG=AB，BE=AF，得出EH=CF，所以△HED≌△CDF再由∠EDH=∠FDG，∠HDC=90°，可得∠EDF=90°，从而得证.（具体作图和证明过程略）

师：非常棒的证法！那么，以上证法有什么共同之处？

生3：都作了辅助线AD

师：很好，那是否必须作辅助线AD

生4：也可以不作.可以在AC上取CH=BE，并作DG⊥AC，得出△BED≌△CHD，△DGF≌△DCGH，可得ED=DH=DF，∠DFG=∠DHG=∠DEA，可得∠AED+∠AFD=180°，进一步得出∠EDF=∠A=90°.（作图和具体证明过程略）

师：很不错.那这里，倘若点E在AB的延长线上，点F在CA的延长线上，且BE=AF，其余条件均不改变，那么以上结论是否还成立呢？若成立，请予以证明.若不成立，请说明理由

数学解题，尤其是中考试题对学生推理能力的要求高，而几何推理能力不可能经过一节课或几节课形成.教师心中转载着推理和抽象的辩证关系，通过引申和推广的方式，借助适当的课堂评价，为学生提供探究的机会，让学生画图探究解题过程，切实体会到数形结合的形象性和推理的必要性，从而得出多种多样的解题策略，让几何推理过程越发鲜活起来，并使学生形成联想推理的刁惯，学生推理能力的培养便落地生根了.

总之，不管课程改革如何深化，也都是万变不离其宗的.数学推理能力的培养，不仅需要教學方法对头，还需要从推理能力的几个层面入手，一以贯之地加以培养，自然可以瓜熟蒂落.教师应该把培养学生的推理能力当作数学教学的“行动指南”之一，并与课堂评价有机结合，在师生对话和生生对话中愉快地解题，使其慢慢养成几何推理的习惯，慢慢形成数学推理的本领，水到渠成地培养几何推理能力