一种三对角矩阵的相似对角化及其应用

张兴刚　曹磊

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11965007）;贵州省科技合作计划资助项目（20157641）

摘 要：针对二维筒仓中随机堆积的颗粒体系，建立了一个由吸收系数p和侧向传递系数q决定的格点系统模型。导出了筒仓底部的压力分布与顶部压力分布的关系式，该关系式的解析计算涉及到三对角形式的传递系数矩阵A（p，q）的相似对角化。通过相似变换将A（p，q）对称化，并且提出基于二阶差分方程的方法讨论这种对称三对角矩阵的特征值和特征向量，只有在特殊情况下才能解析地求出A（p，q）的所有特征值并将其相似对角化。最后将相关的数学结果用于计算有效质量随颗粒总质量的变化关系，结果表明格点系统模型可以得到与Janssen模型类似的结果。

关键词：粮仓效应;格点模型;三对角矩阵;特征值;特征向量

中图分类号：O151，O312  文献标志码：A

颗粒介质的静力学问题是颗粒物质研究中基础且重要的方面，它与实际应用密切相关（例如，工程中地基的承载能力、砂石骨料的受力结构，材料科学中颗粒材料的力学性能，等等），对于其它复杂体系（例如，悬浮液、泡沫、胶体等）的理解也有重要的意义[1-2]。人们在很早的时候就发现，筒仓中的粮食与水在静力学方面有很不相同的表现，粮仓底部所受压力会随粮食堆积高度的增加而趋于饱和，这就是颗粒物质静力学中一个著名的效应——粮仓效应[1，3]。早在1895年，德国工程师Janssen就提出了基于一定假设的连续介质模型，对粮仓效应进行解释。然而，颗粒物质是一种典型的复杂体系，目前还没有关于颗粒介质静力学的系统、成熟的理论，许多基本问题仍需深入探究。因此，自上世纪九十年代的颗粒物质研究热潮以来，仍有许多研究者对粮仓效应及相关的问题进行研究[4-13]。例如，最近有关反粮仓效应[11]和磁性颗粒体系粮仓效应[12]的工作。已有的研究工作以实验和计算机模拟为主，理论方面也主要是对Janssen模型、OSL模型等宏观唯象模型[4]的讨论，对于粮仓效应产生的微观机理以及唯象参数与微观结构的联系还不是很清楚。为了深入认识颗粒介质所服从的力学规律，很有必要加强颗粒体系的微观结构、力网、力传递等问题的研究，基于微观的几何和力学分析建立体系的微观特征与宏观性质之间的联系[13-15]。

对于圆盘的晶格堆积，文献[6]中通过结构和力学平衡的分析得到了相邻两层颗粒间力传递的规则，并且利用力传递规则得到了随着堆积层数增加容器底部总压力会趋向饱和的结果。对于非晶格的堆积结构，不借助计算机模拟很难从理论上直接进行结构和力学的分析。标量q模型是研究颗粒堆积中力的几率分布的一个著名的模型[15]。为了便于从理论上研究筒仓底部压力分布与顶部压力分布的关系，可以采用q模型的基本思想，将筒仓中随机堆积的颗粒体系抽象简化为格点系统。本文以二维筒仓中随机堆积的颗粒体系为物理背景，建立了一个由吸收系数p和侧向传递系数q决定的格点系统模型，该模型的解析求解涉及到三对角形式的传递系数矩阵A（p，q）的相似对角化。文中通过相似变换将A（p，q）对称化，并且提出基于二阶差分方程的方法对矩阵的特征值和特征向量进行分析和计算;最后，将相关的数学结果用于讨论粮仓效应的有关问题。

1 力传递的数学模型

为讨论问题方便，这里主要研究二维的情形，将粮仓效应中的物理体系抽象为图1所示的带有边界的格点系统。在格点系统中，一个格点等效于一小团颗粒，第m行n列的格点用符号P（m，n）表示，格点的总行数M≥2，总列数N≥5，并且每个格点都受到重力m的作用。类似于标量q模型，这里主要关注每个作用力在竖直方向上的分量，因此在下面的讨论中，所说的作用力一般是指力在竖直方向上分力的大小。顶部各个格点所受的压力可用行向量f=（f， f，…，f）描述，底部各个格点对容器底的压力用f=（f，f，…，f）描述。为了给出底部压力分布f与顶部压力分布f的关系，需要结合实际物理体系的特征定义恰当的相邻两层格点間力传递的规则。这里以随机堆积为物理背景，定义了图1所示的一种典型的力传递规则。规定同一行的格点间没有竖直方向的分力，不相邻的两行格点间也没有相互作用。对于任意格点P（m，n），称其所受的重力、顶部对其产生的压力、以及第m-1行格点对其产生的作用力为输入力;将P（m，n）对第m+1行格点、及其对容器的作用力称为输出力;对于每一个格点，只有上述五种竖直方向分力的存在，为了保证格点在竖直方向的力平衡，总输入力必须等于总输出力。图1中用实线箭头比较完整地画出了第一行格点的各个输入力及输出力的情况（重力没有画），图中的虚线箭头上也标出了每种输出力对应的系数。

是一个三对角矩阵[16]。传递系数矩阵只由p和q这两个参量确定，因此为了表述方便，称这个模型为pq模型。模型中的p称为吸收系数，反映了由于容器侧壁与颗粒的摩擦所导致的格点总输入力被器壁吸收的程度，它满足0≤p<1;若容器侧壁与颗粒无摩擦，则p=0，有摩擦时0     由图1中定义的力传递规则，有fM=wM;因此由（1）、（2）两式可以导出fM与f0的关系。假设存在可逆矩阵Q使A=QΛQ-1，并且假设A-E可逆（E是N阶单位矩阵），不难导出

利用Janssen模型[1，4]可以得到Me=Ms（1-e-Mt/Ms），其中Ms叫作饱和质量;显然（33）式的结果与Janssen模型得到的结果很接近，这说明本文中的pq模型也可以解释粮仓效应，它在一定程度上正确反映了筒仓系统中力传递的特征。利用（29）式，还可以比较方便地讨论容器底部的应力分布、点载荷的响应等方面的力学问题。当然，如果要深入了解p和q对这些力学问题的影响，就需要求解方程（25）;根据前面的数学讨论，在一般情况下应该结合数值计算才能解决这个问题。

4 结论

为了从微观上理解粮仓效应，我们针对二维随机堆积建立了一个格点系统模型——pq模型。该模型的解析求解涉及到三对角形式的传递系数矩阵A（p，q）的相似对角化，这也是本文的重点。我们通过相似变换将A（p，q）对称化，并且提出基于二阶差分方程的方法比较有效地解决了该对称矩阵的特征值和特征向量的计算。对于p=1/2、q=1这种典型的情况，我们解析地导出了粮仓底部的有效质量随颗粒总质量的变化关系;其它p，q取值的情况也可转化为数值求解高次代数方程（25）的问题。本文讨论的pq模型只是格点系统模型中一种可能的力传递形式，对于不同的堆积结构和环境条件，可能具有不同的力传递规则，在数学上一般表现为不同的传递系数矩阵。本文提出的理论方法对于其它传递系数矩阵的情形有借鉴的价值，研究的结果也能加深对微观力传递规则与宏观压力分布之间关系的认识。参考文献：

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（责任编辑：于慧梅）

作者简介：张兴刚（1980—），男，副教授，博士，研究方向：统计物理和凝聚态理论的研究，E-mail：xgzhang@gzu.edu.cn.

通讯作者：张兴刚，E-mail：xgzhang@gzu.edu.cn.

Similarity Diagonalization of a Tridiagonal Matrix and its Applications

ZHANG Xinggang CAO Lei

（1.School of Physics，Guizhou University，Guiyang 550025，China;

2.Powerchina Guiyang Engineering Co. Ltd.， Guiyang 550081，China）

Abstract： A lattice model which is determined by the absorption coefficient p and the lateral transfer coefficient q is proposed for the two dimensional disordered granular columns. The pressure distribution relation between the top and the bottom of the container is deduced， and the analytic calculation of this mathematical relation involves the similarity diagonalization of tridiagonal transfer matrix A（p，q）. A similarity transformation is proposed to symmetrize A（p，q）， and the method based on the second order difference equations is proposed to obtain the eigenvalues and eigenvectors of the symmetric matrix. Finally， these mathematical results are used to discuss Janssen effect. Calculations show that results similar to Janssen model can be produced by our lattice model.

Key words： janssen effect; lattice model; tridiagonal matrix; eigenvalue; eigenvector