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一类非线性矩阵方程组性质的研究

2014-12-30张帆

科技经济市场 2014年11期
关键词:方程组特征向量特征值

张帆

摘  要:讨论了方程组X-A Y A=QY-B X B=QHermit正定解的性质及存在条件.

关键词:非线性矩阵方程组;Hermit正定解

0  引言

本文主要研究非线性矩阵方程组X-A Y A=QY-B X B=Q (1)

其中A,B为非奇异矩阵,Q为 Hermite正定阵.讨论方程组的 Hermite正定解的最大最小特征值与系数矩阵的特征值之间的关系,给出解的存在范围,并得到方程组存在Hermite正定解的充要条件。

1  主要结果

定理1 若λ- ,λ+分别为方程组 (1)Hermite正定解X的最小特征值和最大特征值,?-, ?+分别为方程组(1)Hermite正定解Y的最小特征值和最大特征值,θ-, θ+分别为Q的最小特征值和最大特征值,η,ξ分别为 A, B的特征值.那么,

证明:假设v为矩阵A对应于特征值?浊的特征向量,且||v||=1,?棕为矩阵B对应于特征值?孜的特征向量,且||?棕||=1。

定理2 若方程组(1)存在Hermite正定解 ,那么Q

证明:因为(X,Y)是方程组的Hermite正定解,所以A Y A>0,B X B>0

所以X>Q,Y>Q。

由Y>Q可知A Y A

那么X=Q+A Y A

因此 Q

同理可证 Q

定理3 方程组(1)存在Hermite正定解当且仅当矩阵A,B满足A=P*P N,B=R*R M。其中P,R为非奇异矩阵且满足R*R-N*N=Q,P*P-M*M=Q此时方程组的解为(R*R,P*P)。

证明:若方程组(1)存在正定解(X,Y),令X=R*R,Y=P*P,其中R,P为非奇异矩阵。那么方程组可写为

R R-A P P A=QP P-B R R B=Q   R R-A P P P P A=QP P-B R R R R B=Q

令N=(P*P)-n/2A,M=(R*R)-mB,则有A=P*P N,B=R*R M

若A,B满足A=(P*P)n/2N,B=(R*R)m/2M,且R*R-N*N=Q,P*P-M*M=Q

令X=R*R,Y=P*P。那么X,Y正定且为Hermite阵。此时

X-A Y A=R R-A P P A

=R R-A P P P P A

=R R-N N

=Q

Y-B X B=P P-B R R B

=P P-B R R R R B

=P P-M M

=Q

由此,方程组(1)的Hermite正定解可记为(R*R,P*P)。

参考文献:

[1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics,2012, 2012:1-15.

[2]高东杰.矩阵方程X=Q+A*X A0

[3]高东杰,张玉海.矩阵方程X-A*X A=Qq>0 的Hermite正定解[J].计算数学,2007,29(1):73-80.

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