一道三角函数问题多种解法的思考

柴华

摘  要：文章通过对一道三角函数问题的多种解法进行思考，展示不同的思路，尤其是利用几何的思想解决三角函数问题。

关键词：三角函数;解题方法;解题思考

三角函数是高考试题中的必考题，并且属于简单题，尤其是选择题和填空题更是必须拿分的题目。在处理时，学生应该尽量利用巧妙的解题方法，以节省一部分时间来解答其他问题。虽然高中数学教材有不同的版本，但是三角函数的知识点，以及高考的考查方面基本上都是相同的。下面以一道三角函数选择题的解法为例进行研究。

题目  已知[sinα+2cosα=3，則tanα=]      。

（A）[22]                （B）[2]

（C）[-22]               （D）[-2]

分析：利用常规解方程的思想，由题目已知是三角函数的正弦[sinα]和余弦[cosα，] 求正切值[tanα]，想到三角函数的基本关系式[sin2α+cos2α=1，] 列出关于[sinα，cosα]的方程组，解出[sinα，cosα]具体的数值，然后利用三角函数基本关系式中[tanα=][sinαcosα，] 得到正切值，进而完成解答，具体过程如下。

解：由同角三角关系式及已知条件，联立方程组[sin2α+cos2α=1，①sinα+2cosα=3，②]得[3cos2α-26cosα+2=0，] 即[3cosα-22=0。] 得[cosα=63。] 代入②式可得[sinα=33，] [所以tanα=sinαcosα=22。]

此种方法耗时较长，尤其是对解题准确度不高的学生来说，解二元二次方程组更是一项挑战，并且有时还容易产生增根。下面就此题提供几种简单的解法，方便学生研究。

方法1：辅助角公式。

分析：利用辅助角公式，公式为[asinα+bcosα=][a2+b2sinα+φ，] 其中[sinφ=ba2+b2，cosφ=aa2+b2。]这种思路可以把不同名的两个三角函数[sinα，cosα]（次数为1），化成一个角的一个三角函数，这样在解决问题时就可以利用正弦函数[y=Asinωx+φ]的性质来解决，具体解题过程如下。

解：由[sinα+2cosα=3sinα+φ，] 其中[sinφ=][63，cosφ=33。] 由原式可得[sinα+φ=1。] 故[α+][φ=][π2+2kπ k∈Z，] [所以tanα=cotφ=22。]

此种方法为三角函数中解决问题的常规方法，尤其是解决三角函数相关性质时，常常利用辅助角公式把函数化为正弦型函数，解决相应的问题。此题中函数值恰好为函数的最大值[3，] 这里可以利用三角函数的性质得到结果。

方法2：向量法。

分析：所谓的向量法，就是把三角函数问题利用向量这个载体来解决。向量在高中数学中有很强的应用性，学习过它的运算公式，在已知坐标的情况下能够得到向量的相应的知识点。此题就是把已知的问题看成是两个点的坐标，利用向量的数量积公式，即[a=x1，y1，b=x2，y2，a · b=x1x2+y1y2，] 把相应的已知条件表达式表示出来。而此题中[OA=3， OB=][1，] 再由[a · b=abcosa，b，] 恰好数值上取到了最大值[3，] 是同向的特殊情况，最终把问题看成是两个向量共线的情况。具体解题过程如下。

解：设[A2，1，Bcosα，sinα，] 所以[OA∙ · OB=][2cosα+sinα。] 又因为[OA ∙ OB=OAOBcosOA， OB=][3cosOA， OB，] 可得向量数量积[OA∙ · OB]的最大值为[3。] 故有[cosOA， OB=1。] 所以[OA， OB=0。] 所以向量[OA与OB同向。] 所以[cosα2=sinα1，] 即[tanα=22。]

这种方法是利用向量这个载体，利用数量积的定义及坐标公式得到想要的最值，这个最值恰好为向量共线的情况，进而得到答案。此题也是因为数值上的特殊性选择了这种方法，用向量法可以看出，解题方便、快捷，这也是向量法的优点。

方法3：几何法。

分析：几何法就是通过建立坐标系，把几何的基本元素和代数的基本研究数对应起来，利用几何图形的关系，把相应的代数式表示出来，这样方便用形的语言解决数量关系。此题中把[cosα，sinα]看成是单位圆上的一个动点，把已知条件看成是一条直线，利用直线与圆的位置关系，得到相应的结果。具体解题过程如下。

解：在平面直角坐标系中画出单位圆（如下图），设[x=cosα，y=sinα，] 所以[2cosα+sinα=3，] 可以

看成直线[2x+y=3，] 并且圆心到直线的距离[d=-33=1。] 故单位圆与直线相切。由图可知，直线的斜率[k=tanβ=-2。] 所以[tanα=][tanβ-π2=-cotβ=22。]

利用数形结合的方法解决问题，通过直线与圆的位置关系得到想要的结果。

方法4：平方法。

分析：略。

解：将原式平方，得[sin2α+22sinαcosα+2cos2α=]3。整理、化简，得[cos2α-22sinαcosα+2sin2α=0。]进而可以化为完全平方[cosα-2sinα2=][0，] 得到[tanα=22。]

方法5：三角函数齐次式。

分析：所谓的三角函数齐次式是指已知三角函数的正切值，所求的关于这个角的正弦和余弦的分式（或者可以化成分式型），并且次数一样的式子。做法是除以余弦的最高次数，进而把表达式化简成关于正切的表达式。此题是齐次式的逆运算，利用上面平方法后得到关于正切的一元二次方程，解出想要的正切值。具体解题过程如下。

解：承接上面的平方，将原式化简得到[sin2α+][22sinαcosα+2cos2α=3。] 将上式左边除以1，再利用同角三角函数关系式，即[1=sin2α+cos2α，]得[sin2α+22sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=3。] 再將左边的分式分子和分母同时除以[cos2α，] 得[tan2α+22tanα+2tan2α+1=]3，化简为[2tan2α-22tanα+1=0，] 即完全平方式[2tanα-12=0，] 所以[tanα=22。]

方法6：万能公式。

分析：万能公式是旧教材的一个公式，这里为了方便大家理解，先推导万能公式。[sin2α=2sinαcosα=][2sinαcosαsin2α+cos2α，] 分子和分母同时除以[cos2α，] 得[sin2α=][2tanα1+tan2α。] 同理，得[cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=][1-tan2α1+tan2α。] 具体过程如下。

解：同样地，先将原式进行平方、化简，得[cos2α-22sinαcosα+2sin2α=0。]再利用降幂公式[cos2α=1+cos2α2，sin2α=1-cos2α2，cosαsinα=sin2α2，]得[1+cos2α2-2sin2α+1-cos2α=0。] 化简为[32-2sin2α-][12cos2α=0，] 再利用万能公式，得[32-2×2tanα1+tan2α-][12×1-tan2α1+tan2α=0，] 进一步化简为[2tanα-12=0，] 所以[tanα=22。]

以上六种方法相对简化，其中常规方法和后面的辅助角公式及齐次式法都是在三角函数中普遍应用的方法，在很多问题上都是通式、通法，有很强的应用性。而给大家展示的向量法和几何法则是利用了与三角函数相关的知识解决，尤其是利用数形结合的思想解决，节省了很多时间，有很强的灵活性。但是，都利用此题数量上的特殊性问题来解决，虽然能够节省时间，但还是比较特殊，笔者主要想通过这两种方法引起学生的一些思考，起到抛砖引玉的作用，让学生在解决类似问题上能够简便。

参考文献：

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[3]郭水香. 三角函数的教与学研究[D]. 上海：华东理科大学，2018.

[4]向长福. 三角代换在初等数学解题中的应用[J].科教文汇（下旬刊），2010（6）.