重知识生成 促思维生长

夏开艳

摘  要：函数是刻画现实世界的重要数学模型，是初中数学的重要内容。函数的图象是研究函数的重要工具，文章以“函数的图象”一课为例，从知识生成的视角阐述函数图象的画法，感受数形结合的思想，培养学生的整体意识，促进思维生长。

关键词：函数图象;知识生成;数形结合

目前在函数图象的教学中往往只关注画图的操作技巧，即列表、描点、连线，而忽视为什么要研究函数的图象、函数图象的形成过程等问题，学生只是描摹过程，而不是启发学生思考，导致学生对画图的步骤理解不到位。文章以“函数的图象”教学活动设计为例，阐述一些相关思考。

一、内容和内容解析

1. 教学内容

本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章“函数的图象”（第2课时）。

2. 内容解析

“函数的图象”是在学生已经学习了平面直角坐标系、变量与函数，以及函数关系的三种表示方法等知识的基础上，进一步认识函数图象的意义和理解图象的画法，感受图象的直观，体会数形结合的思想方法。同时，本节课为后续学习一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质提供了一般的研究思路，体现了数学学习的一致性。

本节课的教学重点是理解函数图象的意义，经历画函数图象的过程，体会数形结合的思想方法。

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）了解函数图象的意义。

（2）会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律。

（3）经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值。

2. 目标解读

达成目标（1）的标志：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象。

达成目标（2）的标志：学会初步观察图象，从中获取相关信息，并学会初步分析函數的对应关系和变化规律。

达成目标（3）的标志：对于一个函数，会通过列表、描点、连线画出函数的大致图象;会用图象描述变量之间的对应关系，用变量的变化规律解释图象的特征。

三、教学问题诊断解析

在学习过程中，学生最大的困难就是将函数图象的特征解析成变量的对应关系和变化规律。在分析图象的过程中，需要用运动的观点看图象，即当自变量（横坐标）增大（减小）时，函数值（纵坐标）增大（减小），建立图象上动点与坐标、与变量的对应关系。这是学习的难点，克服这一难点的关键是理解函数图象的意义。

四、教学过程设计

1. 创设情境，引入新知

图1是自动测温仪记录的图象，它反映了南京冬季某天气温T如何随时间t的变化而变化。

问题1：从图1中你可以获取哪些信息？

追问1：温度T是时间t的函数吗？

追问2：你还能用其他方法表示这个函数吗？

师生共同总结识图的步骤：（1）理解变量是什么;（2）理解点的意义;（3）理解点与点之间的联系。

【设计意图】从已有的知识基础（函数的三种表示方法）和认知经验出发，让学生展开思维活动，为研究函数图象的必要性建立了良好的条件，同时将研究的问题显性化。

问题2：你能画出这个函数的图象吗？

追问1：需要记录多少个时刻的温度？

追问2：教师采集了一些数据（10组），用表格整理出来（PPT展示），能画出图象吗？

追问3：再增加一些数据，能看出图象吗？

【设计意图】从10组数据到20组、30组数据不断增加，使学生能够逐渐感受到气温图是由大量密集的时间点数据的采集记录，在平面直角坐标系中描点形成的。

追问4：形成两个变量的对应数据可以得到很多点，仔细观察每两个点之间是怎样连接的？

师生共同总结：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。归纳画函数图象的方法：记录数据—找图象上的点—看趋势—光滑曲线连接。

【设计意图】通过生活中的问题让学生体会到，当一个变量取定一个值时，通过图象也可以唯一确定另一个变量的值，突出函数的本质属性，进一步认识函数的意义，初步学习通过函数图象分析函数的变化规律和变化趋势的方法，体会图象的直观性。

2. 合作交流，探究新知

正方形的边长x，正方形的面积S，面积随边长的变化而变化，写出S关于x的函数表达式，并画出这个函数的图象。

问题1：函数的表达式是什么？自变量的范围是什么？

追问1：怎样获得组成函数图象的点？

追问2：如何确定满足函数关系的点的坐标？

追问3：该函数图象的点有多少个？为什么？

追问4：不画图之前，你能描述该函数的图象大概是什么形状的吗？

追问5：该函数图象的起始点是哪里？

师生共同总结：图象上有无数个点，我们只能画出自变量有意义的范围内的有限个点，同时想象出其他点的大致位置。

【设计意图】根据关系式的特征，通过分析、判断、想象等思维活动，增加学生“由数想形”的活动经验。教师板书，借助表格来整理数据。具体如下表所示。

[x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … S 0.25 1 2.25 4 6.25 9 … ]

教师借助投影展示学生所画该函数的图象，部分学生画的图象如图2所示，点与点之间都是用线段连接的。

师：图2是[S=x2x>0]的图象吗？

学生小组讨论，教师巡视并指导。

生1：不是，图象应该是无限延伸的。

生2：如果没有描点B，直接连接点A与点C，如图3所示，当自变量x取2时，对应的函数值有两个，这与S是x的函数矛盾。

生3：图2只是不够精确，多取一些点，用曲线连接比用折线连接更接近。

教师用几何画板软件展示，取大量[S=x2x>0]函数图象上的点，让学生观察这些点的趋势，得出该函数的图象是一条光滑的曲线，如图4所示。

师生共同总结：（1）点[0，0]取不到，要画成空心;（2）取的点越多，图象越精确;（3）x可以继续取3.5，4，4.5，…所以该函数的图象最后面要多画一些出来。

师：画函数图象的一般步骤是什么？

生：列表、描点、连线。

【设计意图】学生通过实际操作，经过层层设问，体会到画函数图象的一般步骤，这些经验为后续学习新的函数起到积极的迁移作用。同时，通过观察[S=x2x>0]的函数图象，可以直观地看出正方形的面积S随着正方形的边长x的增大而增大，从而感受到函数图象的直观性。

3. 类比学习，巩固新知

在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的对应值，即y是x的函数。画出这些函数的图象。

（1）[y=x+1;]

（2）[y=6x x>0。]

【设计意图】学生独立操作，初步学习画函数图象，进一步内化画图步骤。通过观察这些图象，初步认识有的函数的图象是一条直线，有的函数的图象是一条光滑的曲线，有的函数的图象是不规则的。

问题1：为什么函数[y=x+1]的图象是一条直线？

生4：从表达式可以看出，x每增加1，y都会增加1。这里变量y关于变量x的函数值是均匀变化的。

【设计意图】引导学生观察不同函数的图象，养成联想、类比、反思的习惯，从“形”和“数”两个方面体会均匀变化，为后面学习一次函数的图象为什么是直线做铺垫。

4. 综合应用，深化理解

运用所学知识，谈谈如何研究函数[y=x+1x。]

【设计意图】通过学生的思考、讨论、发言，加深学生对函数研究经验的内化，发展学生的迁移能力。

5. 回顾总结，展望新知

问题1：通过这节课的学习，谈谈你对函数图象的认识。

问题2：在今后的学习中，你还想研究什么？

【设计意图】让学生在回顾课堂经历的基础上，从知识、方法等角度总结自己的收获，并通过相互分享、启发，体会研究函数的一般方法，感悟知识的整体性。

五、教学反思

1. 循序渐进，关注知识生长

数学知识的教学，就是将要学习的新知识看作是旧知识的提高或延伸，在教学中需要将已有的知识经验与学习能力融会贯通。本节课回顾与解读“气温变化图”，通过对“气温图上的（关键）点的意义”和“气温图是如何作出的”两个方面的深入剖析，让学生进一步理解图象的优越性，即直观且包含大量信息。在读图的过程中，让学生感受到每个时刻都有唯一的气温与它对应，揭示函数本质，加深对函数概念的认识，借助图象的生成过程，完成了对新知识（函数图象的画法）的建构，找到画函数图象的重要生长点。

2. 抽丝剥茧，体会逼近思想

数学课堂承载教学体验的任务。数学体验源于实践操作，学生可以在体验中获得数学思考和数学表达。画函数图象是函数教学中十分重要的体验，列表、描点、连线操作的生成过程，教师先让学生列举几个时刻，通过追问“一天就这么几个时刻吗？”，再提供几组数据，充实表格中的数据，描出所对应的点，再追问“一天有多少时刻？”“应该有多少对对应点？”“我们能描完吗？”“无数个点组成了什么？”，通过不断追问和点的“加密”过程，让学生经历实实在在的思考，体会这些点结合起来“挤”在一起形成了函数的图象，学生一定能感受到“连（光滑）曲线”的必要性，体会数学结合的思想。

3. 一以贯之，拓展思维宽度

数学教学是数学思维活动的教学，数学思维的深度是衡量数学有效性的标准，思维活动的关键是要把握思维的方向性和层次性。通过层层设问、追问，在互动中形成环环紧扣的思维过程，解决了为什么要研究函数图象，能不能绘制函数图象，如何绘制函数图象等问题。在新知识的学习中，学生对一次函数的图象为什么是直线，并没有停留在表面和感性的认识，而是通过观察表达式、表格得出“从自变量每增加一个单位，函数值的变化量是固定值”，既让学生理解一次函数表达式的数字特征，让学生体会到函数关系式的结构与图象之间有一种必然联系，内化了数形结合的认识，实现了深度学习，培养了学生思考的习惯，为学生继续研究新的函数积累了数学经验，拓展了学生的思维宽度。

六、结束语

数学知识的学习是螺旋上升的，在课堂教学中需要激发学生对知识的渴求，让知识的魅力征服学生，从知识生成、发展的视角导入新知识，突破原有认知的障碍，引发学生的深度思考，体会探究数学问题的乐趣，让学生的思维触角不断生长，帮助学生建立良好的思维模式，达到提升学生思维层次的目的。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]卜以楼. 生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M]. 西安：陕西师范大学出版總社，2018.