研读探究新定义，过程解析深思考

李宁

[摘  要] 新定义考题是中考重要的压轴题之一，考题定义往往言简意赅，符合相应的数学规则. 联系教材概念，深刻理解定义，合理构建模型，数形结合解析是该类问题突破的常用策略. 而在考题解析教学中建议把握问题关联，挖掘隐含条件，引导学生全面认识考题，提升学生的思维水平.

[关键词] 新定义;几何;平移;距离;数形结合;模型

新定义考题是中考重要题型，问题往往围绕教材定义进行考题构建，题中的定义虽短短数字，但用词要義精准、简洁，语言描述符合数学规则. 以几何新定义考题为例，考题综合文字语言和数学语言，简练描述几何定义，理解定义内涵、洞察几何本质是解析的关键. 教学该类问题，提升学生的阅读理解能力，规范数学语言表达尤为重要. 下面结合2020年的北京中考几何新定义考题开展思路突破.

题目呈现

题目：（2020年北京中考数学卷第28题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外的两点，AB=1. 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.

（1）如图1，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦PP和PP，则这两条弦的位置关系是______;在点P，P，P，P中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”;

（2）若点A，B都在直线y=x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值;

（3）若点A的坐标为2，，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，直接写出d的取值范围.

解析突破

本题目为几何新定义，新定义来自数学教材的“平移概念”，对于题目新定义的“平移”二字，很容易理解，与我们所学的图形平移是一致的，而新定义中新增加的“线段”和“弦”，指的是线段平移到圆中，成为圆内的一条弦，即线段平移后的两个端点恰好均位于圆上. 在理解新定义的基础上即可开展问题探究.

1. 概念理解——突破第（1）问

第（1）问较为简单，结合圆的性质以及“平移距离”的定义即可完成，由于线段进行了平移，则由平移性质可知弦PP和PP的位置关系为平行. 对于其中的四个点，与点A相连接，长度的最小值即为“平移距离”，显然是点P3.

2. 数形强化——突破第（2）问

此题目设定点A和B均位于直线y=x+2上，求“平移距离”d的最小值，是对新定义的强化考查，需要深入理解新定义. 联想圆内模型，若圆的半径为1，弦长也为1，则该弦的两个端点与圆心所成的三角形就为等边三角形. 当线段AB位于直线y=x+2上，由于平移过程不会改变线段的长度，则⊙O中弦A′B′的长度是确定的，即AB=A′B′=1，显然圆中与直线相平行且长度为1的弦有两种.

线段AB位于直线上，但其有无数种可能，根据“最小值”可判断点A的位置. 点A′是平移所得弦的一个端点，由点到直线的最短距离为垂线段长度可知具体模型如图2，图中△A′B′O为等边三角形，A′O=1，即点A′位于x轴上，且坐标为（-1， 0）. AA′⊥BC，此时AA′的长度最短，就是d的最小值.

根据直线AB的函数解析式可知，∠ACO=60°，直线与x轴的交点C的坐标为（-2， 0），即A′C=1，在Rt△A′B′O中使用三角函数可知，AA′=A′Csin∠ACO=.

拓展：上述解析时确定⊙O上满足弦长为1的A′B′的位置有两个，且为平行关系. 为后续问题探究打基础，可进一步探究另一条弦A″B″.

同理可知△A″OB″为等边三角形，如图3，A′B′∥A″B″，则A′、O、B″三点共线，可知A″B′是⊙O的直径，于是有△A′B′A″为直角三角形，由于A′B′=1=A″B′，则∠A′A″B′=30°，从而可求出A′A″=，则AA″=，即最大距离为.

3. 模型探索——突破第（3）问

第（3）问仅设定了点A的坐标，由于AB长为定值1，则线段AB的另一端点B的位置位于以点A2，为圆心，半径为1的圆上. 根据新定义可知平移后弦A′B′与AB相平行，且长度为1，其位置受点B的影响，下面分两步进行探究.

探究一：位置距离的关联

由作图过程可知，当点B位于⊙A上的某处时，作AB的平行线，必然有两条与⊙O相交且弦长为1的线段，在第（2）问的拓展探究中可以验证. “平移距离”指的是其中相距最近的线段，此时的距离AA′即为所求值，因此需要判定其中的距离.

探究二：距离的最值模型

求d的取值范围显然需要构建最小距离模型和最大距离模型，然后分别从中提取最近距离的线段，因此需要分类讨论.

①求d的最小值，只需确定模型中⊙O上距点A最近的点即可，如图4所示，显然连接OA，与⊙O的交点就是最近距离点，即为A′，以OA′为一边作∠OA′B′=60°，与⊙O的交点就为点B′，此时最近距离就为AA′=OA-1. 求OA长可以采用两点之间的距离公式，点A到点O的距离为AO==，所以平移距离的最小值AA′=OA-1=.

②求d的最大值，根据上述分析可知，将弦长为1的线段平移到⊙O上有两种位置关系，可将其分别设为A′B′和A″B″. 分析平移后的模型可知，当线段AB位于不同位置时，两条平移弦的端点A′和A″到点A距离的变化趋势是不一致的，当其中一个端点位于近点时，另一点必然位于其远点，而A′B′和A″B″之间的距离是恒定的且为. 根据图形变化的趋势可知，距离的最大值就是AA′=AA″时的情形，如图5所示.

此时点A′和A″关于线段OA对称，△AA′A″为等腰三角形，且OA′=OA″=1，延长AO与A′A″的交点设为M，则AM为A′A″的垂直平分线. 利用第（2）问后续的拓展结论可知A′M=A′A″=. 在Rt△A′OM中使用勾股定理，已知OA′=1，A′M=，则OM=，所以AM=AO+OM=3. 在Rt△AA′M中使用勾股定理，AA′===，所以平移距离的最大值AA′为.

综上可知，d的取值范围为≤d≤.

解后思考：上述考题依托几何平移以圆为背景，融合最短距离命制新定义考题，所涉内容丰富，可全面考查学生的数学思维. 考题的三问具有一定的难度梯度，但实则是引导学生深入理解定义，应用强化，思维拓展.

考题所涉新定义具有丰富的内涵，三小问是对线段AB位置关系的全方位探索. 当其固定时就为第（1）问的情况，主要考查学生对定义的理解，利用几何直观即可做出判断;而当线段AB位于固定直线上时，就形成了第（2）问的情形，此时平移弦的位置也就固定，主要考查学生的辨析思维和计算能力，深入挖掘其中的对应关系即可完成解答. 第（3）问则是基于线段AB的一个端点固定，把握点B的移动轨迹是关键，在该情形下对应的平移弦将在圆O上进行“滑动”，该问实则就是圆外一点到圆周上点的距离问题，合理构建模型，利用模型进行“动”“静”分析是解题的重要策略，该问主要考查学生的空间思维和模型构建能力.

教学建议

上述深入探究了一道几何新定义考题的突破思路和解析方法，几何新定义题往往以教材的基本概念为基础，综合关联知识进行命题. 理解概念，活用关联知识，巧妙数形结合是该类问题突破的有效策略，下面提出几点教学建议.

1. 牢实基础，知识融合

中考几何新定义题常作为压轴题出现，通常以基础概念为背景，融入关联知识形成新定义. 考题的综合性强，但解析过程实则还是活用基础知识，合理综合，逐步突破. 以上述考题为例，考题主要考查圆、平移的基本性质以及一次函数相关知识，深入理解圆的性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，熟练掌握直角三角形的勾股定理是解题的关键. 考题教学中建议围绕问题背景进行知识回顾，开展知识关联拓展，完善知识体系，以直角三角形为例，强化勾股定理，关联三角函数，构建代数方程，形成“数”“形”转化思路.

2. 规范语言，阅读强化

几何新定义考题有两大特点：一是语言精练，二是符合数学规则，往往能够综合文字语言和数学符号精准地描述新的定义. 该类问题突破的基础是准确理解定义，挖掘定义特性. 以上述新定义“平移距离”为例，根据定义可知线段之间具有平移关系，而平移距离指的是平移前后对應端点的最小距离，故其中的线段具有平行且相等的特性. 因此，建议教师注重数学语言教学，提升学生的阅读能力，尤其是教学几何部分时，可开展语言转化训练，引导学生掌握数学符号，深刻理解数学内涵.

3. 数形结合，思想提升

数形结合是几何类新定义考题突破的常用方法策略，通过构建直观的模型，转化为简单的数学模型，利用代数解析可有效提升解题效率. 以上述考题的第（3）问为例，求距离的取值范围，充分把握问题条件构建两个极限模型，后续利用几何性质，通过勾股定理即可直接求出相应的距离. 解题过程充分把握数形结合的思想精髓，合理进行“数”“形”转化. 实际教学中需重视数形结合的解析方法，引导学生掌握数形结合的方法技巧，结合考题实例让学生体验方法的解析过程，逐步感悟思想内涵，提升学生的数学素养.