认知视角下的初中数学建模

黄敏

[摘  要] 提出核心素养之后，数学学科核心素养成为指导初中数学教学的新的指导方针. 而数学建模就是数学学科核心素养的要素之一. 在认知视角下形成的对数学建模的理解，可以使教师对数学学科核心素养的认识更深刻.

[关键词] 初中数学;数学建模;认知视角

数学建模在初中数学教学中的受重视程度常因外界环境的变化而变化. 二十世纪八九十年代，包括数学学科在内的学科建模一度非常流行;课程改革之后，教师的兴趣更多地集中在教学方式的变化之上，数学建模一定程度上被边缘化. 近几年，随着核心素养概念的提出，数学学科核心素养成为指导初中数学教学的新的指导方针，而数学建模就是数学学科核心素养的要素之一. 在这样的背景之下，数学教师对数学建模进行了重新认识与实践，显然这是一个好的现象.

在这一背景之下，思考初中数学教学中的数学建模，有着非常重要的现实意义. 这不仅是因为数学建模是数学学科核心素养的组成要素，还因为数学建模在数学教学中起着承上启下的作用. 学生不仅可以通过数学建模更好地归纳自己所学的数学知识，还可以通过数学建模为数学学科核心素养的培育奠定基础. 需要特别注意的是，数学建模不只是一个简单的数学模型建立的过程，对数学建模的认识要避免就事论事，有效的数学建模过程应该是科学认知下的产物，而这个科学认知应当是学习心理视角下的認知. 因此，本文从认知视角谈谈初中数学建模的理解与实践.

认知视角下认识数学建模的必要性

在认知视角下认识数学建模是非常必要的，因为当前初中数学教学研究的习惯容易让人误认为数学建模就是引导学生建立数学模型. 但事实并非如此简单. 在教育发达的国家，数学建模本身就是一个研究重点，也是一个学习重点. 比较研究发现，鉴于数学建模具有强大的教育功能，美、英等国近二十年来已将数学建模列为数学的重要课程. 回到我国初中教学的实际，引导教师超越数学建模概念的本身，然后从认知的视角来认识数学建模，可以形成如下几点认识：

一，对数学建模的认识，要认识其内涵与外延. 从最狭义的角度来看，数学建模就是建立一个数学模型;从广义的角度来看，这个数学模型不只是严格意义上的模型，包括数学概念、数学规律、数学解题方法在内的内容，都可以视作数学模型，而生成这些数学模型的过程，可以理解为数学建模的过程. 这样的数学建模外延理解，涵盖了学生在数学学习过程中认知的大半过程，因而具有一定的代表性.

二，数学建模本身就是一个认知过程. 在数学学科核心素养的6个要素当中，数学建模被认为是综合性最强的一个. 一个数学模型的得出，往往是学生认知心理中注意、动机、思维，以及抽象、概括的结果. 只有经历了这些过程，并且最终用数学语言描述结果，数学模型才算真正建立了起来，这样一个复杂的认知心理活动，构成了数学建模过程的全部.

三，从认知视角理解数学建模，可以更好地促进学生进行有效的数学学习. 学生的数学学习过程遵循了认知规律. 从广义的角度建立的数学建模理解，与学生的数学学习过程大多重合，因此以数学建模为抓手，可以让数学教师更好地认识学生数学学习的心理规律，从而促进有效教学的发生，进而让数学学科核心素养可以更好地落地.

数学实验能优化学生的数学建模过程

基于上述认识，到了具体的教学过程，仍然有一个需要注意的点，那就是将数学建模的认知理解转化为具体的教学实践的策略. 笔者在实践中发现，数学实验可以更好地优化学生的数学建模过程. 所谓数学实验，是指学生运用有关工具，在内在思维活动的参与下，通过手脑并用，借助观察、模仿、实验、猜想等手段获得体验“关键性事件”的经验，构建发展学生数学认知结构的素养型活动. 这里提到的“关键性事件”，从认知的角度看，可以理解为数学建模过程中的核心事件，如抽象与概括等，考虑到初中生的认知特点，数学实验可以为学生的抽象与概括提供形象的思维载体，因而有着不可替代的作用.

例如，对于“实数”概念的建立，从数学知识的角度来看，实数概念是原来学生所理解的有理数概念的拓展;从数学建模的角度来看，实数其实是在有理数这一模型的基础上建构起来的新的模型. 建立这一模型时，不妨借助数学实验的思路来进行，具体的设计可以包括如下几个环节.

环节一：复习有理数的概念，让学生举出有理数的例子;同时，教师讲授数学发展史上“万物皆数”的故事，让学生对数有一个更加清晰的了解.

环节二：进行数学实验. 这里的数学实验是由动手画图和提出问题两个环节组成的. 动手画图环节主要画的是一个边长为1的正方形，然后画出其对角线;提出的问题是“对角线的长度是多少”. 这里主要是向学生介绍古希腊毕达哥拉斯学派的一个观点，即“宇宙的一切事物都可以用整数或者整数之比来表示”，而正是毕达哥拉斯自己发现的勾股定理（可以在此先简单介绍）打破了自己的判断. 西帕索斯，毕达哥拉斯的学生，他发现边长为1的正方形的对角线的长度既不是整数，也不可以用整数之比来表示……学生在画出图形之后，原本就在思考，听到教师介绍的这段数学史之后，对产生了更浓厚的兴趣. 这就是学生理解无理数的核心环节，是“关键性事件”.

环节三：引导学生分析与概括. 在上述两个环节的基础之上，学生发现除了有理数而外，还有一类无限不循环小数，而这就是无理数……到了这一环节，实数的概念也就建立起来了.

数学建模服务于初中生的数学认知

在上面这个案例当中，实数概念的建立不是教师简单地说“有理数和无理数统称为实数”，而是让学生经历一个动手动脑的过程（动手的过程虽然简单却不可忽略，因为这是强化学生思维对象的一个环节）. 从认知的角度来看，学生也经历了一个抽象之后的分析与概括过程，学生大脑当中关于实数的理解，材料是丰富的，逻辑是清晰的，因此这样的认知过程自然是合理的.

反过来，从促进学生数学认知的角度来看，数学建模的过程可以让学生认识到，在初中数学中，哪怕是一个最简单的概念，也是思维高度参与的结果. 而从其后的数学知识运用中，学生也可以发现，在数学建模的过程中，功夫下得越扎实，用起来也就越顺手.

数学认知就是学生在数学学习过程中表现出来的认知特点，数学认知可以成为数学建模及其教学研究的一个重要视角. 之所以强调站在学生认知的角度去认识数学建模，是因为数学模型的建立可以认为是认知作用的结果，研究学生在数学学习过程中表现出来的认知规律，并且利用这些规律，可以让学生的数学建模过程变得更加顺利. 如果在模型建立的过程当中激活学生的认知，就可以培养学生的数学建模能力. 在能力培养的过程当中，又可以通过进一步的分析与概括，将这些能力上升为素养. 而数学认知将在这个过程当中发挥不可替代的作用.

总的来说，初中数学建模的目的是为初中数学教学服务，因此数学建模必须与平常的教学内容相结合，并把建模落实到培养学生的自主学习、合作探究的意识过程当中，让数学建模真正成为学生数学认知的方法，并在数学建模中提升科学素养. 笔者的实践表明，在认知视角下形成的对数学建模的理解，可以促进教师对数学学科核心素养有更深刻的认识，从而在教学中能够做到得心应手. 同时，这样的教学探索也可以为当下热门的核心素养培育提供非常有价值的参考.