分类讨论在初中数学解题中的应用

郭海霞

【摘要】

在初中数学解题方法中应用最为广泛的就是分类讨论思想，分类讨论的解题思路可以帮助学生快速掌握数学理论知识，还可以在正确的解题思路下，有效地掌握解题的规律.近年来，许多教材和试卷都增加了分类讨论的内容，这样加大了试卷的难度.大多数学生对分类讨论的数学题目并不在行.因此，对于分类讨论在数学解题中的应用应该要更加重视.本文将首先对分类讨论的内容和作用进行阐述，从而分析分类讨论法在数学解题中的应用.

【关键词】分类讨论;初中数学;解题应用

1 分类讨论法

1.1 分类讨论法的内容

（1）分类讨论简单说就是指根据数形的种类性质的不同，按照标准的分类原则对数学情况进行分类之后，再次进行讨论，归纳总结的过程.

（2）它的基本应用步骤就是根据已知题目内容分析确定要进行分类的对象，首先确立一个标准的分类原则，然后根据分类原则进行逐级分类，最后根据具体情况进行归纳和总结.其中初步审题中需要特别注意厘清分类对象的内涵和可延伸的内容.

1.2 分类讨论法的意义

在学生学习的所有科目中数学属于较难的科目，同时也是对学生逻辑能力和思维能力有较高要求的科目.一个学生的思维逻辑能力可以通过数学来检测.数学不需要死记硬背，它是检验学生学习能力的一门科目.分类讨论在数学的教学中的地位越来越重要，因为它需要学生具备细心、耐心，还有严密的数学逻辑思维等条件.目前大部分学生还是没有掌握正确的学习方法，他们认为数学是一门枯燥的学科，不愿意学习数学，这样导致其对数学的学习失去兴趣.大部分学生对数学产生厌倦，第一是因为对数学的概念理解不透彻，

分数比较低打击了自信心;第二是由于个人粗心大意解题差错百出，因此他们丧失了学习数学的热情;第三还包括学生答题的不规范性，考试紧张，综合理解能力比较弱等等.因此，在数学的学习中，找到正确的学习方法是非常重要的，学生如果能将分类讨论思想应用在数学解题中，不仅会高效地提升其解题思路，同时也能培养其综合能力.

1.3 如何引导学生进行分类讨论

分类讨论有助于培养学生的思维，看似很难的题目，我们进行分类讨论后也能变得简洁易懂.很多学生会对需要分类讨论的数学题目产生恐惧、畏难的情绪.教师应该对学生进行积极的引导，让学生树立解题的自信心.

在分类讨论的过程中，学生需要掌握一定的思维逻辑，因此教师需引导学生积极做题以锻炼其逻辑思维，使其在题目中能够感受到分类讨论的原则.学生的脑子记住了，其实不一定会写.教师还应该引导学生把学会的分类思维运用到题目上，使其拥有应变能力，并且把分类思维和课本的数学概念公式相结合起来，让学生真正地掌握分类思维.

针对学生现存学习数学的问题，教师应该回归基础，因为不是所有的学生水平都高超，教师应该结合学生的平均水平来确定上课的难度，及时把学生的知识给概括化，系统化，及时做好归纳总结，让学生对当天的数学课堂有清晰的理解.教师应留心观察每个学生的心态和情绪，发现学生情绪不对的时候，应该及时找学生了解清楚.有些学生不敢去和教师交流，教师作为学生的引路人，应该积极主动地去了解他们的学习情况.

教师上课的时候，注意力不应该只在课程的进度上，还要注意学生的听课情况，学生是否真的把知识点听进去了，否则教师在讲台上再卖力再辛苦也是没有收获的.教师应该给学生留有思考的空间和余地，教会他们发散思维的能力.如果教师经常直接告诉学生答案，那么学生就会依赖老师或者教材书，而逐渐丧失思考的能力.

2 分类讨论法在具体数学问题中的应用

2.1 数的分类

数学中包含各种各样的数，学生靠着死记硬背是很难把数的分类记下来的，教师可以画树形图教学生速记.例如，数的分类是怎么样的，实数包括什么数.学生掌握了数的分类以后，解决数的问题就更加容易上手了.例如，选出正确答案：A.一个无理数是整数或者分数; B.一个有理数是正数或者负数;C.一个整数不是正的就是负的;D.一个分数不是正的，就是负的.只有真正明白数的分类才能做出来这道题目，很明显答案是D.

2.2 根据方程中x的取值分类

例如，|2x-1|=7，解决这道题目时，如果只写2x-1=7得x=4，则这道题可能得一半分.因为这道题有绝对值符号，所以学生还需要考虑负数的因素，解决这道题还需要写1-2x=7，所以x还有一个解为-3.如果学生没有根据绝对值进行取值，就会只得出一个答案，导致一半分数的丢失.

2.3 根据题目的可能性进行分类

例如，小明家里有一个矩形的相框，其相邻两边长分别为10 cm和20 cm，小明还想做一个与该相框形状完全相同的相框，但手中只有一个30 cm长的框料，那么在新相框中与小明手中的框料制成的边相邻的边有多长？

综上可知，根据图形的要素进行明确的分类分析才能推理出正确的答案.

2.5 “三角形”问题中的分类讨论应用

在初中数学的题目中，已知的三角形的具体形状大多都是不确定的，这时就需要学生拥有明确的解题思路，对三角形问题进行深度探讨分析，对题目进行分类分析.例如，等腰三角形的一条腰上的高与另一条腰上的高的夹角为40°，求这个三角形的顶角度数是多少.

已知条件并没有給出三角形的具体形状，所以对三角形的形状只能先进行假设.

首先，假设三角形的顶角为钝角，接下来可以大致画出三角形，这样就可以得知三角形的腰在三角形外部.那么根据三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和，可以推断出三角形的顶角为90°+40°=130°.

其次，将三角形的顶角假设为锐角，同样根据画出图形的方法可知，腰出现在三角形的内部.由于三角形的内角和为180°，则可推断出三角形的顶角度数为90°-40°=50°.

所以，最终解题结果为三角形的顶角度数为130°或50°.

在解题时运用分类讨论法，首先就是需要考虑三角形的具体形状，根据题目中的已知条件列出所有可能的情况，然后按照分类讨论原则，逐一进行讨论与解题.这样，学生在解题中既能保持清晰的思路，同时又能得到正确的答案.

2.6 分类讨论不等式

初中数学中还有一个十分常见的问题就是不等式问题，有时需要运用分类讨论思想进行解题，从而得出答案.

例如，（a-5）x>a2-25，求x的值.

根据题目已知内容，可知不能只用一种方式进行求解，需要将所有情况都列出来，进行分类讨论.

（1）假设a-5>0，那么 a>5，则 x>a+5;

（2）假设a-5=0，那么 a=5，此时出现无解的情况;

（3）假设a-5<0，那么 a<5，则x

所以，最终可以得出结果：当a>5时，x>a+5;当a=5时，无解;当a<5时，x

由于有些不等式问题存在不确定性，因此，学生在解题中一定要进行全面的分析.分类讨论思想在不等式问题中的应用是较为广泛的，将每一个有可能性的情况都进行讨论，尽量较少出现遗落某一个点的错误.

2.7 参变量或结果存在多种可能进行分类讨论应用

对于初中数学来说，会涉及很多种已知题目信息不明确的问题，这就会导致参变量或结果存在多种可能的情况.

学生如果没有明确的解题思路，就会有解题中出现结果不准确、不完整的情况出现.

在运用分类讨论法解题研究时，学生应对每一个点、每一个图形的位置等都仔细研究，把每一种可能出现的情况都想出来.

例如，已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，求这个三角形第三条边的长.

根据已知条件，我们不能只考虑一种情况，需要用分类讨论的方法进行解题，将可能的两种情况列出来进行分析.

（1）由题目得出直角三角形的两条边长，那么假设已知的两条边长都为直角边长，根据勾股定理可知，第三条边长为5;

（2）假设题目中的边长为直角边长和斜边长，根据勾股定理可知，第三条边长为

最终得出结果，这个三角形的第三条边的长为5或

这个题目具有不确定性，在解题中，学生一般不会多加思考，而是直接运用最熟悉的勾股定理进行解题，即勾三股四弦五，从而得出答案为5，这样的解题过程是不全面的，没有将每一种情况都考虑进去，导致了结果的缺失.因此，对于问题的参变量或结果存在多种可能性的情况，我们应该运用分类讨论法进行解答，从而确保对题目解答的完整、准确.

2.8 分类讨论数学中的代数

教师应该引导学生在解题中对不同的题目进行分析，把学生培养出分类讨论的敏感.在解决问题时，我们应该能够看清题目的本质，然后把题目进行分类.例如，a2-1+b2-2ab=，这个式子应该用分组分解的方法.因为它被分为了四项.本题目中a2+b2-2ab正好符合完全平方式，應该考虑为一组.a2-1+b2-2ab=（a2+b2-2ab）-1=（a-b）2-1=（a-b+1）（a-b-1），所以答案就是（a-b+1）（a-b-1）.

3 结语

综上所述，在初中数学的解题中分类讨论思想方法是一种非常重要的方法，它有效地帮助学生提升个人的综合能力，开发学生的思维，使学生在学习数学时能够使用正确的方法，从而保持对数学的热爱，提升学习的质量.我们除了在学习上可以进行分类讨论，在生活中同样需要对事情进行分类讨论.我们在数学中学习到的思维在生活中同样能够应用，甚至该思维能够贯串一生.因此，教师应该让每一位学生都学会分类讨论的思路，通过正确的逻辑解题，不断总结经验，这样学生才能在数学解题中正确并且有效地应用分类讨论方法.

【参考文献】

[1]康嘉.试谈初中数学分类讨论思想在解题中的应用[J].数理化解题研究，2015（12）：44.

[2]赵秀坤.初中数学分类讨论思想在解题中的应用[J].学周刊，2012（07）：128.

[3] 邹秦.分类讨论思想在小学数学中的作用[J].科技创新导报，2014（05）：237.