基于多元教学手段下线性代数立体化教学模式研究

李敏 陈佑军

【摘要】通过对线性代数教学改革成果的研究，我们发现线性代数立体化教学模式是以简捷、应用性强、容易理解为目标，应用于教学内容、教学方法、教学手段等方面的教学模式.该模式能够让学生全面掌握所学知识，学会使用数学软件，受到学生欢迎.通过思维导图，学生可以多角度、立体化地理解所学的知识点，从而把零碎的概念及知识点整合起来，这样学习起来更方便，不但减少了烦琐过程，而且能够增强学生学习数学的兴趣，提高其解决实际问题的能力.线性代数立体化教学研究，弥补了单一教学方式的局限性、片面性，为线性代数教学改革提供了新的方向.

【关键词】

教学法;矩阵;MATLAB;思维导图

线性代数在教学改革中取得了一系列成就，如分层教学法、对分课堂、翻转课堂等教学法在课堂教学实践中取得了令人瞩目的成绩.教师利用信息技术，将慕课、微课等教学方式融入线性代数的日常学习，极大地拓宽了同学们的学习视野，激发了学生的学习兴趣，提高了线性代数教学的实效性.

教学有法，教无定法.单一的教学方式有其局限性.在多种教学手段下，线性代数立体化教学弥补了这种片面性，使教学效果更圆满，提高了学生主动学习的积极性.

1 线性代数立体化教学模式

依据线性代数的教学大纲，根据教学内容的不同，利用信息技术，采用不同的教学方法、教学手段，使学生掌握数学基本内容、基本技能，达到教学要求，完成教学任务的方法称为线性代数立体化法.其特点是：

1.目标明确，以简捷、易接受的教学手段、方法，使学生掌握知识.

2.因材施教，方法灵活，不拘一格.

3.充分调动学生学习的主动性，激发学生的学习兴趣.

4.通过学习，使学生掌握MATLAB等数学软件，提高学生掌握信息技术的能力.

5.注重理论与实际相结合，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.线性代数立体化法的必要条件是教师精通多种教学方法，掌握先进的教学手段，熟悉教学内容;教师热爱教学研究，教学经验丰富.

2 线性代数立体化教学模式应用

2.1 教学内容、教学方法上的立体化教学应用

线性代数矩阵的乘法是很重要也是非常独特的运算方法.教师若正常讲授，学生也很容易掌握，但教师如果采用启发式教学，引导学生主动思考，会得到很多意想不到的结论.教材中介绍矩阵的乘法的定义是Am×s×Bs×n=Cm×n，即第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时，矩阵乘法成立，新矩阵的行数、列数分别等于第一个矩阵行数、第二个矩阵的列数.

教师启发学生思考如下问题：①As×m×Bn×s=？，如果能运算，怎样定义乘法运算，有什么规律？

②一个下标交叉位置数字不变，即Am×s×Bn×s=？成立，或者As×m×Bs×n=？成立，怎样定义乘法运算，有什么结果，这两个结果之间有什么关系？同学们被这些问题吸引了，找出不同类型的实际例子，阐述自己的想法.

教师在这一基础上，进一步提出矩阵相乘.这种运算规律在其他领域中应用，结果如何，值得同学们进一步思考.

2.2 知识点横向、纵向相关联思维导图

学生由于受各种原因影响，对所学知识掌握得比较片面、零碎，根据这一特点，教师在教学中应注意把知识点横向、纵向及时贯通，利用思维导图，把知识点联系在一起，帮助学生建立系统的、完整的线性代数理论体系.教师通过建立完整的理论体系，帮助学生完成对各个知识点的理解，解决其学习中遇到的各种困惑，协助学生排忧解难，达到融会贯通的目标.

由于学生对线性方程组的解、矩阵的秩、向量组的线性相关性这些概念理解得不全面，因此教师应建立横向思维导图，学生根据图示描述就很快能掌握它们之间的关系，并能根据它们之间的关系解决相应的问题，如图1.

矩阵是贯串于线性代数各章节的概念，在不同的章节，定义了相应的矩阵.因此学生在学习过程中，感觉概念多，知识点分散，掌握难度比较大.教师在教学过程中，应在详细剖析各类矩阵的概念之后，把各类矩阵纵向联系起来，这样可以帮助学生把各类零碎的矩阵概念统一起来，建立完整的矩阵体系，如图2.

2.3 教学手段上立体化教学应用

实对称矩阵可以对角化这个原理，由于解题量大，步骤比较多，学生容易对其产生厌烦心理.在学生掌握概念及解题思想的基础上，教师可以教学生使用数学软件MATLAB，

帮助学生树立使用数学技术及现代工具思想，让计算机技术真正走进我们的教学.学生在学习软件的同时，感受新技术的便捷，领略数学的魅力，这样有利于增强其学习兴趣.

在教学中，教师要求学生用正交矩阵将实对称矩阵对角化.例如，对对称矩阵 进行对角化.在学生全面掌握计算方法，正确求解后，教师可以要求学生在数学软件MATLAB中演示用正交矩阵将实对称矩阵对角化的算法.学生通过以下操作，对实对称矩阵A进行对角化.

解：在MATLAB命令窗口中输入命令

计算结果中，矩阵P的列向量就是正交化向量组，D就是对角化的结果.

学生通过操作，深感计算机强大的计算能力，也为自己掌握一门软件技术感到自豪，增强了学好线性代数的自信心.

3 线性代数立体化教学模式应用效果

通过多年的教学研究，线性代数立体化教学模式应用效果比较明显，表现在如下方面：卷一的通过率由原来的65[WTB3]%[WTBX]提升到78[WTB3]%[WTBX];卷二的通过率由最初的62.5[WTB3]%[WTBX]逐年递增4[WTB3]%[WTBX]，个别好的班级，超过85[WTB3]%[WTBX];课程组平均通过率保持在75[WTB3]%[WTBX]左右;学生在考研中，线性代数的得分率逐年提高.部分学生受到学习线性代数的影响，学习数学的兴趣与热情得到提升，学习成绩提高，自信心增加，在老师的鼓励下，参加MATLAB选修课、数学协会的人数增多，参加数学竞赛的积极性提高.2018年全国数学竞赛，我校学生获得国家级一等奖1名、二等奖3名、三等奖11名，获奖率6.8[WTB3]%[WTBX]，获山东省一等奖6名、二等奖9名、三等奖37名，获奖率23.6[WTB3]%[WTBX].线性代数立体化教学模式，使学生全面掌握了数学基本内容、基本方法，学会使用数学软件，增强了解决实际问题的能力.学生通过思维导图，多角度、立体化理解所学的知识点，把零碎的概念及知识点联系起来.这样学生学习起来既方便又效果好，减少了烦琐过程.这种方式受到了学生的欢迎，增强了学生学习数学的兴趣.

4 结束语

通过对线性代数立体化教学模式的研究，我们取得了一定的成绩，教师的教学方法、教学手段不断提高、完善，学生的学习兴趣得到增强，主动学习的人数不断增多.我们也发现了一些需要进一步提高的方面，如教师在课堂教学方面需不断调整，教学手段需进一步更新，要以简捷、高效、易理解的方式，使学生领会所讲知识.线性代数的数学实验课急需进一步完善，要和教材相结合，形成系统的、操作性强的、配套的统一体.

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