当导数遭遇三角

曹轩 龚芮

去年全国卷Ⅰ出现三角函数为背景的导数压轴题，今年各大模拟试题也出现了很多导数与三角函数的交汇类型，并且题型相对比较固定，主要侧重三个方面的问题：一是以三角为背景的恒成立问题，二是三角背景的导数零点问题，三是以三角为背景的不等式证明问题.由于三角型函数的周期性，对称性，有界性等方面的性质，无法多次求导使得三角函数消失，学生往往很难处理此类问题.

類型1 三角与恒成立

导数与三角的恒成立问题，往往考查的是“端点”效应，当然这里的“端点”可能是区间端点也有可能是整个函数对称点处;并且我们在书写过程中充分性的表述可能会用到三角型函数的有界性，必要性的证明中需要利用三角函数“端点”处的局部单调性（明确的）去寻找到恒成立的矛盾区间或矛盾值.

综上原不等式得证.

总之，三角函数正逐渐走进导数解答题，并由于它一些独有的性质，正逐渐受到命题老师的青睐.三角函数与其它函数在一起时，往往需要放大抓小，如果其它函数具有对称性我们就从整体的对称性考量.从辩证法的角度看，在局部小的范围内具有确定的单调性，往往需要求导多次，才能找到一个某阶导数恒大于零或小于零的情况，同时三角函数相对于其它函数在运动中相对稳定，可以借助它的有界性进行放缩处理.