深度学习视域下数学学材功能的分析

丁益民

【摘 要】 以苏教版新教材必修中“常用逻辑用语”为切入口，挖掘相关学材在激趣、引领、启发、探究等方面的教学功能，引导学生进行深度学习活动，达到理解数学知识本质的目的.

【关键词】 学材;常用逻辑用语;教学功能;深度学习

深度学习是对学习状态的质性描述，涉及学习的投入程度、思维层次和认知经验等多个层面，强调对知识本质的理解和对学习内容的批判性吸收和利用，追求有效的学习迁移和真实问题的解决，属于高阶思维为主要认知活动的有意义学习.杜威的儿童观和教材观强调以学生需要为出发点，在“学生为本”的理念下，注重学生直接经验和间接经验的相互融合，教材更关注学生的自主空间，关注学生的主动学习，关注学生的主体意识，激发学生的学习动力，引导学生学会学习，实现学生的自我价值，发挥教材应有的教育功能.

各版新教材相继出版并陆续进入使用状态，新教材都突出体现了教材的“学材”属性，研析这些素材的教学功能，引导学生进行有意义的学习活动，促进学生理解知识本质，深度学习.本文以苏教版必修第一册第2章“常用逻辑用语”为例谈谈一些认识与思考，敬请指正.

1 发挥学材的激趣功能，激发学生学习的内驱力

新教材从素材的选取及呈现方式，到先行组织者的设计、栏目板块的设计、正文的叙述方式、习题的编设等方面都尽可能地以引发学生学习的好奇心，激发学生的学习兴趣为目的，让学生带着浓厚的兴趣去学习数学知识.

本章的“阅读”栏目给出了两则著名的“悖论”，“悖论”以故事的形式呈现给学生，学生在感受乐趣的同时也会理性思考“悖论”产生的原因——“悖论”的出现往往是由于人们对某些概念的理解和认识不够深刻所致.具体来说，“芝诺悖论”是由于以形而上学的观点看问题，不承认无限是客观存在的，反而用一系列有限的过程来逼近无限.“理发师悖论”（“罗素悖论”）的提出，促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支——公理集合论.在教学中若能将这些素材背后隐藏的数学史料开发成显性材料，以通俗易懂的故事形式呈现出来，必将激发学生的学习兴趣和探求欲望.

在习题方面，教材分别在习题2.1、习题2.3、复习题的“探究·拓展”栏目中设置了相应的激趣素材.如在习题2.1的这道题：

考察下述推导过程，找出错误原因.

若x=y，则有xy=y2，从而有x2-xy=x2-y2，即有x（x-y）=（x+y）（x-y）.

所以x=x+y.又因为x=y，所以x=2x.所以1=2.

这道题旨在引导学生阅读材料，反思该“伪证”背后的逻辑漏洞，以这样的示错过程来启发学生在进行推理时要注重步骤间的逻辑性与等价性.很明显，这样的学材能激发学生学习数学的兴趣，尤其是诱发学生学习逻辑用语的积极的心理驱动，学生在逻辑推理中感受数学的理性力量.

2 发挥学材的引导功能，引领学生学习的方向

教材特别重视章首语在引导学生进行数学学习方面的作用.章首语作为一章之首，提供了与整章内容相关的问题情境，一般以学生熟悉的生活背景或学习经验作为引子，既是本章核心内容的原型，也是引领整章内容的问题，是该章的知识生长点、核心内容或研究方法，对本块内容的学习起先行组织者的作用.

相对于初中数学知识，本章内容较为抽象，对学生的逻辑推理、数学语言的运用等能力要求较高，是学生学习难点之一.为了降低学生的认知难度，教材选择之前学习过的数学命题作为导引，从数学内部提出问题，让学生在熟悉的语言环境中感受逻辑用语在进行数学表达和数学推理时的作用，让学生初步学会运用逻辑用语准确地表达数学内容（对象），为更好地进行数学交流做好准备.

本章章首语是这样给出的：

命题1 两个偶数的和是偶数.

命题2 和是偶数的两个數一定都是偶数.

为了判断这两个命题的正确性，我们换一种语言来表述它们：

命题1 如果a是任意的偶数，b是任意的偶数，那么a+b一定是偶数.

命题2 如果a+b是偶数，那么a和b都是偶数.（活动1）

对于命题1，因为a是偶数，所以存在m∈Z，使a=2m;

因为b是偶数，所以存在n∈Z，使b=2n;所以a+b=2m+2n=2（m+n）.

因为m∈Z，n∈Z，所以m+n∈Z，所以a+b为偶数.（活动2）

对于命题2，取a=3，b=5，这时a+b=8是偶数，但3不是偶数，5也不是偶数.（活动3）

该章首语包含多个方面的信息：既有数学命题基本格式（如果……那么……）的呈现，又有逻辑量词（任意，存在）的使用，也有演绎推理中“三段论”的格式体现，更有“反证法”进行推理的示范，这些都直指本章的学习目标——逻辑用语的含义以及如何使用逻辑用语.进一步地还给出本章的学习定位与核心问题：

数学研究过程中，提出问题、解决问题需要进行数学推理，数学推理要用数学语言表达，需要使用一些基本用语，例如，“如果”“那么”“因为”“所以”“任意的”“存在”……

●这些用语的含义是什么？

●在推理过程中，怎样使用这些用语？

在后继学习中，学生的认知方向是按照上述章首语的引领路线递进的：首先要能像活动1那样将命题写成“若p则q”的形式，并能通过合适的方法（活动2、活动3）判断真假，当然还需要了解真命题与定理、定义之间的关系，为后续进一步学习时进行严谨的推理证明提供理论依据，为此就需深入到命题的结构中去考查条件p与结论q之间的关系，具体感受性质定理和判定定理之间的区别，从整体的角度以逻辑的视角理解这两类定理的逻辑属性.最后再学习另一类含有量词的命题，从逻辑的角度理解和表达具有部分与整体意义的命题.在学材的引领下，学生的学习是具有方向和目的性的整体建构过程，为学生的有意义建构奠定了基础.

3 发挥学材的启发功能，提升学生学习的思考力

教材注重通过文本与学生进行无声互动，让学生在问题中思考，在思考中感悟.正文部分每节均设计了“节问题”，通过问题驱动思考，问题直指概念本质.除此之外，还通过“思考”“旁白”等栏目来启发学生，培养学生进行数学思考的能力.

以“旁白”为例，旁白是正文的解说词，是正文的补充与延伸，对正文起支撑、传承的作用，具有良好的启发性，能激发学生思考与探究，促进他们主动地学习研究，理解知识的内涵与本质.如2.1节设置旁白1：“判断命题为真，需要进行证明.判断命题为假，该怎么做？”旁白1是启发学生运用“举反例”进行思维活动，“举反例”是判断命题为假、验证“充分性、必要性”时重要的思维操作程式，通过此旁白让学生体会到判断命题真假时不同的思维过程（判断命题为真时需要严谨的演绎推理，判断为假时则需要寻找反例进行否定）.为了加强“举反例”在教学中的作用，在2.2节再次设置了表述性的旁白2：“还可以通过举反例来说，如22=（-2）2，但2≠-2.”旁白2是让学生在进一步学习时更深地体会“举反例”的逻辑价值，巩固这种运用逆向思维进行辨析与思考的思维成果，形成批判意识.又如在2.3.1节设置旁白3：“在语句（1）～（5）中，哪些是命题？如果是命题，又有哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题？”该旁白是学生初步接触“全称量词命题”和“存在量词命题”概念后提出的，运用旁白让学生在解决“节问题”后进行的深度认知，让学生从概念的本质去理解“全称量词命题”“存在量词命题”，并不是从外在形式进行的表浅认识，而是对抽象概念进行具体操作的同化顺应过程，这显然利于对概念的准确把握.

很明显这些旁白的活动目标指向明确，通过旁白设置相应的思维活动，让学生在目标指向明确的活动中对概念的内涵、外延进行理解，是促进学生进行数学思考、准确理解本质的重要途径.

4 发挥学材的探究功能，促进学生学习的理解力

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确将“阅读自学”作为数学教学活动之一，体现了“数学阅读”在高中数学学习中的重要性.信息时代，学生知识的获取、能力的形成以及情感的培养远远不能仅依赖于教材或课堂.如果将阅读材料视为区别于正文的内容，只是将其视为“阅读”的文本，则大大削弱了这些资源的教学价值.教材中的阅读素材所设置的问题与建议，在拓宽学生视野的同时还关注学生学习的能力和数学素养的提高，这其实代表着一种引领学生进行自主学习的导向.

本章习题中设置两道“阅读题”——第2.3节第6题和复习题第6题，很明显这两道题的定位均为“探究·拓展”，这两道题是基于帮助学生正确理解“含有量词的命题的否定”“充分条件”“必要条件”等概念而设计的，分别从生物学科和数学文化的视角对相关概念进行理解，拓宽了理解的方式.第2.3节第6题是从生物学科的视角去理解数学中的全称量词命题及存在量词命题之间的关系，而这种关系又可从集合的视角来进行表征，这样便沟通了其他学科与数学，集合与逻辑之间的关系，由此打开学生思维，让学生进行更为广泛的探究，最终定位于从集合角度理解命题与命题的否定的逻辑意义.复习题的第6题则是一道数学文化题，《墨经》中关于“小故”和“大故”就是我国墨辩逻辑的用語，其分别对应了数学逻辑中的“必要条件”和“充分条件”，体现了我国古代在逻辑学上研究的卓越成就.

为了适应不同学生学习的个性化需求，教材还设置一些具有探究性质的学材，来帮助学生进行探究拓展的活动，如教材在每章末专设“问题与探究”，以此引导学生进行探究活动.本章的“DY三角形”是新情境，让学生从命题的角度对“DY三角形”的定义、性质定理、判断定理进行理性认识，形成关于命题研究的体系，促进学生对命题价值的深度理解，引导学生在新情境中去解决问题，形成迁移能力.

总之，教师在教材的使用过程中要挖掘学材的教学功能，让学材更有利于学生数学学习力的提升，促进学生理解知识本质，促进深度学习.