极点与极线视角下求解2020年高考圆锥曲线题

广东第二师范学院番禺附属中学 (511400) 舒海燕福建师范大学数学与计算机学院 (350117) 陈清华

2020年高考落下帷幕，高考试题精彩纷呈，值得我们认真研究和学习.笔者试着对2020年高考全国Ⅰ卷理科数学第20题进行了探究.原题再现如下：

图1

一、极点与极线的代数形式

定义1 对于圆锥曲线C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，已知点P(x0,y0)(非中心)及直线l:Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0，则称点P和直线l是圆锥曲线C的一对极点和极线.特别地：

(4)对于抛物线y2=2px(p>0)，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x).

二、极点与极线的几何形式

图2

定义2 如图2，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点ABCD，连接AC、BD交于Q，连接AD、BC交于R，则直线QR为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.

三、实例分析

例1 (2020全国I卷理11)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA、PB，且切点为A、B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( ).

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

图3

图4

图5

(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1,k2,k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

掌握圆锥曲线的极点与极线知识与常用性质，不难洞悉专家在制高点上的命题趋势与知识背景，可以帮助我们直观感知，思辨论证,快速知道结论,明确解题方向，从黑暗的探索中去感受这光明的数学世界.