浅谈中学物理图像中的斜率

杨清源

摘 要：物理图像既是研究物理的重要方法，也是历年全国各卷高考的重点，尤其是图像的斜率问题，既是热点也是易错点。本文从斜率的定义出发，探讨了物理图像中切线斜率和割线斜率的含义，并进行分类讨论，理清了不同情况下斜率的区别和联系。

关键词：物理图像；切线；割线；斜率

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）10-0041-4

物理图像在中学物理中占有很重要的位置，物理图像可以直观、形象地描述相关物理量之间的关系。物理图像包含的信息很多，其中正确理解图像中图线的斜率是正确理解和应用物理图像的重要环节。

1 图像中斜率的定义

1.1 数学图像中斜率的定义

在人教版《数学必修2》中写到“在直角坐标系中，我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tanα”。结合正切三角函数的定义，我们可知，直线斜率也为k=（此处x和y分别是自变量和因变量）。如果函数图线为曲线，则曲线上某点的斜率是指过该点的切线的斜率，k==tanα。如图1，其中α是切线和x轴正向夹角，取值范围是0°到180°，斜率有正负之分。斜率k=其实就是当Δx趋近于0的时候y对x的变化率，也就是y对x的导数。按照中学物理的教学习惯，我们还是用表述。

在数学中，图线上某点割线斜率，定义为该点P（x，y）和坐标原点连线的斜率，割线斜率大小为k==tanβ，如图1。

结合图1，比较切线斜率和割线斜率的定义，可知切线斜率和割线斜率明显不同。

1.2 物理图像中斜率的定义

物理图像中的斜率定义和数学图像中的斜率定义大体相同，也定义为k=（此处x和y是两个不同的物理量）。其实，斜率就是物理量y对另一物理量x的导数，它与物理量y的函数对物理量x的求导结果是一样的。但物理图像和数学图像又有明显区别：物理图像中，由于横纵坐标相应物理量的单位长度不同，甚至无关，因而物理图线斜率通常只写成k=，而不写成k=tanα，即斜率不再与具体角度数值对应。

同理，物理图像中的割线斜率大小为k=，即图线上某点和坐标原点连线的斜率，物理图像中的割线斜率同样不涉及角度。

由于切线斜率和割线斜率形式相似，而含义不同，在物理学习中，学生经常将两者混淆。

2 物理图像中切线斜率的物理意义

物理图像中，图线都有斜率（在没有特别说明的情况下，通常将图线的切线斜率简称为图线斜率或斜率），但斜率不一定有物理意义。如果斜率有物理意义，则斜率的正负通常也有相应的物理意义。在中学物理中，图线斜率有意义的通常有下面两种情况。

2.1 斜率反映物理量对时间的变化率

中学物理有很多物理量反映的是另一些物理量A对时间t的变化快慢，也称之为A对时间的变化率，常用比值法定义，形式为，如速度、加速度、功率、感应电动势等。这些物理量有瞬时值和平均值之分，在相应的A-t图像中，斜率有物理意義，与图线是直线或是曲线无关。通常物理量A是时间t的连续函数A=f（t），斜率即为A对t的导数。

例如，加速度是反映速度变化快慢的物理量，其定义是速度的变化量Δv和相应时间Δt的比值，即a=。Δv是过程量，当Δt为某段时间的时候，a是平均加速度；当Δt趋近于0的时候，a就是瞬时加速度。做直线运动的物体，在其速度随时间变化的v-t图中，斜率反映的正是瞬时加速度，斜率的绝对值为加速度的大小，斜率的正负反映加速度的方向。

再如，感应电动势反映的是磁通量的变化快慢，也叫磁通变化率，对于单匝闭合线圈，其定义式是E=。磁通变化量ΔΦ是过程量，当Δt为某段时间的时候，E=是平均感应电动势；当Δt趋近于0的时候，E=就成了瞬时电动势。在单匝闭合线圈的磁通量随时间变化的Φ-t图中，斜率是瞬时感应电动势，斜率绝对值为电动势的大小，斜率的正负符合楞次定律，反映感应电流的方向。假如磁通量是复杂的时间函数，通过求导，可知电动势的变化情况，其导数与图线的斜率对应。

2.2 斜率反映物理量对空间的变化率

也有一些物理量反映的是另一些物理量A对空间x的变化快慢，形式为，在相应的A-x图像中，斜率有物理意义，与图线是直线或是曲线无关。通常物理量A是空间量x的连续函数A=f（x），斜率即为A对x的导数。

在匀强电场中，电场强度可以表示为E=，其中d是沿电场方向某两点间的距离，U是这两点间的电势差，亦即Δφ；如果不是匀强电场，则E=反映的是平均电场强度。在空间沿电场线方向，电势随空间位置变化的φ-x图中，当Δx趋近于0的时候，斜率就是该点的电场强度，因为电场强度反映的是电势随位置的变化快慢，其可以定义为，斜率正负反映电场强度的方向。

例如，真空存在两个静止的等量同种正点电荷，相隔一定距离，沿它们的中垂线建立坐标系Ox，坐标原点为两个点电荷连线中点，设无穷远电势为0，则电势φ沿x轴的变化规律如图2所示。

由图2可知，B位置图线斜率比C位置图线斜率绝对值大，即kBx>kCx，说明B位置电场强度比C位置强；两斜率正负符号相反，表明B、C两点电场强度方向相反。同理，而O点图线斜率为零，表明两电荷连线中点电场为0。

3 物理图像中割线斜率的物理意义

某些物理量虽由其他两个物理量x和y定义，但不是按照斜率的形式定义，而只是的形式，故在y-x图中斜率没有物理意义，只有割线斜率有意义。

例如，在小灯泡的伏安特性曲线中，如图3所示，图线上任一点的切线斜率没有意义，而割线斜率才有意义，因为电阻的定义为R=，而不是R=。图3中，灯泡在P状态的电阻值为R===14 Ω，而不是R===35 Ω（本文不讨论动态电阻）。endprint

4 物理图像中的特殊情况

4.1 比值法定义的不变物理量

某些物理量的定义虽不是，而是（包括变形式），但由于在特定条件下其数值并不变化，图线为过原点的直线，如图4，图中割线斜率与切线斜率在数值上相等，此时物理量的大小等于，也等于图线的斜率。值得注意的是，尽管两者数值相等，但含义不同，有物理意义，但无物理意义，仅仅是数值相等。

例如，弹簧在弹性限度以内，根据胡克定律F=kx（x为相对弹簧原长的形变量），在弹簧弹力和形变量的F-x图中，k==。其他类似的还有电容器电量和板间电压Q-U图中，电容C==；电场中空间某点检验电荷受到的电场力大小和检验电荷电量F-q图中，电场强度E==，等等。

4.2 物理规律中的物理常量

在某些物理规律相应的物理公式中，含有某些物理常量，虽然它不是按照斜率的形式定义，但由于其不变的特点，如果视物理公式为数学函数，也可以在相应物理图像中按照斜率处理。

例如，根据光电效应方程可以得到EK=hν-W，在光电子最大初动能和入射光频率的EK-ν图中，斜率为普朗克常量h，如图5。

中学定量处理的物理图像以直线居多，即线性函数。但在很多物理规律中，相关物理量之间并不是线性关系，如果将公式中某部分作为一个整体并当成新的变量，那么就可以将非线性函数变成线性函数，也就将物理图像由曲线变成了直线（不一定过原点）。此时图线斜率是定值，斜率与一个或几个不变的物理量或物理常数相关，借助斜率就可以处理某些物理问题了。这种处理后的直线斜率有算术意义，在量值上等于某些不变物理量与常数的运算结果，而斜率的正负通常没有物理意义。

例如，在用单摆测量当地的重力加速度实验中，单摆做小角度摆动时候的周期公式是T=2π，变形可得L=，根据多次测量的数据，画出L-T2图，根据图像可求出图线的斜率k=，又因为斜率k=，进而可以求得重力加速度g。

上述这种化曲为直的思想，借助斜率求解不变物理量的方法，体现着创新能力，是探究物理规律或者求解某些物理量的常见方法之一，这也是物理图像法的优点之一。

干电池短时间工作，通常内阻可视为定值。图6为某干电池的伏安特性曲线，图中U为电池的路端電压，I为通过电池的电流，借助图像我们通常用求电池内阻r，能这么处理的原因有以下两个方面：一是将闭合电路欧姆定律U=E-Ir视为数学函数，电动势E和内阻r是定值，U-I图线斜率绝对值数值上等于内阻；二是根据电阻的定义和串联电路电压的关系，有r===。对于其他某些电源（比如光电池），其伏安特性曲线不是直线，其内阻是变化的，此时r≠。

5 典型易错习题

如图7所示，某同学用轻绳通过定滑轮从静止开始提升一重物，运用传感器（未在图中画出）测得不同时刻轻绳的拉力F和被提升重物的速度v，并描绘出了F-图像，如图8所示，图中AB、BC和C点分别对应连续的三个时间阶段。取重力加速度g=10 m/s2，绳重及一切摩擦和阻力均可忽略不计。

在提升重物的过程中，除了重物的质量和所受重力保持不变以外，还有一些物理量的值也保持不变，请列举之，并求出它们的大小（加速度求解略）。

常见求功率的错误解法：根据功率公式P=Fv（F与v夹角为0°），类比v-t图可知，在F-图中斜率即为功率，又因为BC段的斜率为定值，故第二过程中绳子拉力的功率是定值，即P===24 W。

其实，F-图中的斜率不是功率！否则会出现矛盾：BC段斜率是定值，该过程绳子拉力的功率是定值，即24 W；同理，AB段斜率是0，说明该过程绳子拉力没有功率。而实际上，AB段对应过程中绳子拉力肯定做功，是有功率的。出现矛盾！

错因分析：公式P=Fv中三个物理量都是瞬时值，在F-图中，斜率没有物理意义，它不是功率！不同瞬间（或不同状态）数值上才等于功率。也就是说，在F-图中，BC段的斜率尽管为定值，但它不是功率，没有意义，所以它不是“该过程绳子拉力的功率是定值”的依据。功率不变的依据应该是：BC段上的不同点，数值都相同，即割线斜率相同。只不过该段是过原点的直线，有=，恰巧等于功率。同理，在AB段中，斜率是0，但斜率不是功率！功率应该是AB段上的不同点对应的数值（即图中AB段上任一点与原点连线的割线斜率）。在由A到B的加速过程中，的数值是增大的，与实际情况相吻合。

6 物理图像中斜率含义小结

物理图像和物理概念、物理规律密切相关，只有透彻理解物理概念，才能正确理解物理概念之间的量值关系，才能正确理解图像中的斜率[1]：如果物理量能定义成，则图线斜率有意义，否则无意义；如果物理量只是形式，则图线上任一点的割线斜率有意义，切线斜率没意义。特殊情况下，当图线为过原点直线的时候，切线和割线重合，物理量在数值上等于相应的切线斜率和割线斜率，但含义不同。对于含有某些物理常数的物理规律，通过转换变成一次函数后，图线斜率数值上等于相关物理量的计算值。

参考文献：

[1]谢立峰.图像中的两类“斜率”[J].物理教学探讨，2015，33（5）：44.

（栏目编辑 罗琬华）endprint