同构法在解题中的应用*

福建省泉州市第七中学 (362000) 杨 丹 黄永生 林志敏

在不等式恒成立(存在性)问题中，很大部分试题是命题者利用预设函数的单调性命制出来的，解题者如果能通过观察，变形找到命题者构造的函数模型，那么解题效率将大大提升.本文从同构法角度出发，归纳同构函数的基本类型，总结解题策略，希望对读者有所启迪.

1 同构法

将F(x)>0等价变形为f(g(x))>f(h(x))，构造函数y=f(x).若f(x)单调递增，则F(x)>0等价于g(x)>h(x)；若f(x)单调递减，则F(x)>0等价于g(x)

2 同构类型

类型一 地位同等同构

含有地位相当的两个变量x1,x2或m,n的不等式，对原不等式整理后得到两边具有一致性结构的新不等式.解决此类试题，往往可以从函数的单调性出发，构造新函数.例如：

类型二 指对跨阶同构

例2 (2019年福建省高三毕业班质量检测理科数学21)已知函数f(x)=x(e2x-a).(1)略;(2)若f(x)≥1+x+lnx，求a的取值范围.

评析：解法一根据指对数互化，采用局部同构思想将复杂函数等价变形为简单函数，并利用切线放缩，求最值.当然，等号是否能够取到是切线放缩求最值得关键.解法二先采用换元法，再对t=xe2x两边取对数，返代原式求解，这也是解决一类同时含有xaebx与lnx函数问题的重要方法之一.

类型三 无中生有同构

例3 若m为正实数，存在x∈(0,+∞)，使不等式log2x-m2mx≥0成立，求m的最大值.

评析：对于指数与对数混合的不等式(等式)，无论是采用分离参数还是直接讨论求最值，解题难度都比较大.若对已知不等式合理变形，发现不等式(等式)两边结构具有一致性，采用同构思想，解题将事半功倍.