“问题+”：促进学生深度学习的助推器

张志强 周颖

[摘  要] 数学教育，就是要学生创造最能激发思维的情境，促使学生进行循序渐进、不断深入的思考. “问题+”能不着痕迹地将新的思想、新的知识融入原有的认知结构，在不断改变问题的情境或改变思维的角度中掌握变化中的不变，促使学生深度学习. 笔者结合深度学习理论，通过几个在课堂教学中运用“问题+”，推动学生深度思考，从而给数学课堂教学注入新的生机和活力，使课堂教学比传统方式更为轻松活泼的教学案例，谈谈自己的一些体会和思考.

[关键词] 深度学习;问题+;教学案例

“问题+”，就是在一个典型数学问题的基础上，教师针对学生的实际情况，运用相关的知识和方法，从不同角度、不同层次、不同背景下对数学概念、定理、习题等进行变化，有意识地设问，让学生从“+”的表象中发现其与原问题的本质是一致的，从中探究数学规律. 从而让学生抓住问题的本质，做到以不变应万变，从不同方面、角度和情况来解决这一数学问题，进而概括出解决一类数学问题的一般性的数学规律和方法.

下面结合教学案例，谈谈作者本人在教学中通过“问题+”促进学生深度学习的一些尝试.

新授课导入时“问题+”，促使学生以充沛的热情深度融入课堂

良好的开端是成功的一半. 在新授课知识建构时，教师可运用“问题+”进行设计，结合书本教学内容，精心创设问题情境，激发学生学习数学的兴趣. 进而激发学生新概念学习的冲动，让学生以丰沛的热情深浸在课堂知识的探究之中.

案例1：在人教版必修一起始节“集合”的第一节新授课时，教师可以设计以下一组问题：周末同学们陪同家长到大统华商场去购物.

问题：大统华商场中的电视机与大统华商场中的所有商品是什么关系？学生一定可以回答出“个体与总体的关系”. 这样创设的问题情境既简洁明了，又让学生产生了身临其境的感觉.

问题+1：某某同学与班级里的所有同学是什么关系？直线上的某个点与直线是什么关系？桌面上的每个点和桌面是什么关系？每一个自然数与全体自然数是什么关系？这样就从生活和数形几个角度对“个体与总体的关系”加以了诠释，再把个体抽象成每一个对象即元素，而全体便抽象成了集合. 这样，学生对集合这个新概念就有了一种亲切感，从而也就有了学好它的积极性.

问题+2：大统华商场购物结账时购物车中物品对照集合与元素的概念，你能概括一下集合概念的几个要点吗？购物车中物品，对应“一定范围内”;你选择的，对应“确定的”，显然购物车中的物品可能有相同的，但是在结账时，结算清单上相同的物品名称只打印一次，而在后面标注不同的数量，即购物车中物品按商品名称是不重复计的，即打印的购物结算单上的物品总体按商品名称就构成了一个“集合”，从而让学生对集合含义中的几个关键词“一定范围内”“确定的”“不同的”就都有了更为深刻的认识体会和理解.

问题+3：我们知道收银员在扫描商品时，是从购物车中随意拿取的，既没有按价格的高低，也没有按物品的大小，这一现象说明了什么？在此教师灵巧地借题发挥，学生顺势就能非常自然地想到集合元素的“无序性”.

设计这一组“问题+”，就是从学生熟悉的客观事实（如实例）出发，创设了生动形象的数学课堂教学情境，帮助学生建立起了感性认识和抽象概念（理性认识）之间的联系，从表面的不同中找出相同的实质，抽象出集合的概念，对激发学生学习数学的兴趣和热情起到了不可磨灭的作用.

概念引入、定理发现时“问题+”，促使学生深度思考，促进知识的有效迁移

高中数学的许多概念、定理比较抽象，学生感觉枯燥，学起来有索然无味之感. “问题+”让学生从动手、动脑的过程中复习与本课相关的原有知识要点，让学生深度回顾，促进知识的迁移，通过类比发现新的知识.

案例2：“双曲线标准方程”的一课.

问题：椭圆和双曲线的定义，我们已经学习过了，它们分别是怎么叙述的？

问题+1：两个定义的相同处有哪些？不同点是什么？

问题+2：椭圆的标准方程是什么？你能结合椭圆与双曲线的定义异同处，根据椭圆的标准方程，猜想出双曲线的标准方程吗？

问题+3：你能类比椭圆标准方程的推导，推出双曲线的标准方程吗？

问题+4：对于双曲线中有条件确定方程和有双曲线方程研究双曲线的性质，你知道如何解决了吗？

上面“问题+”的设计是很有讲究的：复习回顾为学生发现、证明双曲线的标准方程提供了一个“模板”. “问题”“问题+1”“问题+2”“问题+3”从学生现有发展水平出发提出问题，期望通过这些问题达到一种可能达到的新的发展水平，即潜在发展水平，体现了直观性. “问题+4”体现了开放性，由前面的探究过程，学生自然而然地就知道用类比的方法，类比椭圆就能解决双曲线问题. 这实际上是在引领学生达到另一个潜在发展水平. 如此形成双曲线标准方程的猜想、证明、应用的问题链. 教师通过“问题+”，将学生的思维引向深入，引导学生自主探究，获得新知，发展了学生的智慧，加深了对数学的理解. 促使学生对“将已有的知识方法迁移到新的问题情境中，作出决策并解决问题”有了深刻的理解，深度学习理念在学生心中就能生根发芽.

易错处“问题+”，促使学生深度反思，促进知识的正确建构

对于学生易错的地方，教师如果就错而错地向学生指出，学生不能留下深刻的印象，往往学生会一错再错.

案例3：“基本不等式應用”的一课.

问题：已知x>0，求y=x+■的最小值.

问题+1：已知x<0，y=x+■的最值是什么？

问题+2：函数y=x+■有最值吗？为什么？

问题+3：已知x>0，求y=x+■的最小值.

问题+4：函数y=■+■的最小值为2吗？为什么？

基本不等式的应用是高中数学的一个重要知识点，学生应用该定理时很容易忽视应用条件“一正、二定、三等”. “问题+1”出乎意料，“x<0”能用基本不等式吗？学生经过深度思考，就知道加个“-”就可以了，不过，不等号的方向要变，最小值变成了最大值;“问题+2”综合了“问题”和“问题+1”，在这里，“问题+”起着强化“一正”的作用;“问题+3”中，x·■不是常数，需要凑成y=x+3+■-3才行，使学生对“二定”有了深度的理解;而“问题+4”则使学生对“三等”这个极易被忽视的条件有了深度反思.以上“问题+”，促进了学生对基本不等式知识应用的正确建构.

探究活动时“问题+”，促使学生深度联系，促进知识的拓展与化归

案例4：“直线与圆的位置关系”的复习课.

问题：已知圆O的方程为x2+y2=4，点M（x，y）是直线x+y-4=0上的动点，MA，MB分别切圆于A，B两点，求过点M（2，3）的圆的切线方程.

问题+1：求切线长MA的最小值.

问题+2：求四边形MAOB周长的最小值.

问题+3：求四边形MAOB面积的最小值.

问题+4：求■·■的最大值.

问题+1：直线与圆的位置关系的问题要紧紧围绕圆心、构成直角三角形的两个要点. 原问题的解决，只要构造直角三角形MAO，由MA=■=■，要求MA的最小值，只要求MO的最小值，进而只要求圆心O到直线x+y-4=0上点的距离的最小值，即点O到直线x+y-4=0的距离.

問题+2：学生只要联系四边形MAOB的周长=4+2MA，马上就把它化归为原问题得以解决.

问题+3：学生只要能把它进行转化，四边形MAOB的面积=S■=2S△MAO=MA·OA=2MA，又化归到原问题得以解决.

问题+4：关键也在于转化，■·■=■·■cos∠AOB=4cos∠AOB=4cos2∠MOA=4（2cos2∠MOA-1）=42■■-1，又回到了只要求MO的最小值即可.

上面从一道习题出发，一题多变，开阔了学生的视野，丰富了学生的认知;这种前后串联的“问题+”，体现了方法探究的和谐融合，有利于学生对知识的熟练掌握和灵活应用，更有利于培养学生的等价变形能力和化归能力，精彩在一个个的“问题+”中生成.

在“问题+”课堂导学模式中，课堂教学由“教为中心”向“学为中心”转化. 教师是指导者，是基于学生，服务于学生的. “问题+”避免了重复的、低层次的重复追问，而是以学生数学认知发展为追求，恰到好处地引领学生的思维，推动学生深度学习和思考，不着痕迹地促进了学生的认知发展. “问题+”就是学生深度学生的助推器.