非对称耦合双振子的二维复杂运动

徐利利

（银川职业技术学院 宁夏·银川 750000）

0 绪论

耦合振子研究概述。非线性问题是当前物理研究的热门问题，但其求解具有极大难度，除了少部分特殊情况可以用解析法解决以外，大部分问题要依靠数值方法，利用计算机为工具，才能得出其结果。耦合振子大量的存在于物理、化学、生物等学科中，这对科学的发展有着很大的推动作用。要弄懂耦合振子是怎样工作的，首先必须搞清单个振子是怎样工作的。单个振子是指发生周期行为的系统，而耦合振子的行为则很复杂。如两个相同振子耦合时，有两种可能：同步，即相位差为零；和反同步(或称为异步)即相位差为半个周期。而对于多个耦合振子，它们的行为则更为复杂。目前数学上仍无法弄清它们运动的机理。然而，不管哪种情形，同步现象是耦合振子中可能出现的一种基本行为，并且每个振子的振动都要影响它同其他振子的相互作用，于是它们形成了一个耦合振子系统。所以，研究耦合振子系统的运动是有着重要的现实意义的。

本文建议一个非对称弹簧双振子模型，通过拉格朗日函数获得其运动方程，数值求解方程获得振子的运动轨线。结果表明振子的运动强烈依赖于初值，表现在振子运动轨线因初值不同而不同，且在相空间中做遍历运动。这是因为我们所考察的振子系统无耗散因素存在，因而是保守系统中典型的非线性动力学行为。我们得到的这个结果将提醒相关研究者，当不存在耗散因素时耦合振子系统是一个保守的非线性动力学系统，这样的系统有其固有的动力学特征，另外，一些看似周期的运动实际可能是遍历运动，而遍历运动往往是混沌或准周期的，而这种运动单凭肉眼观察振动曲线是无法与周期运动相区别的。

图2-1 双弹性振子模型

1 非对称耦合双振子模型

1.1 弹簧振子模型的建立及系统的运动方程

非对称双弹性振子物理模型可以用一个在光滑水平面上运动的质量为m的质点来描述，它与两个弹性系数分别为k1和k2，原长为a的弹簧相连。这里，光滑意味着忽略能量耗散，是一个理想体系。平衡时这两个弹簧成一条直线，此时弹簧原长为a，质点在水平的xoy平面内作微小振动。为简单起见，质点平衡位置取在原点o处。模型由图1表示

显然，方程(2-4)和(2-5)是一组非线性耦合方程。表明线性弹性振子通过相互耦合将转变为非线性振动，这样的非线性方程组很难直接解析求解，我们将借助于软件Mathematica数值求解。

2 Lyapunov指数与混沌运动

2.1 Lyapunov指数与混沌运动

为了便于计算 Lyapunov指数以确定耦合振子的运动性态，我们将通过升维降阶的办法将方程组(2-4)和(2-5)化为一阶方程组如下：

这里弹性振子质量m=1kg，弹簧原长a=1.0m，设弹性系数为控制参量。根据Lyapunov指数谱。谱线显示参数范围，绝大多数参数区至少有一个指数大于零，表明振子的运动是混沌的；而在参数范围，四个指数值在零附近振荡，表明振子的运动是准周期的或在个别小参数区域是周期的。

2.2 模拟不同初态下振子的混沌轨线

作为一个例子，挑选混沌区的一个参数，取初始条件将对应振子的轨线一一模拟出来。假定弹性振子质量m=1 kg，弹簧原长a=1.0 m，弹性系数分别为k1=0.06 N/m和k2=0.07 N/m。现用数值方法研究系统在给定的不同初始条件下轨迹的响应。当初始条件分别为；利用Matlab语言的超强数值计算功能，求解方程(2-4)和(2-5)，得到x、y方向振动曲线。可以得出没有耗散性的系统就没有吸引性，因此振子的轨线均因初态不同而不同，可以说是：“一点一线”，明确了混沌和准周期参数区之后，我们有必要将模型还原为方程组(2-4)和(2-5)。则方程组(3-1)-(3-4)的解在y-x平面的投影确信无疑就是原方程组的解。其结果显示了运动轨线对初始条件的强烈依赖。

3 准周期运动

3.1 不同初态下振子的准周期轨线

非线性保守系统“一点一线”的运动特征对准周期运动也不例外，下图中给出了准周期参数中k1=0.1 N/m，k2=0.09 N/m时两组不同初始条件下振子的准周期运动轨线。初值为。利用Matlab语言的超强数值计算功能，求解方程(2-4)和(2-5)，得到x、y方向的振动曲线。在微小振动的条件下，非对称耦合振子的振动是非简谐的周期性振动，在保守力系统中，非线性振动系统的振幅、周期或频率与初始位置和初始速度有关系，分析发现在x方向和y方向系统的振动周期与振幅成反比，x方向和y方向系统的振动周期与初始位置有关，初始位置增大，振动周期变小；x方向和y方向系统的振幅与初始位置和初始速度有关，初始位置增大，振幅增大；初始位置不变，若初始速度增大，则振幅也增大。结果表明振子的准周期运动同混沌运动一样是遍历运动，而且运动轨线与初态一一对应。但是，单从振子的运动轨线看，无法区分混沌运动与准周期运动。唯一可靠的办法是计算系统的Lyapunov指数。

4 结束语

非对称弹簧系统中常见的二维非线性振动问题，可利用拉格朗日方法得到其振动控制微分方程，借助于计算机和Matlab语言在计算方面的超强功能，成功解决了该类非线性振动问题。这种方法有效简便，为非线性问题探索出了一种较好的求解途径。模拟研究了非对称耦合双振子系统的平面运动，由 Lyapunov指数判断这个系统既有混沌运动又有准周期运动，当然不排斥一些参数区存在周期运动。由于我们所考察的系统是一个典型的保守非线性系统，所以即使准周期运动，其运动轨线强烈依赖于初始条件，周期运动情形与此类似。因此，这样的系统能够展示非常丰富且复杂的运动形态。