人工晶体的微结构调控热输运研究

耿志明,狄 琛,方 轲,詹若男,袁紫媛,颜学俊, 芦 红,2，卢明辉,2,陈延峰,2

(1.南京大学固体微结构物理国家重点实验室&现代工程与应用科学学院,材料科学与工程系，南京 210093； 2.人工微结构科学与技术协同创新中心，南京 210093)

0 引 言

热量的传递包括三种方式：热传导(thermal conduction)、热对流(thermal convection)以及热辐射(thermal radiation)，其中热传导是在凝聚态物理体系中主要的传热机制。为了理解热量输运的规律和本质，研究人员进行了一系列意义深远的探索。最早由法国科学家 Joseph Fourier于1822年提出描述热输运行为的唯象方程[1]：

(1)

即傅里叶定律(Fourier’s law), 其中J代表热流密度，T代表绝对温度，κ代表材料热传导能力的热导率(thermal conductivity)，该物理量作为热输运研究中最重要的概念被广泛采用并沿用至今。19世纪中叶，德国和英国科学家Rudolf Clausius和 William Thomson 推导出热力学第一及第二定律，并提出在能量转换过程中能量始终是守恒的，并且会朝着系统中熵增加的方向进行。随后奥地利科学家Ludwig Boltzmann 于1872年提出了著名的玻尔兹曼输运方程(Boltzmann transport equation，BTE)[2]，从微观角度阐述了热量载流子的输运行为：

(2)

得益于上世纪以来半导体以及先进制造技术的飞速发展，人们已经将电子器件产业推动到高性能、高集成化、微纳尺寸的阶段，并且继续沿着这一趋势向前发展[4]。早在1970年代，Moore就提出了摩尔定律，即每过大约18个月，芯片单位面积上的晶体管数量将会增加一倍。到目前为止，摩尔定律的预测跟实际之间还是有着良好的吻合度(见图1)，但微电子器件集成度的进一步提高正面临巨大的挑战[5]。高性能芯片往往伴随着更高的功耗，高集成、小尺寸等因素都直接导致微电子器件在工作时将产生更加集中的热量。在工业中，将芯片工作时所能产生的最大热量定义为热设计功耗(thermal design power, TDP)，这是芯片设计及其热管理的重要依据。如图2所示，芯片上晶体管数量的增加直接导致了热设计功耗迅速攀升，而早在十年之前，芯片工作产生的热功率密度已经超过100 W·cm-2，与核反应堆的热功率密度相当[6]。在这样的技术背景下，微电子器件的热管理问题已经逐渐成为阻碍其发展的瓶颈之一。因此，对微纳尺度下固体中热输运问题的研究迫在眉睫，它一方面有助于理解微观尺度下热传递的原理，另一方面有望为传热的调控提供新技术。

图1 芯片上晶体管数量与制造年份的关系[5]Fig.1 Number of transistors per chip as a function of production year[5]

图2 Intel芯片热设计功耗及晶体管数量年表[6]Fig.2 Timeline of TDP and number of transistors for Intel microchips[6]

上文所提到的针对微电子器件中热输运研究主要是为了解决散热的问题，但是对热输运研究的意义并不限于此。隔热是我们所熟知的另外一个应用方向，它涉及到航空、建筑、工业乃至生活的方方面面，比如火箭上的高温隔热涂层、房屋中用到的隔热保温层以及御寒的衣物等[7-8]。除此以外，热逻辑器件也是热学前瞻性的应用方向之一，但是目前的发展还处在初步阶段，其主要包括热整流器(thermal rectifier)、热晶体管(thermal transistor)和热存储器(thermal memory)等(见图3)[9-13]。从理论上来说，热整流器及热晶体管都可以基于热输运的非线性效应来实现，和微电子器件不同的是，热逻辑器件信息的实际载体是声子而不是电子。在这里用温度差代替电位差，其本质上可以认为是一种“微声子”器件。热存储器是一种特殊的热逻辑器件，它可以将热、温度等信息记录并存储下来。目前将热晶体管作为存储元件的研究还处在理论阶段，而利用材料结构转变(或相变)引发的热滞效应来实现热存储的实验已经取得初步进展[14-16]。虽然当前对热逻辑器件的研究无法完全做到实际应用，但在基于声子的逻辑计算、热屏蔽与热“隐身”、热量的回收利用等方面具有明显优势，在未来将表现出越来越大的发展潜力。

图4 (a)Seebeck效应示意图;(b)Peltier效应示意图[20]Fig.4 (a)Schematic illustration for Seebeck effect; (b)schematic illustration for Peltier effect[20]

热电技术是热输运研究在能源领域的一个重要应用。作为该技术的核心部件，热电材料可以实现温度差与电位差的相互转化[17-19]。如图4所示，Seebeck效应和Peltier效应是分别描述电能与热能实现相互转化的重要模型[20]。对于热电材料而言，其热电转换效率一般可以用热电优值(figure of merit,zT)来表征:

zT=(S2σ)T/κ

(3)

其中S、σ、κ和T分别代表Seebeck系数、电导率(electrical conductivity)、热导率(thermal conductivity)以及绝对温度，其中S2σ又称为热电材料的功率因子(power factor)[21-22]。基于热电优值的表达式可知，热电转换效率和功率因子呈正比，而和热导率呈反比。对于半导体热电材料而言，其热导率又可以分为电子热导率(electronic thermal conductivity,κe)及晶格热导率(lattice thermal conductivity,κl)，κ=κe+κl[23]。电子热导率一般和材料中的电输运呈正相关，可由魏德曼-弗兰兹定律(Wiedemann-Franz law)确定：κe=LσT，其中L是洛仑兹常数(Lorenz number)。所以，在保持良好功率因子的同时，通过对热输运的调控来降低热电材料的晶格热导率成为提高热电效率的关键途径。

本文结合国内外最新的热输运研究成果，重点讨论了人工微结构中热输运的特性及研究进展。介绍了目前微结构中描述热输运现象的几种主要理论模型，并着重介绍了点缺陷和量子点、界面和超晶格等热输运调控的方法及其研究进展。

1 微结构中的热输运机制

在微结构中，上文提到的傅里叶定律、玻尔兹曼输运方程等描述热输运行为的经典理论往往不再直接适用。因为上述理论仅仅将声子、电子视为经典粒子处理，而忽略了其波动性以及干涉特性等特征。并且，这些理论的前提假设是热输运系统中每一格点都只是稍稍偏离了平衡态，即局域平衡态，而这在微结构中往往并不适用[24]。基于量子力学原理，将固体系统中的晶格振动看作声子气，那么可以用一个简单的动力学模型来描述声子热导率：

(4)

其中Cv表示材料的比热容，v表示材料中声子群速度，l表示声子的平均自由程。这里的声子群速度与声子的色散特性有很大关系，可以通过声子频率ω和波矢k来表示：

(5)

声子的色散关系是帮助我们理解热输运机制一个很重要的工具，因为它是连接微观粒子统计学行为与宏观热输运行为的一座桥梁[25]。固体材料中的声子平均自由程比较小，一般处于微米到纳米的量级。对于尺寸显著大于这一尺度的材料来说，扩散热输运是主要的传导方式，可用傅里叶热传导方程进行描述。室温下声子主要受到声子间散射，其散射模型又可以分为正规散射与倒逆散射两种。倒逆散射不能满足动量守恒，因此其是阻碍声子输运的主要方式。当材料的缺陷尺寸与声子平均自由程相当时，声子将显著地受到结构中缺陷的散射，比如杂质、点缺陷、位错等[24]。在低温下，当材料在热输运方向上的尺寸小于声子平均自由程时，声子也表现出类似电子的弹道输运行为。根据Landauer输运模型，热流J从一个热库流至另外一个热库的行为可以描述为：

(6)

其中m表示声子模的指数，ωm(k)表示波矢k的色散方程，vm(k)表示声子群速度，Tm表示透射系数，而这里的η=[exp(ηωm/KBT)-1]-1表示的是声子波导连接的热、冷两个热库的Bose-Einstein占有因子[26-28]。在理想情况下，热导可以通过两个热库间的热流及其温度差计算得出:

(7)

图5 准二维纳米线的四支最低能 量声子模(对应于几何形状曲线)[29]Fig.5 Four lowest energy acoustic modes of a quasi-2D nano wire (lines with geometric dots)[29]

这里的h表示普朗克常量，KB表示玻尔兹曼系数，xm=ηωm/KBT(k=0)，并且要求两个热库间稳定热流的温度差T非常小(ΔT≪T)。在ηωm≥KBT的近似下，只有四支最低的声子模对热导有明显的贡献，即分别为膨胀-压缩模、扭转模以及两支弯曲模(见图5)[29]。在热库与弹道热通道处于理想耦合的状态下，单个声子模的热导满足关系式：

G=g0=π2KB2T/(3h)

(8)

这个关系式和材料的任何属性参数都无关。这里的g0=(9.456 8×10-13W·K-2)T称为热导的量子化单元，描述的是单个声子模可能传导的最大能量值[30-31]。

总的来说，在温度足够低的情况下，微结构中存在声子的弹道输运，在高温下热输运机制则主要为扩散热输运。但在很多情况下热输运机制往往比较复杂，声子的输运不能完全用弹道输运或扩散输运机制解释，而是两种输运机制共同作用的结果[32-33]。Chen等基于玻尔兹曼输运方程推导出了弹道-扩散热输运方程，同时考虑了存在于系统边界的弹道声子(尺寸效应下的声子)以及系统中局域平衡态下的背景声子，计算得到的结果更贴近严格求解玻尔兹曼输运方程的数值结果[34]。所以，对于微尺度系统而言，在理解其中的热输运机制时不仅仅要考虑材料自身的物理参数、温度等因素，更要考虑其结构参数，主要是器件的维度、具体形状、尺寸和边界等因素。

2 微结构中的热输运调控方法

2.1 界面调控

随着材料、器件等传热系统的尺寸达到微纳尺度，其中的界面密度显著升高，使得界面热阻成为影响热输运的主要因素，对界面的调控将成为优化系统整体热输运性质的关键。对于两种不同结构的材料，由于其密度和声速的差异将导致在两种材料连接的界面处产生声阻抗失配。这种现象与两种光学材料界面处折射率失配引起的光折射现象类似[35]。对界面处声子输运行为的描述与预测一直以来都是传热领域的难题。其中声失配模型(acoustic-mismatch model, AMM)就是针对上述界面声阻抗失配情况提出的模型[36]。AMM模型假设界面处理想的应力、位移边界条件并且在界面上不发生散射，从材料A垂直入射至材料B的声子在两者界面的透射系数tAB可以表示为：

(9)

其中Z=ρc为声阻抗，可由声速c和质量密度ρ求得[37]。在AMM模型中，界面仅仅被看作是两种材料的连接面而忽略其他的固有物理属性。基于这样的假设，AMM模型可以成功地预测极低温下的界面声子透射行为，但是随着温度升高达到30 K以上时，AMM模型将不再适用[38]。同样地，对于存在显著缺陷、不规则的界面等不能当做理想界面处理的情况，即便是在极低温(如≤1 K)下AMM模型也将不能适用。这个时候扩散失配模型(diffusive mismatch model, DMM)可以做出更好的预测[39]。DMM模型假设声子在界面主要受到扩散性散射作用，在入射到界面上时会丢失初始的方向及极化信息，因此声子被散射至界面其中一侧的概率只跟声子态密度有关。基于这样的假设，声子从材料A透射至材料B与从材料B透射至材料A的概率相等并且其总和为1[40]。声子在界面的透射系数可以用如下关系式表示：

(10)

图6 基于DMM模型预测Al-Si界面热通量 与TDTR实际测量值的对比[48]Fig.6 Comparison between the DMM predicted heat flux and the experimental data measured with TDTR for Al-Si interface[48]

其中c表示材料A或B中j阶透射模式下的声速[41]。DMM模型被证实可以成功地预测一些界面的热导，但其中依然存在争议，因为这样的假设对界面声子散射机制的描述是不完整的[42]。考虑到传统模型中的弹性双声子散射机制不足以描述界面的热输运行为，研究人员将界面上更复杂的非弹性三声子甚至多声子散射机制考虑进来，Hopkins等基于此提出DMM的扩展模型，比如联合频率扩散失配模型以及非谐非弹性散射模型等[43-47]。然而，基于非弹性散射机制的DMM扩展模型也只考虑了多声子间的能量守恒，并没有考虑更具约束性的波矢守恒、选择定则、模型转换概率以及更具局域性的振动态，而这些往往是影响声子散射及输运的重要因素。此外，与AMM一样，DMM模型也忽略了界面上原子尺度微结构的影响，这也是影响此类模型预测精度局限性的重要因素。如图6给出的是基于DMM模型预测的Al-Si界面热导与实验热通量值的对比。这里的预测值是通过DMM模型及第一性声子输运原理计算得到，而实验值则是基于时域热反射(time-domain thermoreflectance, TDTR)法测量推导的Al-Si界面透射系数得到。可以看出，DMM模型明显地低估了低频声子(<4 THz)在界面的输运贡献，同时高估了高频声子贡献。也就是说，波长大于界面尺寸的声子实际上应该会更多地透过界面，而波长小于界面尺寸的声子会更多地被界面散射[48]。

上文提到，在绝缘材料以及半导体材料中主要的热载流子是声子，在金属材料中则主要为电子。这就导致不同材料结合而成的界面，比如绝缘体-半导体界面、金属-绝缘体界面以及金属-半导体界面等[49]，可能具有截然不同的热输运性质。对于声子、电子作为热载流子同时存在的情况，如工程应用中常接触到的半导体-金属界面，其中的热输运机制相比上面讨论的声子输运机制更为复杂。研究这其中的机制也将为界面的热输运调控开辟新的路径。目前有很多工作报导了电子在界面热输运当中的贡献，例如Gundrum等发现Al-Cu的界面热导比理论模型计算结果高一个数量级，从而提出界面处的电子输运行为是引起这种现象的根本原因，并且提出了一种DMM扩展模型[50]。Huberman等同样发现Au-diamond界面热导的测量值远高于AMM及DMM模型的计算值，并认为电子输运以及电子-声子耦合贡献了额外的传热通道[51]。在此基础上，Sadasivam等借助第一性原理计算分析了电子-声子耦合机制，并基于此研究了TiSi2-Si的界面热导[52]。分析表明，虽然界面处的电子-声子热导比界面处的声子热导以及体块中的电子-声子热导都小，但是其对整个系统热输运的贡献是不可忽略的。作者同时提出，界面处电子-声子耦合的情况可以通过电子-声子热导Gep来评估：

(11)

基于对界面处热输运机制的深入研究，近年来人们在利用人工微结构对界面热输运进行调控这一方面取得了一系列进展。研究表明，用化学修饰等方法改变界面形貌，可以有效地调节界面处的热输运性质。Collins等发现经过氧化处理的Al-diamond界面热导是氢化处理下的四倍，如图7所示，上方空心图形代表的是氧化处理后测量得到的Al-diamond界面热导值，下方实心图形代表的是氢化处理后的热导，而黑色实线代表DMM模型的预测值[56]。Hopkins等也观察到：通过氧化处理石墨烯，可以使得Al-graphene的界面热导提高。分析指出，界面处特殊的化学结构可以促进界面两侧材料的键合，从而有效地增强界面处的热输运[57]。除了表面化学修饰外，界面微结构的处理也是调控其热输运性质的有效方法之一。通过人工处理Si 表面来调整Al-Si界面的粗糙度，Hopkins等发现Al-Si界面热导随着界面粗糙度的增加而降低(见图8)[58]。Cahill等也发现当Al-SiC界面之间有SiOx过渡层存在时，界面热导会降低[59]。这表明界面间的氧化层可能拥有比较大的热阻，但是其中的机理需要更多的研究。另一方面，界面间的过渡层也可以作为一种提高界面热导的方式。例如，对于主要热载流子类型不同的两种材料，如半导体和金属，前者主要通过声子传热而后者主要通过电子，这一界面失配会很大地影响热传导；然而，在这样两种性质差异较大的材料之间引入一层过渡层，通过对过渡层的设计和优化，有望实现对界面热传导能力的提升[60]。如图9所示，Shiha和Guo等发现在Cu-diamond间引入Ti或者TiC层作为过渡层，可以有效地提高界面热导，因为Ti、TiC层可以提供用于阻抗匹配过渡的中频声子，从而改善界面两侧Cu和diamond声子频率失配的问题[61-63]。近年来，人们还发现自组装膜可以作为过渡层，用于调控界面的热输运性质[64-66]。实验表明，改变自组装膜的末端基团，可以有效地提高聚苯乙烯-蓝宝石的界面热导[66]。通过改变界面自身的属性能够调控其热输运性质；同样，在一定条件下改变界面所处的外界环境，也可以实现调控。研究表明，当压力增至10 GPa时，Al-SiOx-SiC的界面热导可以提高4～5倍；但是在同样的压力条件下，Al-SiC的界面热导几乎没有改变[59]。分子动力学分析显示，在界面间键合强度较大的情况下，改变外界压力对界面的热输运性质的影响非常小，而当界面间键合强度较弱时(比如范德华力)，其影响会更加明显[67-68]。

2.2 点缺陷与量子点调控

为了更好地实现芯片的散热，人们往往追求更高的界面热导，而在隔热材料及热电材料领域，人们则需要通过改变材料的微结构来调控热输运，以获得更低的热导率。主要方法包括引入缺陷、第二相、制备量子点、异质界面和纳米结构等[69]。其中，制备点缺陷或量子点是最容易实现也是更普适的一种热输运调控策略。在实际晶体中，影响热输运的机制往往比较复杂，主要有声子间倒逆散射、电子-声子散射、点缺陷散射以及边界散射等[70]。根据线性玻尔兹曼输运方程，声子热导率κph可以通过下式计算得到：

图7 氧化处理与氢化处理后Al-diamond 界面热导测量值的对比[56]Fig.7 Comparison between the measured interface thermal conductances of Al-diamond treated with oxidation and hydrogen respectively[56]

图8 Al-Si界面热导随界面粗糙度变化趋势 的曲线(实线与几何图形分别表示计算值与测量值)[58]Fig.8 Dependence of interface thermal conductances on surface roughness for Al-Si, with solid curves and geometric dots representing prediction and experimental values respectively[58]

图9 Cu-diamond的界面热导与界面间过渡层(a)Ti层[61]和(b)TiC层[63]厚度的关系Fig.9 Dependence of interface thermal conductances on the thickness of (a)Ti[61]and (b)TiC[63] interface layers for Cu-diamond

(12)

其中KB表示玻尔兹曼常数，T表示绝对温度，Ω表示晶胞体积，N表示波矢量点数目，f0表示平衡Bose-Einstein分布方程，ω表示声子频率，v表示声子群速度，λ表示声子模式，τ表示声子弛豫时间[71]。这里的声子弛豫时间τ与不同因素引起的声子散射过程相关。根据Matthiessen定律，可由各项散射过程的弛豫时间倒数求和得到：

(13)

其中τi表示第i项声子散射过程的弛豫时间[72]。Callaway和Klemens提出，在声子主要受到点缺陷和声子间倒逆散射的情况下，忽略其他的散射机制影响，点缺陷对声子输运的影响可以用点缺陷散射情况下的热导率与理想情况下热导率的比值来评估：

(14)

其中u、h、v和Γtotal分别表示混乱度系数、普朗克常量、平均声速及混乱散射系数[73-74]。基于上述理论，研究人员证实了点缺陷对热输运的显著调控作用，并获得了一系列的发现。Katcho等利用不同的计算方法，验证了金刚石的热导率与点缺陷浓度的关系(见图10)：随着点缺陷浓度的升高，金刚石的热导率呈明显下降的趋势，在点缺陷浓度达到～1atm%时热导率降低最多可达80%，分析表明热导率的降低主要与金刚石中的非谐性原子间作用力有关[75]。类似的现象在砷化硼[76]、石墨烯[77]、氮化镓[78]和碳化硅[79]等材料中同样得到了验证。利用点缺陷调控热输运性质的方法对于提高热电材料的热电效率尤为重要。上文提到，热电材料的电子热导与电输运性质有着密切的正相关依赖关系，所以降低晶格热导成为提高其热电效率的关键。点缺陷声子散射机制作为调控声子输运的有效手段，同时兼具了易操作性、普适性及低成本等优点，是解决目前热电技术低效率和高成本两大难题的最有潜力策略之一。因此，已经被成功地应用于多种热电体系中。如Biswas等通过引入Se、S点缺陷，将SnTe热电材料的室温晶格热导κlat从>3 W·m-1·K-1降低至0.52 W·m-1·K-1，为已报道SnTe体系中的最低值(见图11)[80]。Zhu等在Mg2(Si,Sn)热电材料中掺入Sb元素，形成Sb原子、Mg空穴和Mg间隙原子三种点缺陷，将晶格热导率降低了约40%，在750 K下达到其理论最低值(见图12)[81]。除此以外，点缺陷调控在其他热电体系，如硅系化合物、金属硫族化合物、Zintl相化合物及半Heusler化合物中也得到了成功地应用[82-87]。

图10 金刚石的热导率与点缺陷浓度的关系 (N和V分别代表氮原子缺陷与空位)[75]Fig.10 Dependence of the thermal conductivity of diamond on point defect concentration, with N and V representing nitrogen and vacancy respectively[75]

图12 Mg2Si0.4Sn0.6-xSbx (x=0.02, 0.11, 0.12, 0.27, 0.38)晶格热导率的 温度关系曲线[81]Fig.12 Lattice thermal conductivity of Mg2Si0.4Sn0.6-xSbx(x=0.02, 0.11, 0.12, 0.27, 0.38) as a function of temperature[81]

图13 SiGe界面热导与经Ge量子点调控 界面粗糙度的关系[93]Fig.13 Dependence of interface thermal conductance of SiGe on RMS surface roughness modified with Ge quantum dots[93]

在凝聚态系统中，量子点的尺寸一般小于点缺陷。量子点是一种特殊的零维(0-D)人工结构，因其具有低至几个纳米的尺寸而具有显著的量子效应，对电子或空穴具有强烈的局域作用，并且拥有分立的电子态。声子在量子点存在的系统中也会表现出一些奇特的效应，比如光学支声子局域效应、声子瓶颈效应等[88]。量子点对热输运性质的调控可以有效地应用于低维微纳尺度的系统中，并且易于在界面、超晶格中实现[89-94]。例如Hopkins等利用Ge量子点改变SiGe界面的粗糙度，成功地降低了其界面热导(见图13)[93]。改变界面粗糙度只是量子点应用的一个小小的方面，基于其量子效应实现对热输运及其相关的输运机制的有效调控仍需进一步的探索和研究。

2.3 超晶格调控

超晶格(superlattice)结构一般由两种不同材料的薄膜层交替构成，纳米尺度的单层厚度以及特殊的周期性排列结构使其具有量子局域效应以及显著的声子散射效应。因此，通过设计特定的超晶格结构改变声子散射特性，是调控热输运性质的重要方式。超晶格结构对热输运的影响表现在多个方面，包括：改变声子谱[95]、声子局域[96]、声子失配界面散射、缺陷(如界面间位错)引起的声子散射等[97]。

由于这种特殊的层状结构，声子沿平行于界面(面内方向)与垂直于界面方向(面外方向)的输运属于两种完全不同的情况。理论上，声子沿超晶格面内方向的输运应该更加高效，在界面完全平滑的理想情况下，声子将在界面处发生镜面反射，而各层也将成为促进声子传输的通道[98]。然而，实际测量发现超晶格面内方向的热导率显著低于对应块体材料的数值。研究发现，GaAs/AlAs超晶格的面内热导率与这两种材料合金的热导率相当，这是因为实际的界面不是完全理想的镜面，界面上原子尺度的缺陷是造成声子散射，进而降低热导率的主要原因[99-100]。

相对于面内方向来说，声子在面外方向的输运行为更复杂，研究微观的声子输运与散射机制是利用超晶格结构调控热输运性质的关键。实验证明，超晶格结构的面外热导率显著低于其对应组分合金的热导率[101-103]。对这个现象初步的解释是：声子在周期性的超晶格结构内发生了类似于Fabrey-Perot干涉的散射作用，导致只有部分特定频率的声子能透过该结构，Narayanamurti等通过计算声子透射谱证明了这一观点[104]。为了更清楚地描述超晶格结构中的声子输运机制，Chen等提出可以尝试通过对弛豫时间近似下的BTE方程求解推算其热导率特性。从声子强度的角度，BTE方程可以写成如下形式：

(15)

其中I0i表示第i层的平衡声子强度，x和z分别表示面内和面外方向，θ和φ分别表示极角和方位角，而Λ表示声子平均自由程。从上述方程很难得到面外热导率的解析解，但是在每一层都很薄的假设下，界面处发生的完全是扩散型声子散射，且面内温度梯度变化可以忽略不计，超晶格材料的面外有效热导率可以表示为：

(16)

其中C表示容积比热，v表示声子群速度，t和r分别表示界面上的声子透射率和反射率[105-107]。此模型可以很好的解释在Si/Ge超晶格中测量得到的较低的面外热导率，说明在界面上发生的主要是扩散型声子散射[108-109]。但同时Chen等也指出，这个模型并没有考虑声子局限效应，因此只有在超晶格界面处于扩散型及镜面反射型声子散射这两种极端情况下时才能对实验值进行较好的预测和解释[110]。Hyldgaard 和Mahan等提出的模型也是基于BTE方程，但是他们假设声子在界面上发生的主要是镜面散射。由此超晶格结构面外方向的热导率可以表示为：

(17)

其中vzλ(q)表示声子速度，τλ(q)表示声子寿命，nB[ωλ(q)]表示Boson分布方程。根据此模型计算得到的面外热导率显著低于其组成材料，并且也可以和实验值很好地吻合[111-116]。上述模型主要考虑的是超晶格界面处的非相干声子散射，而在相干声子输运的情况下，一般认为导致面外热导率降低的主要原因是声子群速度的降低[117-119]。Chen等认为上述任何一种单一的情况都存在局限性，而两者的结合则可以给出比较完整的解释[120]。基于界面声子散射机制，通过引入超晶格结构即可以有效地调控人工微结构的热输运性质。如Caylor等在PbTe0.85Se0.15热电薄膜材料中引入PbTe/PbTeSe超晶格结构，成功地将晶格热导率降低了50%(见图14)[121]。Chen等提出，超晶格的界面粗糙度是增强界面声子散射的关键，因此也是调控其热输运性质的重要方式[117,122]。最近有研究表明超晶格中的相干声子输运，即可以穿过整个超晶格结构的延伸布洛赫波(Bloch waves)，其所携带的热量是热导率的重要组成部分。超晶格界面无法对长波长声子造成有效的散射[123]，因此，削弱此类相干声子输运是进一步降低热导率、实现热输运调控的一个重要途径。

图14 PbTe/PbTe0.75Se0.25薄膜晶格热导率与超晶格结构周期数的关系曲线以及与PbTe和PbTe0.85Se0.15 薄膜晶格热导率值的对比[121]Fig.14 Dependence of lattice thermal conductivity of PbTe/PbTe0.75Se0.25 films on superlattice periods, in comparation with that of the PbTe film and PbTe0.85Se0.15 alloy film[121]

3 结语与展望

热传导作为热量传递的三种方式之一，在工业与生活中都占有重要的地位。因此，对热传导的研究工作非常有意义。然而，其中的热输运机制往往十分复杂。事实上，热力学被认为是最复杂的一个物理学分支，相关的研究工作存在着很大的挑战。而随着制造工艺的发展，尺寸越来越小的电子器件对热输运调控的需求正与日俱增。本文讨论了微结构中的热输运物理机制，主要包括扩散型与弹道输运机制等。在人工微结构材料中，界面、点缺陷和量子点以及超晶格等作为调控热输运性质的主要策略，正表现出巨大的潜力。尽管这些方法目前多数是对热输运有削弱作用，但通过对微观层面的声子输运和散射机制的深入研究，可以帮助人们更好地认识传热的本质。该研究方向的实际应用将不仅仅局限于微电子领域，在隔热材料、热逻辑器件、热电材料等方面的发展也都离不开对上述调控方法的基础研究。