Lieb莫尔光子晶格及其光子学特性研究

张钰，高美妮，戴海涛，刘迎，吕且妮

（1 天津大学理学院天津市低维功能材料物理与制备技术重点实验室，天津 300072）

（2 天津大学精密仪器与光电子工程学院 光电信息技术科学教育部重点实验室，天津 300072）

0 引言

莫尔现象在自然和日常生活中非常常见，比如明媚的阳光反射在窗帘上产生的水波样条纹、用相机拍摄液晶显示器时出现的条纹等。莫尔结构是两个相同周期性结构叠加而成的复合结构，并且基于莫尔结构的检测技术被广泛应用。近年来，曹原等［1］关于石墨烯的“魔角”的研究掀起了微观领域中电子莫尔结构的研究热潮［2-4］，二维材料莫尔结构的非平凡电子特性也使得其具有奇异的光学特性，例如双层α-MoO3莫尔结构的色散曲线在魔角下的可调拓扑过渡［5］。

然而，天然二维材料构成的莫尔结构，因其子晶格是固有的原子晶格，所以难以调控。近年来，基于人工子晶格（如金属超材料、光子晶体等）构造的莫尔晶格结构引起了研究者重视，如采用金属超材料形成的表面等离激元莫尔晶格，可诱导产生强圆二向色性的光场［6］。理论研究表明，采用光子晶体构造的光子莫尔晶格表现出比子晶格更宽的禁带以及更平的能带［7-10］，实验上光子莫尔晶格可以采用多种方式产生，如叶芳伟等［11-12］提出的在光折变晶体中通过光强诱导方法构造光子莫尔晶格，实现了空间光孤子的调控。曾健华等［13］提出在相干原子气体中基于电磁诱导产生光子莫尔晶格。马仁敏等［14］基于半导体多量子阱膜叠加的方法设计了光子魔角激光器。因此，光子莫尔晶格具有宽禁带以及平带特性，旋转角提供更多的调控自由度，是一种极具前景的新型光子学研究平台。

光子禁带和平带是光子晶体的两个重要特性。宽禁带的光子晶体可用于低阈值激光器［15］、光学晶体管［16］和光波导［17］等领域。平带范围内的光子群速度极小，能引发光子的局域，因此具有平带特征的光子晶体在光致发光增强［18］和慢光产生［19］等领域应用广泛。目前研究的由四方晶格［11，13］、六方晶格［8-9，11］等构成的莫尔光子晶格中均发现具有平带特征，但四方、六方等晶格自身的平带特征并不明显。因此，由自身具有平带特征的子晶格（如Lieb、Kagome 晶格等）构成的光子莫尔晶格可能具有突出的平带特性。

Lieb 晶格是一种常见的具有平带特征的光子晶体结构［20-22］，因此基于Lieb 晶格的莫尔结构也被期望具有更宽的禁带和更平的光子能带。本文通过旋转两个Lieb 子晶格构造出周期性Lieb 莫尔晶格，通过数值计算研究了Lieb 莫尔晶格的光子禁带和平带特性，并通过改变填充系数和介质材料调控其光子禁带，为实现宽光子禁带、超平带光子晶体提供一种新的途径。

1 Lieb 莫尔晶格的构造

在本文中，Lieb 晶格结构由介质柱和空气间隙构成。采用一组基矢（a0，b0）描述未旋转Lieb 子晶格的坐标，如图1（a），随着两个子晶格之间旋转角的改变，形成的莫尔晶格的晶格常数也会变化。当旋转角为某些特定角度时，两个子晶格的某些节点会重合，形成具有周期性的莫尔结构，这些特定的角度称为可公度角，用一组整数（m，n）定义可公度旋转角度θ为

图1（b）为旋转角为36.87°的莫尔晶格的示意图（n=1，m=3）。未旋转的子晶格的基矢乘以旋转矩阵即可得到旋转后子晶格的基矢。

图1（a）中的红色圆点表示未旋转的Lieb 晶格（其晶格常数为α1）中的介质柱A，顺时针旋转36.87°后得到的介质柱B 记为绿色圆点，介质柱A 和B 组合构成莫尔晶格，如图1（b）所示。该莫尔超元胞包含了27 个介质柱，晶格常数为α2，保留了原本Lieb 晶格四方晶格的几何特征。介质柱A 和B 的介电常数分别记为ε1和ε2，半径分别记为r1和r2，背景介质为真空。根据理论计算，还存在其他的可公度角，但是由于形成的莫尔晶格的超元胞中介质柱数目太多，本文仅研究旋转角为36.87°的Lieb 莫尔晶格。

图1 Lieb 莫尔晶格的构造方法Fig.1 Construction method of Lieb Moire lattice

2 Lieb 莫尔晶格的光子能带特征

本节中Lieb 子晶格和莫尔晶格的介质材料均为GaAs。为了对比子晶格和莫尔晶格的特性，设Lieb 子晶格和形成的莫尔晶格的晶格常数相等，即α1=α2=α=能带结构图采用无量纲的坐标，计算结果能够方便地进行比例变换，有利于应对不同具体数值的情况。根据几何关系可知，Lieb 结构的填充系数为f1=3πr12/S1，莫尔晶格的填充系数为f2=27πr22/S2，S1和S2表示结构单元胞面积，其中S1=4α21，S2=α22。

采用平面波展开法（Plane Wave Method，PWM）［23］计算TM 模式下光子晶体的能带结构，沿着第一布里渊区内三个高旋转对称点Γ、Μ、X采样（见图1（c）），f1=f2=0.10 的计算结果如图2所示。因为光子能量正比光子频率，因此这种色散关系图也被称为能带结构图。将能带结构图中最宽的禁带定义为主禁带，在图2中用灰色区域表示。Lieb 晶格的主禁带宽度为0.074，禁带中心为0.285，如图2（a）；莫尔晶格的主禁带宽度为0.148，禁带中心为1.849，如图2（b）。在相同的填充系数下，Lieb 莫尔晶格的禁带比Lieb 晶格的禁带更宽。

图2 填充系数为0.1 时Lieb 子晶格和Lieb 莫尔晶格的能带结构图Fig.2 Band structures of Lieb sublattice and Lieb Moire lattice with filling factor of 0.1

Lieb 晶格和莫尔晶格的禁带中心波长分别为15 691.7 nm、2 418.6 nm，属于红外波段。Lieb 莫尔晶格的光子禁带相比于Lieb 子晶格发生了蓝移，主要因为在相同的晶格常数条件下，莫尔晶格中的介质柱数目更多，为了保证相同的填充率，具有较小介质柱直径的莫尔晶格形成了较大介电常数的对比度。在光通信及其他实际应用中，典型的波长是800 nm 到1 600 nm，因此莫尔晶格的禁带更靠近实际应用的波段，具有更高的应用价值。因为计算结果以无量纲形式表示，所以可以通过介质柱大小和晶格常数之比的变换获得所需波段的禁带。

为了研究介质柱直径对禁带特征的影响，得到优化的禁带宽度，对Lieb 晶格和莫尔晶格的填充系数进行了扫描，将不同情况下的能带特征进行整理得到的禁带特征图如图3所示。图3（b）显示莫尔晶格最宽的主禁带宽度为0.212，远大于Lieb 晶格最宽的主禁带宽度0.076（见图3（a）），对应的填充系数分别为0.153 和0.120。将填充系数分别固定在禁带宽度最大时，相应的能带结构图如图3（c）和图3（d）。Lieb 晶格的主禁带宽度最宽时对应的禁带中心位于0.275，而莫尔晶格的主禁带宽度最宽时对应的禁带中心为1.703，具有明显的蓝移特征。

Lieb 莫尔晶格的平带特征如图3（d）所示。Lieb 莫尔晶格中存在三条平带，分别为第15 带、第22 带、第27 带（图中标号为1、2、3）。为了表征光子平带的特征，定义光子带的平整度F为［24］

式中，ωt和ωb分别为光子带的顶部和底部频率。F值越小，表明光子带的平整度更高。图3（d）中三条平带的F值分别为0.006 014 9、0.002 328 4、0.005 258 7，其中第22 带具有最小的F值，即具有最高的平整度。对比图3（c），Lieb 晶格的平带最小的F值为0.0150，因此莫尔晶格平带的平整度远高于Lieb 晶格。

图3 Lieb 晶格和Lieb 莫尔晶格的禁带特征图和能带结构图（插图为主禁带宽度随填充系数变化的曲线）Fig.3 Bandgap characteristic diagrams and band structures of Lieb lattice and Lieb Moire lattice（the illustrations show the curves of the main bandgap width changing with the filling factor）

介质柱的半径也影响光子带的特征，因此通过改变介质柱的半径对第22 带的平整度进行了研究。计算结果如图4所示，当r1=0.038 0α时，F具有极小值0.001 872 2，此时平带对应的归一化频率为1.47。已经报道的四方、六方等光子莫尔晶格结构中均展示了平带以及超平带［8-9，11，13］，但未给出数值表征。对比已经报道的Kagome 晶格［24］平带平整度（0.002），Lieb 莫尔晶格的平带平整度更好，同时Lieb 莫尔晶格的光子禁带更宽且具有更高的灵活性。

图4 光子平带的平整度F 随r1/α 变化曲线Fig.4 Flatness F of the photonic band varies with r1/α

为了验证平带对电场局域的效果，计算了22 能带在Γ点和Χ点的电场分布，初始的电场满足归一化规则：计算结果如图5所示。图5只显示了一个超元胞内的情况，电场被局限在中心一圈的介质柱上，对应于图1（b）中标号为1～8的八个“花瓣”形状，最高的光强|E（x）|2分别为2.49 W/m2和2.54 W/m2。更高平整度的平带能导致更强的电场局域，强烈的局域在非线性光学、光电能量转换器件等方面具有广泛的应用前景，因此Lieb 莫尔晶格将为这些研究提供一个新的途径和平台。

图5 平带的电场强度分布图Fig.5 Electric energy distributions of the flat photonic band

3 介质特性对Lieb 莫尔晶格禁带的影响

研究不同介质材料的子晶格叠加形成的复合莫尔晶格的能带特征。选择两种实验中常用的介质材料：GaAs 和SiO2，两个子晶格重合点选用了GaAs 介质柱，采用平面波展开法对莫尔晶格的禁带特征进行计算，结果如图6（a）所示。

图6 Lieb 复合莫尔晶格的禁带特征图和能带结构图（插图为主禁带宽度随填充系数变化的曲线）Fig.6 Bandgap characteristic diagram and band structure of Lieb composite Moire lattice（the illustrations shows the curve of the main bandgap width changing with the filling factor）

由图6（a）可知，Lieb 复合莫尔晶格的禁带宽度随着填充系数的增大而增大。因为随着介质柱半径的增加，复合晶格结构出现了重叠的情况，因此在图6（a）中，最大的填充系数为0.205。图6（b）给出了近极限情况下Lieb 复合莫尔晶格的能带结构图，晶格的主禁带宽度为0.265，禁带中心为1.274。通过对比Lieb 莫尔晶格（GaAs）和Lieb 复合莫尔晶格（GaAs+SiO2）的禁带特征，证明了材料介电特性差异也能对莫尔结构的禁带进行调控。对比材料单选GaAs 的Lieb 莫尔晶格，Lieb 复合莫尔晶格的主禁带宽度得到了提升。禁带增宽的原因主要是两种介质引起的晶格结构对称性降低，减小结构的对称性是提高光子晶体禁带的有效手段［25-26］。

Lieb 复合莫尔晶格的两个子晶格介质柱的半径也可以作为一个调控参数，设定两个子晶格的介质柱半径关系为r2=0.5r1，此时对应的填充系数为f3=(15r21+12r22)π/α22。两个子晶格重合点仍选用了GaAs 介质柱。计算得到的不同半径条件下，晶格能带特征如图7（a）和（b）所示。在不同半径的Lieb 莫尔晶格（GaAs）中，当填充系数为0.137 时，主禁带最大；在不同半径的Lieb 复合莫尔晶格（GaAs+SiO2）中，当填充系数为0.170 时，主禁带最大。最宽禁带条件下的能带结构如图7（c）和（d）所示。在r2=0.5r1的Lieb 莫尔晶格中，主禁带宽度为0.167，禁带中心为1.265。在r2=0.5r1的复合莫尔晶格中，主禁带宽度为0.326，禁带中心为1.246。Lieb 复合莫尔晶格的主禁带宽度得到了进一步的提升，这仍可以归因于子晶格介质柱半径的变化所带来整体晶格对称性的降低。因此，通过改变介质柱A 和B 半径的相对大小，禁带宽度可以得到进一步提高。

图7 r2=0.5r1时Lieb 莫尔晶格和Lieb 复合莫尔晶格的禁带特征图和能带结构图（插图为主禁带宽度随填充系数变化的曲线）Fig.7 Bandgap characteristic diagrams and band structures with r2=0.5r1 of Lieb Moire lattice and Lieb composite Moire lattice（the illustrations show the curves of the main bandgap width changing with the filling factor）

4 结论

本文通过两个Lieb 子晶格的可公度旋转，构造了Lieb 莫尔光子晶格，通过数值计算研究了该晶格结构的光子禁带特征与结构参数、材料特性之间的关系。计算结果表明在相同填充因子条件下，Lieb 莫尔晶格中禁带频率区间的宽度相比于子晶格有显著的增加。在r1=0.038 0α的Lieb 莫尔晶格中，得到了平整度最高的平带。在Lieb 复合莫尔晶格中，得到了最宽的带隙0.326。通过莫尔配置，在原有晶格基础上实现了更平的平带和更宽的禁带结构，可为集成光子器件性能的优化提供新的平台。此外，莫尔结构引入了更多的结构参数和材料参数自由度，通过改变结构和材料参数，能够实现较大范围的光子禁带调控、丰富光子晶格结构的功能、扩展光子晶体的应用范围。