高中生的数学解题思路来源：基于一题多解的视角

巫瑶 汤强

摘 要：针对一道数学题的解题思路从何得来，怎样才能准确的找出数学的解题思路，这些对于学生而言都是难点。从分析题目中的条件，以及观察题中条件的结构特征与数量特征来寻求解题思路，有助于学生突破这些难点。

关键词：高中数学;解题思路;转化思想

数学教学的主要任务是传授知识和培养学生的数学能力。但无论是知识的讲解还是能力的培养都离不开解题，解题可以说是数学中不可或缺的一个重要组成部分。因此探索数学解题思路对学生来讲就显得格外重要。

解题思路的探索是解决数学题的关键，如何对一道数学题进行分析探索，从中找出数学解题思路的来源，顺利解出问题。以下通过一道常规问题的多种解法对此进行一定的探究。

【题目】求函数的值域。

从题目给出的条件中可以直观看出函数的对应关系，通过分析，易得函数的定义域为：。已知函数定义域以及对应关系，要求函数的值域，对于高中学生来讲，最容易想到的是利用导函数求函数单调性，从而求出函数的值域。

1.源于“熟悉”

依据连续函数在闭区间有最值，得出函数的值域为[1，2]。

这种方法是学生最容易想到的可能也是学生唯一能想到的解题思路，但这道题的解题思路并不只局限于此，学生在解这类题时往往被定势思维所影响，认为只有这种方法，当遇到求导较困难时，该法可能实施就较为困难。但此法可以很好的体现函数思想，培养学生的数学运算素养，在根据函数单调性判断函数在某区间的值域时，可以更好的培养学生逻辑推理能力。

2.源于“简化”

观察原式含有根号，联想到利用换元法去掉根号，从而简化原式，探索出新的解题思路。

反思解法二是只替换了一个根号，再利用三角换元求解，培养学生转化的数学思想，試想可否直接将两个根号都进行替换，从而将求函数的值域问题转化为求直线与曲线有交点时，直线与y轴的截距范围问题。

从图1-1中可以直接分析得到：截距范围是在直线刚好与曲线相交和直线与曲线相切时与y轴的交点。联立方程利用△=0，得出y的取值即函数的值域为[1，2]。

该方法利用化难为简的数学思想方法，将复杂的数学问题转化成简单易懂的常规问题。将求函数的值域问题转化成求直线与曲线交点的问题，利用数形结合，更能直观的理解题意，培养学生的直观想象素养。

3.源于“结构”

除了在分析中考虑化简，还需要关注的一点是题中所给式子的结构特征，从结构中也可以分析出解题的思路。该题是的结构，联想“a+b=c”的结构形式，想到等差中项，从而构造数列模型。

该种解法是从题设中的结构入手，抓住结构特征，联想以前所学知识，寻求解题思路，这种解题思路中让学生体会数学模型的建构，以及数学中不等式的应用，培养学生的数学建模素养，提升学生解决数学问题的能力。

从以上四种方法可以体会到数学的解题思路是可以从多方面探究的，主要是抓住题设条件中的结构特征和数量特征进行分析，探索出解题的切入点和突破口，无论是简单的数学题还是复杂的代数题，都可以从题设条件的结构与数量中进行分析，探寻出解题思路的来源。

总之，在数学的学习过程中，要想提高自身数学思维能力，学好数学，提高学习效率，就要建立正确的解题思路。在解题过程中，抓住题设条件中的核心内容，对问题进行多角度探究，从结构与数量特征关系入手，找出解题突破口，建构完整的解题框架。

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