源于教材巧改编 基于标准育无痕

摘  要：2019年中考广东卷第24题集几何证明与几何计算于一体，源于教材、梯度合理、知识综合、表述简洁，有效考查了学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养，对一线教师的课堂教学具有很好的导向作用.

关键词：源于教材;几何直观;核心素养

一、试题呈现

题目 （2019年广东卷）如图1，在[△ABC]中，[AB=AC，] [⊙O]是[△ABC]的外接圆，过点C作[∠BCD=][∠ACB]交[⊙O]于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使[CF=AC，] 连接AF.

（1）求证：[ED=EC;]

（2）求证：AF是[⊙O]的切线;

（3）如图2，若点G是[△ACD]的内心，[BC ⋅ BE=25，]求BG的长.

二、试题特色

1. 巧妙对接地气，源于教材改编

此题考查了等腰三角形的判定、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、圆的切线的判定和性质等相关知识点. 解答的关键是正确添加辅助线，完成几何图形的构建.

解决第（2）小题，需连接OA，OB，OC，构造出筝形，由筝形的性质（一条对角线平分对角，并且垂直平分另一条对角线）可知[BC⊥OA.] 而筝形源自人教版《义务教育教科书 · 数学》（以下统称“教材”）八年级上册第十二章“全等三角形”数学活动中的活动2“用全等三角形研究筝形”.

第（3）小题源自教材九年级上册第二十四章“圆”复习题24中的第13题：如图3，点E是[△ABC]的内心，AE的延长线和[△ABC]的外接圆相交于点D，求证：[DE=DB.] [A][B][C][D][E][图3]

此题的第（3）小题是将教材习题中的几何证明改成了几何计算，在解决问题的过程中用到的知识和方法大致相同，但需要学生发现[BA=BG]并证明，使得第（3）小题的思维含量进一步提升. 这种“源于教材，又高于教材”的命题原则，不仅体现了命题者对教材的尊重，也让学生在紧张的考试中，因见到如此“接地气”的试题，而使紧张的情绪有所缓解，并能引领教师在复习教学中回归教材，认真研究和挖掘教材中例题和习题的深层次价值，启示学生在日常的学习中以教材为本、重视教材、吃透教材，深刻领悟教材中例题和习题所蕴涵的思想与价值.

2. 指向核心素养，思维拾级而上

题目表述简洁，三道小题层次分明、梯度明显，思维水平拾级而上.

第（1）小题起点较低，立意基础，学生容易解决，解答思路自然. 主要考查圆周角定理、等角对等边等基础知识，以及等量转化思想. 具体证明过程如下.

证明：因为[AB=AC，]

所以[AB=AC.]

所以[∠ACB=∠D.]

又因为[∠BCD=∠ACB，]

所以[∠BCD=∠D.]

所以[ED=EC.]

第（2）小题难度适度提升. 通过多条辅助线的添加，完成筝形的构建. 此题考查圆的切线判定、平行四边形的判定等核心知识，体现能力立意.

证明一条直线是圆的切线，通常有两种方法：（1）作垂线、证半径;（2）连半径、证垂直. 其中，证垂直较常见的方法是平行线法（即证明[AF∥BC]和[OA⊥BC]）.

学生可借助几何直观，发现四边形[ABCF]为平行四边形或[AF∥BC，] 找到正确的思考路径，逐步推导. 证明过程如下.

证明：因为[∠BAD=∠BCD，∠BCD=∠D，]

所以[∠BAD=][∠D.]

所以[AB∥DF.]

又因为[CF=AC，AC=AB，]

所以[AB=CF.]

所以四边形[ABCF]为平行四边形.

所以[AF∥BC.]

如图4，连接[OA，OB，OC，] 得[OB=OC.]

因为[AB=AC，]

所以OA是线段BC的垂直平分线.

所以[OA⊥BC.] 所以[AF⊥OA.]

因为OA为[⊙O]的半径，

所以AF是[⊙O]的切线.

第（3）小题属于几何计算题. 显然，当几何证明题具备了条件和结论，可以运用“两头凑”的思想方法来指导证明思路，而几何计算题只给出条件，让学生去推理计算，使得题目的思维含量进一步提升，突出了对数感、符号意识、几何直观、逻辑推理、模型思想、应用意识和创新意识等数学素养的考查.

首先，缘于数感，由[BC ⋅ BE=25，] 猜想某条边长的平方为25.

其次，基于数学建模，挖掘出[△ABE]和[△CBA]符合共边共角的“母子型”相似模型. 因为[∠BAE=∠BCA，][∠ABE=][∠CBA，] 所以[△ABE∽△CBA.] 所以[BC ⋅ BE=][AB2.] 易得[AB2=25]. 所以[AB=5.]

再次，緣于直观，猜想[BG=BA，] 再细心求证. 如图5，连接AG，因为点G是[△ACD]的内心，所以[∠EAG=∠CAG.] 所以[∠BAD+∠EAG=∠CAG+∠BCA，] 即[∠BAG=∠BGA.] 所以[BG=BA=5.]

符号意识、几何直观、逻辑推理等数学素养一直贯穿其中. 解题时，先是利用合情推理、几何直观，逐步推导梳理有用的结论，找到正确的思考路径，再用演绎推理来完成解答过程. 在这个过程中，使学生积累了解决问题的基本活动经验，检验了学生是否有依据、有条理、有合乎逻辑的思维，不仅培养了学生的数学应用意识和创新意识，也落实了对数学核心素养的考查.

3. 重视数学概念，关注数学理解

很多学生不能准确地对第（3）小题进行解答，其中就有对数学概念理解不到位的原因，甚至有很多学生分不清三角形的内心和外心. 关于圆的概念，教材指出：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 学生在读题和审题时如果能够深刻理解圆的概念的本质属性，就可以想到[OB=OC，] 再进一步联想到轴对称的性质，构建筝形，就很容易发现[OA⊥BC.] 第（3）小题涉及了圆、相似三角形、三角形内心等重要数学概念，促使学生在审题和解题过程中，不断理解和完善相关概念，不断整合和系统化数学知识体系，从而正确而深入地理解数学概念. 因此，关于数学概念的教学尤为重要. 在日常教学中，教师只有熟悉教材、回归教材、讲透概念，才能以不变应万变，帮助学生打下坚实的知识基础，进而轻松应对各种知识迁移性题目.

三、教学导向

1. 回归教材，把握价值取向

数学学科教育的价值主要体现在数学的核心知识和核心知识中蕴涵的数学思想和方法上.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）是教师把握课堂教学价值的依据. 解决此题的过程中用到了平行四边形、三角形、圆、弧、圆周角、内心、切线等相关概念，圆周角定理、圆的轴对称性质、切线的判定、平行线的判定与性质等，从《标准》的要求来看，以上内容都属于核心知识.

第（2）小题对于[OA⊥AF]的证明有另一种参考答案为：如图6，连接OA，因为[AB=AC，] 所以[AB=AC.] 因为OA为半径，所以[OA⊥BC.] 再结合[AF∥BC，] 所以[OA⊥AF.] 并介绍说这种方法运用的是垂径定理及其推论.

关于垂径定理及其推论，教材是这样处理的. 先给出垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧），再给出推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）. 显然，这并不是上述证明的依据.

垂径定理反映的是圆的轴对称性质，在证明圆是轴对称图形时顺势获得了垂径定理. 至于圆为什么是轴对称图形？为什么任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴？教学时不能把“折一折”就当作证明. 教师可以采用“在圆上任取一点，证明它关于直径所在的直线（对称轴）的对称点也在圆上”的方法进行证明（详见教材九年级上册“24.1.2 垂直于弦的直径”）. 教材中介绍的方法是证明一个图形是轴对称图形的常用方法，需要讓学生掌握.

是什么原因让一部分教师错误地认为，这里采用的依据是垂径定理及其推论呢？原来，可以将垂径定理及其推论概括为：若一条直线，① 过圆心;② 垂直于弦;③ 平分弦;④ 平分弦所对的优弧;⑤ 平分弦所对的劣弧. 满足其中任意的两项，则必满足其余三项. 垂径定理即“① + ②[→]③④⑤”;推论即“① + ③[→]②④⑤”. 经这样处理，“① + ⑤[→] ②③④”就也是其中的一条推论. 然而，这些性质被《标准》和教材删减，其背后的原因值得细思. 在日常教学中，教师应引导学生体会和归纳教材例题和习题中的数学思想方法，培养学生有效地利用数学思想方法解决相关问题的能力. 通过引导学生深入探究，享受数学之美，但是要避免出现解题方法和解题技巧的机械运用，以及技能化、假过程的现象，更不能出现“脱离教材搞教学”的现象. 我们有充分的理由相信，基于《标准》的评价所倡导的对学生情感态度、方法能力、高阶思维等方面的培养将会让学生受益终身.

由此可见，“教什么”反映了教师对教学内容的理解. 只有先确定教学内容的教学价值，才能研究如何教学. 因此，在日常教学中，教师应基于《标准》、回归教材，把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值，这样才能在减轻学生过重负担的基础上提升课堂效率.

2. 回归理性，落实核心素养

《标准》指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，引导学生进行自主探索与合作交流，并关注对学生理性精神的培养. 克莱因把数学看成是一种精神，一种理性精神. 齐民友说，每个论点都必须有根据，都必须持之以理. 因此，教师在讲授数学定理、解决数学问题时，既要让学生知道直观感知、合情推理在数学发现、探索中的作用，也要让学生感悟形式化演绎证明的力量，有意识地发展学生的理性思维能力，按照问题发展的一般规律来寻求解题思路，生成解题通法. 从感性认识回归到理性认识，不但能让学生达到从“知道正确的层面”到“崇尚理性需要证明”思想上的飞跃，还能培养学生的理性思维习惯，提升学生的理性思维能力，进而促使学生逐步养成实事求是的科学态度.

参考文献：

[1]齐民友. 数学与文化[M]. 长沙：湖南教育出版社，1991.

收稿日期：2020-07-18

作者简介：黄双华（1983— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究.