数学基本活动经验课程目标落实需关注的问题

郭玉峰 黄彩英

摘  要：数学基本活动经验课程目标在教学实践落实时需要关注如下几个关键问题：理解为什么提出及如何理解数学基本活动经验的课程目标;关注教学中学生对数学内容本质及其相互联系的理解;关注学生数学思维的养成. 文章通过具体数学课堂教学的课例进一步说明数学教学要关注本质，关注学生逻辑连贯的数学思维方式的养成.

关键词：基本活动经验;关键问题;课例研究.

“数学基本活动经验”在近十年中国数学教育的理论和实践领域是一个热门话题.“双基”（基础知识、基本技能）经过多年来的发展，其内涵、教学实践等逐渐明晰并形成中国数学教育的特色，而作为“四基”之一的数学基本活动经验课程目标的理论研究和实践落实尚需进一步完善. 数学基本活动经验在国内首次提出是在20世纪80年代，在曹才翰先生的《数学教育学概论》一书中，但并没有引起关注，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中将数学基本活动经验作为课程目标之一出台后，才引发学者及一线教师的广泛关注. 然而，从教学实践来看，这一课程目标在具体落实时还存在一些认识上的误区和教学实践中的困扰. 为此，我们提出数学基本活动经验课程目标落实需要关注的几个关键问题，并针对日常数学课堂教学的课例进行说明.

一、数学基本活动经验课程目标落实需关注的几个关键问题

课程目标不同于每节课的具体教学目标，它提供了教学的方向，是一段时间课程实施后的结果. 数学基本活动经验课程目标的实施具有连续性和阶段性的特点，需要从整体上理解这一课程目标.

1. 需要理解为什么、是什么

为什么提出数学基本活动经验的课程目标？初衷是我国学生的动手实践能力相对较弱，尤其缺乏一定的设计和规划能力. 针对数学学科而言，希望学生在经历数学活动的过程中体验活动的设计、规划、组织、操作和实施、反思等过程，长期积淀后形成数学实践活动的经验. 此外，在日常数学学习活动过程中，学生需要学会数学地思考，为后续数学学习及未来发展奠定数学思维的基础，即学生需要积淀数学思维的经验. 这两点都是面向学生的未来创新，在一定程度上弥补“双基”所不能涵盖的部分.

什么是数学基本活动经验？上面一段实际已经说明了数学基本活动经验的两个主要方面：数学实践活动的经验和数学思维的经验. 从大的方面讲，数学实践活动的经验是学生在数学活动设计、规划、操作等过程中积累的经验. 例如，测量某交通路口的车流量或者交通信号灯设置的合理性，测量操场旗杆的高度，设计视力表，设计某容器中大量豆子数量的计数方法，实际测量操场周长并归纳概括操场周长的计算公式，等等. 这种实践活动每学期至少要开展一次，但限于课时等因素，次数也不宜过多，重在让学生经历实践活动的过程，体会和理解活动的设计、规划和操作等过程，理解活动中蕴含的数学知识，奠定未来独立进行设计和规划的能力. 数学思维的经验具体是指，学生长期经历数学的归纳推理和演绎推理过程后积淀形成的思考问题的方式，包括从特殊问题入手，借助数字演算等寻求结果或探索规律，进而推导出更一般性的结论等. 数学思维的经验重在帮助学生积淀发现和提出猜想、验证猜想的过程，奠定未来独立提出假设和证明假设的能力.

2. 需要关注数学内容的本质及其相互联系

无论是数学实践活动的经验，还是数学思维的经验，都需要学生在经历较长一段时间后积淀形成，这是数学过程性学习的结果. 然而，数学基本活动经验的积淀是以对数学内容本质及其联系的理解和把握为前提的，缺乏对数学内容本质及其联系的理解是不可能形成真正的数学基本活动经验的，两者相辅相成. 当然，不同年龄段学生对数学内容本质的理解程度是不同的.

例如，函数的概念首次出现在初中，实际上，小学生就可以逐步积累对常量、变量，以及变量之间关系的认识. 在小学学习“路程 = 速度 × 时间”“总价 = 单价 × 数量”这两个关系时，学生开始学习速度的含义、速度的表达式，计算物品的单价等，在此过程中逐步认识这两个基本关系式，积累从具体逐步归纳得到一般关系式的数学思维的经验. 到了初中，借助这两个基本关系式，学生会进一步抽象出这是一个变化过程中的两个量，一个量变化时另一个量也随之变化，进而归纳得到了初中阶段的函数定义. 到了高中，学生会进一步从集合对应的角度理解函数概念的本质，使得函数定义更具一般性. 学生对函数概念本质的认识是随着年级升高逐步加强的，在小学阶段学习的常量、变量、变量之间的关系，以及初中阶段学习的函数概念变量说的基础上，逐步建立高中阶段学习的函数概念的抽象定义. 与此同时，学生经历了归纳推理和演绎推理的过程，形成从具体到抽象的思考问题的方式，积淀形成数学基本活动经验.

又如，度量是数学的本质，度量单位是小学数学的核心内容. 一维、二维、三维空间的度量分别涉及长度、面积和体积，此外还有角度、时间、质量等的度量. 小学生开始学习长度度量时，需要感悟不同的度量单位给出的不同的度量标准，如1米、1分米、1厘米等，在不同标准下通过计数得到相应的度量值，这里的关键是确定度量单位. 同样，面积、体积的度量也需要确定度量单位，角度、时间、质量等的度量同样需要确定度量单位. 在此过程中，学生逐步加深了对单位的含义的理解，感悟确定度量单位即确定了度量的标准，度量是在确定的标准下对度量单位进行计数，进而获得对数学内容本质的理解. 至于小学数学的加减、乘除运算，学生进一步感悟這些运算实际是新的度量单位的产生（如小数乘以小数），以及度量单位个数的变换（累加或递减）. 学生在借助实物操作、画图、几何直观模型等学习过程中积累从具体到抽象的数学基本活动经验，感悟数学内容的本质及其联系.

3. 需要关注学生数学思维的养成

数学思维是从量变到质变，在潜移默化中逐渐形成的. 学生只有具有了高思维含量的数学学习过程，才能建立起正确的数学思维方式. 具体表现为从具体到抽象、从特殊到一般，以及举一反三、触类旁通地想问题.

小学低年级学生的数学思维具体、形象，需要在已有生活经验的基础上，经历实物操作、动手实践、比较概括、抽象等过程，逐步学会数学推理. 小学高年级学生在大部分情况下可以摆脱实物的依托，借助具体形象帮助思维，逐步过渡到形象逻辑思维. 到了中学，则需要进一步发展学生数学思维的抽象性，提高数学推理的逻辑性，由形象逻辑思维逐步过渡到抽象逻辑思维. 中小学生的日常数学课堂学习，往往是在动手實践、具体操作等数学活动中积累出的一定的感性经验，进一步通过观察、比较、分类、抽象、概括、一般化等提出数学猜想，通过演绎推理等证明猜想，在此过程中积累数学理性思考的经验. 学生主要是在经历数学归纳推理和演绎推理的过程中学会数学思考，从最简单的问题开始，在尝试中探究摸索规律，提出可能的猜想，进行数学表达并加以验证或证明. 数学基本活动经验课程目标的落实，是帮助学生学会数学思考，积淀形成正确的数学思维方式.

二、从一个具体数学课堂教学课例看数学基本活动经验的落实

目前一线教学实践中的很多现象表明，多数教师并不能有意识地帮助学生建立有效的数学思维方式，即从最简单的问题入手，逐步地、循序渐进地摸索规律和结论. 很多时候，教师能够很好地贯彻基础知识和基本技能的教学，在教学中多次应用数形结合、归纳、类比等数学方法，能够体现从特殊到一般、一般到特殊的教学，教学内容的习题配备充分，对学生的抽象逻辑推理能力要求较高. 但积累数学基本活动经验的重要方面，如从最简单的问题入手、特例尝试、摸索规律，并没有成为教师教学中有意识的行为.

下面以一节人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）八年级下册中的“一次函数的概念和图象”的教学片断为例，分析数学基本活动经验课程目标在日常教学中如何落实.

1.“一次函数的概念”教学片断

执教教师首先带领学生复习回顾已学的正比例函数，学生能回忆起的内容包括正比例函数的表达形式y = kx、图象、性质、取值范围等. 然后教师总结：“我们已经学习了什么是正比例函数，正比例函数的定义和图象，通过图象研究了正比例函数的一些性质. 那么，什么是一次函数呢？”由此，引出一次函数的概念. 教师进一步引导学生从多项式的角度分析一次函数，并类比正比例函数，从形式上分析两者之间的不同.

以下是教师和学生的问答过程.

师：从形式上看，一次函数y = kx + b（k ≠ 0）与学过的正比例函数y = kx（k ≠ 0）有什么不同？b能不能取0？

生1：b可以取0.

师：解析式中只要求k不为0，b可以为0. 如果b为0，解析式就变成了什么形式？

生2：当b = 0时，解析式就变成y = kx（k ≠ 0），它是正比例函数.

师：由此发现一次函数和正比例函数之间是什么关系？

生3：一次函数包含正比例函数.

师：或者说，这个正比例函数是什么？

生3：正比例函数是特殊的一次函数.

师：当b = 0时，y = kx（k ≠ 0）是特殊的一次函数，要注意两者之间的关系.

2.“一次函数的图象”教学片断

一次函数的图象的教学也是从正比例函数图象入手. 首先，研究特殊的一次函数y = x + 1的图象的画法. 根据正比例函数y = x的图象是一条直线，可得平移后得到的一次函数图象仍是直线. 因此，可以借助两点法画出y = x + 1的图象. 或者，根据画函数图象的常用方法——描点法，画出y = x + 1的图象. 进一步地，教师引导学生归纳、总结出一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的图象可以看作由直线y = kx（k ≠ 0）如何平移得到，引发学生讨论当b > 0，b = 0，b < 0时的不同情况. 同时，教师强调了如何用两点法画一次函数的图象.

以下是具体教学过程节选.

师：正比例函数图象是直线，因为平移不改变形状，所以平移后得到的一次函数图象还是直线. 今后可以直接说，一次函数的图象是直线y = kx + 1（k ≠ 0）. 刚才说到用两点法画图，那么最好选择什么样的两个点？

生1：好计算的点.

师：太棒了！好算的、简便的，我们始终要有这样一种想法. 但是什么样的点是好算的？我们看直线上哪些点比较好找？

生2：0比较好找.

师：直线y = kx + b（k ≠ 0）有什么特征，它上面有哪些点？

生3：有一个横坐标为0、纵坐标为b的点.

师：还有什么点？（停顿一下）[0，b]是直线与y轴的交点，那么直线与x轴的交点是什么？

生4：直线与x轴的交点是[-b/k，0].

师：如果横坐标为1，纵坐标为多少？

生5：k + b.

师：那么[0，b]，[-b/k，0]，[1，k+b]这三个点中，用哪个点计算比较方便？

生6：一般来说，[0，b]这个点比较方便计算，另外两个点中，可能用[1，k+b]来计算比较简单，也有可能用[-b/k，0]来计算比较简单，要根据具体的一次函数表达式而定.

师：我们只要找到直线上的两个点就能画出图象. 当然，不找这两个点，找其他点也可以画出该直线的图象. 下面我们来画函数图象.

3. 从上面的教学片断看教学中如何帮助学生学会数学思考

对于一次函数概念的引入，教材的设计体现在如下两点. 第一，教材先安排了变量与函数的内容，包括概念、图象和性质等，然后是一次函数内容，同样包括概念、图象和性质等，体现从一般到特殊的设计. 第二，教材先介绍正比例函数的概念、图象和性质，然后介绍一次函数. 概念的引入都是先有具体问题情境，从中提炼、抽象、概括出共性，进一步得出概念，体现从特殊到一般. 一次函数图象的学习安排在函数、正比例函数图象之后.《标准》中先规定了函数内容的目标要求，然后是一次函数. 各版本教材大多数先介绍函数，然后介绍一次函数. 其中，在函数内容中介绍函数图象时，涉及了一次函数、二次函数的图象. 教材对此的处理是用描点法，给出一些特殊点，通过列表、描点、用光滑曲线连接得到函数图象. 此部分内容的重点是对简单实际问题中的函数关系进行分析，而不是如何画图象.

以上教材设计教学实施的困难和障碍主要表现在以下三个方面.

第一个难点是如何处理好一般与特殊的关系. 教材的设计遵循了从一般到特殊，再从特殊到一般的设计意图. 心理学研究表明，概念学习有两种方式：一种是概念形成;一种是概念同化. 概念形成往往适用于抽象难懂的概念，学生需要充分经历概念的抽象过程;概念同化是直接揭示概念的关键属性、给出定义和表示的学习方式. 一次函数作为函数的特殊情形，教材是按照从一般到特殊对其进行编排的，是否只要按照概念同化的方式教学，学生就能自然理解这是一种特殊类型的函数呢？这里的关键是能否理解作为一般情形的函数概念和一次函数概念的区分和联系.

第二个难点是引导学生感悟一次函数概念的核心——均匀变化. 一次函数作为正比例函数的一般情形，是对正比例函数认识的加深. 从上面的课堂教学实例和一线教学实际来看，有些教师并没有突出正比例函数概念的本质和核心，即一个量的改变引起另一个量的改变，并且这个改变是均匀的. 学生学习正比例函数和一次函数的概念，需要逐步理解和感悟的是：自变量的任意一个取值，对应因变量的一个取值;自变量的改变值固定时，因变量的改变值也是固定的. 它们反映的是一种线性变化的关系. 这应该是正比例函数、一次函数概念的核心和关键.《标准》对此的要求是结合具体情境体会一次函数的意义. 实践中很多教师教学的关注点放到了从大量的实际背景中抽象出一次函数概念，但对于一次函数概念的核心（均匀变化）没有给予充分关注. 这是教师教学中容易存在的一个问题，具有一定的代表性，也是部分教材中容易忽视的问题.

第三个难点是引导学生认识“一次函数的图象是一条直线”. 学习变量与函数内容时，已涉及了一次函数甚至二次函数的图象，教材的处理是用描点法给出一些特殊点，通过列表、描点、用光滑曲线连接这些点得到函数图象. 接下来的正比例函数图象、一次函数图象的绘制就显得无足轻重，直接用描点法就可以了，至多加一个正比例函数图象平移得到一次函数图象，然后根据图象总结性质. 这样的设计背后，似乎遗漏了某些重要的东西，即为什么可以取某些特殊点，并用光滑曲线连接就可以得到函数图象？例如，对于一次函数的图象，为什么连接某些特殊点后看似得到一条直线，就认为一次函数的图象是直线？二次函数的图象用光滑曲线连接某些特殊点就是抛物线了？这些严谨的数学证明需要运用高等数学中导数的相关知识，在中学数学中是不予研究的. 教材和教师教学中的处理往往是尽量多取点，达到近似是一条直线（或抛物线）就可以了. 但为什么一次函数图象是一条直线、二次函数图象是抛物线，初中学生是困惑、不明所以的.

上述执教教师的教学片断，体现了以下思路.

第一，类比正比例函数，得到一次函数的表达形式. 执教教师通过引导学生复习回顾正比例函数来引入一次函数，在区分两者表达形式异同的基础上，给出一次函数的概念. 从实际课堂教学来看，学生更多记住的是函数表达式，形如y = kx（k ≠ 0）的是正比例函数，形如y = kx + b（其中k，b为常数，k ≠ 0）的是一次函数. 学生对一次函数概念的核心（均匀变化）的认识不足，在观察特例基础上抽象概括得到一次函数概念核心的过程体验是不够的.

第二，类比正比例函数图象，归纳得出一次函数的图象也是一条直线. 在复习回顾用两点法作图的基础上，画出正比例函数y = x的图象. 执教教师引导学生思考如何平移y = x的图象，得到一次函数y = x + 1的图象，实际是通过取特殊值，确认对x的某些特殊值，y = x + 1的函數值比y = x的函数值都要多1.“如何平移”，实际就是将函数值都增加1. 一般地，对y = x + b，都可以由y = x的图象向上或向下平移[b]个单位长度得到.

第三，怎样方便地画出一次函数图象. 既然一次函数图象也是一条直线，根据“两点确定一条直线”，只要找出直线上的任意两点，就可以画出一次函数图象. 这两点如何确定？可以借助原点和直线与x轴的交点，或者直线与y轴的交点，或者直线上另外一个特殊点. 至于如何选择，执教教师说明了解题中一个很重要的原则：好算的、简便的.

上述执教教师的教学是否落实了数学基本活动经验的课程目标？我们认为，判断的依据主要有两点：第一，学生是否真正理解和感悟了数学内容的本质;第二，学生是否进行了积极主动的数学思考.

首先，尽管执教教师引导学生借助类比、归纳发现了正比例函数和一次函数解析式的异同，但概念的核心和本质（均匀变化）在教学中是没有体现的. 从上述一次函数图象的教学来看，尽管执教教师引导学生类比正比例函数，归纳出一次函数的图象也是直线，由正比例函数图象平移得到一次函数，给出了两点法作图等，但学生并没有感悟到一次函数图象的本质，即为什么一次函数的图象是一条直线，而不是折线或曲线. 只有使学生理解和感悟了教学内容的数学本质，才能真正落实数学基本活动经验的课程目标. 学生的理解和感悟往往需要较长的过程，有时需要螺旋式学习，不是一两节课就能达到的. 也就是说，学生需要适度的数学严谨，在可接受的范围内进行学习.在“一次函数的概念和图象”这节课中，学生需要感悟的是：同正比例函数一样，一次函数也是均匀变化的. 当x取值增加一定量时，相应y值的增加量也是固定的;因为一次函数是线性变化的，所以其函数图象是一条直线，而不是折线或曲线. 当然，之前学习的正比例函数内容是铺垫，本节课是对其的进一步体会和感悟. 实际教学中，教师未必要给出“线性关系”这一名词，但学生需要感悟这种均匀变化. 这样，学生自然会思考：不均匀的变化是什么函数？是反比例函数吗？后来学习二次函数时也会联想到此.

其次，对于一次函数的学习，学生需要感悟一次函数表示的是线性变化或均匀变化的两个量之间的关系，其中“均匀变化”“两个量之间的关系”是需要学生逐步归纳推理得到的. 第一，教师自觉、有意识地帮助学生建立“从最简单问题入手，循序渐进地探索规律和结论”的数学思维方式，可以很好地落实数学基本活动经验的课程目标. 以上述“一次函数概念”的教学片断为例，执教教师通过引导学生复习回顾正比例函数的概念和解析式，引入一次函数，强调一次函数和正比例函数解析式的异同，但对概念的核心——x的值增加或减少一个固定值，相应的y值的变化量也是固定的，这一点在教学中并没有交代. 抽象一次函数概念的关键是体会变量变化的特殊性，而不是形式化地比较解析式的异同. 如果教师没有将一次函数概念的本质讲清楚，那么图象的绘制也就形式化了. 列表、描点、连线、光滑的曲线连接，至于为什么用光滑的曲线连接;平移正比例函数图象，可以得到一次函数图象，正比例函数图象是一条直线，一次函数图象当然是一条直线，其中的道理实际是没有渗透的. 教师教学不能从“中间”开始讲，无论是概念引入，还是函数图象的绘制，教学中需要有意识地渗透“从最简单的问题入手，循序渐进探索规律和结论”，帮助学生建立这样的数学思维方式. 第二，有意识地让学生在观察联想的基础上主动进行归纳猜想，并加以数学表达和证明. 统计这节课中执教教师运用观察、归纳、猜想、类比和验证的次数大致为：观察5次，归纳3次，猜想0次，类比2次，验证1次. 可见，执教教师虽然注意运用观察、归纳、类比等方法进行教学，但这种教学是孤立的，只是需要观察时让学生观察，需要类比时拿来做类比. 教师不能有意识地教给学生在观察联想的基础上，逐步归纳、猜想某种结论，而这种意识的形成，需要教师的长期引导. 教师要引导学生有意识地观察共性和特性，更要注意观察关系. 本节课中，要注意引导学生观察一次函数和正比例函数表达形式的共性、特性和关系. 绘制一次函数图象时，在列表、描点、连线的过程中想象取点不断细分时的趋势，通过有限细分想象无限的情形. 通过特例尝试，如对自变量x的一系列取值，y相应得到一系列取值;当x取值大小间隔一定时，发现y取值大小间隔也是一定的;任意改变取值间隔，发现仍有类似规律. 由此归纳猜想：这类函数符合一定的变化规律，即均匀变化. 这个规律的感悟需要学生主动归纳获得.

三、结论

在数学教学过程中，教师若只关注基础知识和基本技能，难以培养出创新型人才. 积累数学基本活动经验，重要的是让学生经历数学思考的过程，感悟数学内容的本质与核心，长期积淀后形成数学地思考问题的方式或思维习惯. 这样，学生在以后遇到未知问题时，才能主动发现问题、提出问题，对问题有一定的直观判断能力和直觉能力，形成一定的数学创新能力. 学生不经过主动思考，不经历数学归纳推理和演绎推理的过程，不可能积累真正的数学基本活动经验. 而且从数学归纳推理得到猜想，借助演绎推理进行证明，这是逻辑连贯的数学学习过程，在学生不同年龄阶段各有不同侧重. 小学低年级学生还不能进行严格的演绎证明，高中年级学生有时不需要较低层次的归纳猜想而直接进入形式化推导. 但这种连贯的思考数学问题的方式是需要学生体验和感悟的，最终才能自觉、下意识地加以运用，这是学生积累的数学基本活动经验. 认识是从观察开始的，想象是从联想开始的，数学基本活动经验积累的起始阶段是观察、联想，最终形成一定的想象和直观，使学生成为未来创新型人才.

参考文献：

[1]郭玉峰，刘春艳，由岫. 学会数学思考、积淀思维经验：从北京市一所中学的调研说起[J]. 数学通报，2011，50（12）：4-8.

[2]郭玉峰，史宁中. 数学基本活动经验：提出、理解与实践[J]. 中国教育学刊，2012（4）：42-45.

[3]郭玉峰，史宁中.“数学基本活动经验”研究：内涵与维度划分[J]. 教育学报，2012，8（5）：23-27.

[4]史宁中. 注重“过程”中的教育：《义务教育数学课程标准》修订的若干思考[J]. 人民教育，2012（7）：32-37.

收稿日期：2020-08-19

基金项目：2019年度教育部人文社会科学研究规划基金项目——高中数学核心素养理论框架的实证及实践研究（19YJA880009）.

作者简介：郭玉峰（1972— ），女，教授，博士生导师，主要从事数学课程与教材研究.