初中数学精准教学的三个关注点

摘  要：以“常量与变量”一课为例，对精准教学的实施路径和方法进行研究，提出数学教学必须在深度解读教材、深入了解学情、精心设计教学的基础上才可能实现目标精准、过程精准和问题精准的有效教学.

关键词：目标精准;过程精准;问题精准

《现代汉语辞典》中，“精”有提炼出来的精华、完善、最好的意思，“准”有标准、准确的意思. 从数学学科教学的角度看，通常认为精准教学是根据课程标准、教材和学生发展的实际，遵循教学规律和学生成长规律，聚焦数学教学的价值，准确把握教学目标和内容，优化教学结构，转变教学方式，细化教学流程，促进学生基于理解的学习，发展学生分析、评价、创造等高认知水平的能力，从而实现较好教学效果的教学活动过程. 换而言之，精准教学是聚焦高阶思维、促进学生深度学习的教学方式. 2019年11月底，笔者有幸参加在杭州市举办的第27届“名校·名師·名课”经典课堂教学展示活动，并执教了浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）“5.1 常量与变量”一课. 本文以该节课的教学为例，探索精准教学的关注点与方法.

一、教学过程简案

环节1：情境引入.

某平台2019年“双十一”开场12分49秒成交额达到500亿元. 观察图1，该平台2017年—2019年“双十一”成交额呈怎样的变化趋势？

【设计意图】以现实生活中学生熟悉的、与学习内容直接相关的大数据材料为背景，体现了问题情境的趣味性、场景性和学科相关性.

环节2：新知探究.

情境1：快递员小王从家骑车到公司上班的过程中，公司和家之间的路程[s]有变化吗？他骑车的平均速度[v]有变化吗？他从家里到公司所需的时间[t]有变化吗？

情境2：快递员小王途经加油站时看到一位车主在加6.68元 / 升的92号汽油. 在加油的过程中，汽油的单价有变化吗？加油的升数[v]有变化吗？加油的总价[w]有变化吗？

情境3：一张圆形图显示了快递公司的服务范围，已知圆的面积公式为S = πr2，试选取服务半径r的不同值，算出相应的面积S的值.（结果保留π.）

r = __________cm，S =__________ cm2;

r =__________ cm，S =__________ cm2;

r =__________ cm，S =__________ cm2;

r =__________ cm，S =__________ cm2;

……

在取值、计算圆的面积的过程中，哪些量不变？哪些量变化了？随着[r]的逐渐变大，[S]的值怎样变化？

情境4：快递公司保洁员的工资标准是30元 / 时，记工作时间为[t]（时），所得工资为[n]（元），则n =________. 取一些不同的[t]值，求出相应的[n]的值.

当t =__________时，n =__________元;

当t =__________时，n =__________元;

当t =__________时，n =__________元;

……

在计算保洁员所得工资的过程中，哪些量不变？哪些量变化了？[n]是如何随着[t]的变化而变化的？

【设计意图】整节课以与“快递”相关的人物、事件、关系为教学明线，将教材内容有机整合，让学生在学习知识、探究问题、感悟方法、形成能力的过程中感受数学的生活应用价值.

环节3：概念形成.

（1）上述四个实际情境中涉及了很多不同的量. 从数学的角度看，现实中通常有哪两种量？

概念：在一个过程中，数值固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量.

（2）试分别指出上述四个实际情境中的常量和变量，并思考：常量和变量有哪些相同点和不同点？

【设计意图】该环节意在让学生经历共性分析、归纳、抽象本质特征的过程. 为什么提出以上问题？不妨与如下几个问题做比较. 观察上述四个情境，你发现了哪些共同点？从数学的角度看，你发现了哪些共同点？从研究对象与表达方式上看有哪些共同点？通过这几个问题引导学生悟出“以上四个情境中的两个量都是在一个变化过程中”. 不同点在于有的量数值固定不变，有的量可以取不同的数值. 但由于这几种设问方法和问题或指向不明，或学生理解不了，放在这个位置，不符合学生的认知. 因此，笔者在概念形成之后的关键词辨析及反思归纳环节，提出问题“常量与变量有哪些相同点和不同点”，通俗易懂地呈现问题.

环节4：新知应用.

应用1：（1）若快递车辆以40千米 / 时的速度用[t]小时行驶了[s]千米，则这一过程中的常量是________ ，变量是________ .

（2）若快递车辆以[v]千米 / 时的速度用[t]小时行驶了100千米，则这一过程中的常量是________ ，变量是________ .

（3）若快递车辆以[v]千米 / 时的速度用3小时行驶了[s]千米，则这一过程中的常量是________ ，变量是________ .

上述三个问题都涉及速度、时间和路程，但是结果不同. 由此，你能得出什么结论？

应用2：快递公司用电的单价是0.56元 / （千瓦·时），用电量 x（千瓦·时）与应付电费 y（元）之间的关系式是y = 0.56x，则这一过程中的常量是________ ，变量是________ .

应用3：快递公司订阅了[n]份定价为[a]元的某报纸，共需[b]元，则b = an. 这一过程中的常量是________ ，变量是________ .

通过对应用2和应用3的回答，你又发现了什么？

【设计意图】应用1中的三个问题，既是对常量与变量概念的简单应用，又能自然地过渡，引出新的问题——常量与变量的相对性. 进一步地，通过应用2和应用3延伸到“常量不一定是具体的数，也可以用字母来表示”.

环节5：问题探究.

一家快递公司的收费标准如图2所示，其中[t]表示每件邮件的质量， [p]表示每件快递的费用，[n]表示快递邮件的件数.

（1）填写下表.

（2）在投寄快递邮件的事项中，t，p，n是常量，还是变量？若0 < t ≤ 10，投寄[n]件邮件的快递费记为[w]，此时 t，p，n，w 中哪些是常量？哪些是变量？

【设计意图】以上问题来源于教材例题，是本节课的难点，涉及常量与变量的辨析、常量与变量的相对性，蕴涵数形结合、分類讨论、数学建模等多种数学思想方法，是一道好题.

环节6：学以致用.

仔细阅读从某报纸中选取的材料1和材料2，写出一段涉及不同量的短文，并分别指出其中的变量和常量. 要求：先独立思考，再小组交流.

【设计意图】从学生所在地的报纸中选取原始材料，设置指向本节课核心内容的开放性问题，重温概念形成的过程，归纳实际情境中判断变量和常量的步骤，即确定某一过程，寻找涉及的量，判断其中的变量和常量. 在教学组织上，转变传统教学方式，引导学生经历独立探究、小组交流、班级展示、评价反思的学习过程.

二、精准教学的关注点与方法

1. 目标精准——深度解读教材，深入了解学情

本节课是本章的起始课，也是学习函数的启蒙课. 在本节课之前，学生已初步接触过变量的概念. 与小学学习的感受变量变化的要求不同，初中要求明确相对严格意义上的常量与变量的概念. 判断常量与变量的前提条件是在一个过程中，而不是在多个过程中，判断的标准是量的数值是否变化. 本节内容的学习既浓缩了一般概念教学的过程，对培养学生比较、分析、概括、抽象的思维能力有一定的作用，还对学生数学学习和研究思路的形成与迁移有着积极的促进作用，更进一步地，对促进学生形成关于运动变化的辩证观念和良好的数学思维品质有较大的帮助. 本节课的教学价值体现在教学法、核心素养、研究思路和学科育人价值等诸多方面.

本节课的教学目标设置如下：（1）通过实例体验在一个具体的过程中有些量的数值固定不变，有些量的数值不断变化，初步感受一个量随着另一个量的变化而变化;（2）了解常量与变量的概念，体验常量与变量在不同的过程中是相对存在的，会在某个简单的过程中辨别一个量是常量还是变量;（3）通过让学生探索身边的数学，激发学生的学习兴趣，初步感受函数、数形结合等数学思想.

本节课的教学重点是掌握常量与变量的概念. 常量与变量是初中学习函数这一概念的前提，它对一般概念的学习方法具有指导意义. 从教材的编写意图来看，本节课其他的内容都是为学习概念而设置的，如情境、例题等.

本节课的教学难点是理解常量与变量的相对存在. 事实上，本节课环节5中涉及的教材例题也是学生理解的难点. 这道例题的情境较为复杂，体现在涉及的量很多，且呈现的方式比较综合，有文字、图象和表格;过程复杂，属于分段函数.

2. 过程精准——遵循教育理论，精心设计教学

宏观上，概念教学应遵循一定的规律，遵循认知心理学关于概念获得的相关理论. 一般来说，可以从概念形成的方式出发设计教与学的过程，让学生在观察、实验、分析、综合、归纳与概括等数学活动中经历概念抽象的过程. 为了将数学抽象、直观想象、数学建模等数学学科核心素养渗透其中，将本节课具体的教学流程设置为：问题情境—共性分析与归纳—本质特征的抽象—关键词的辨析—简单的应用—联系与综合.

微观上，怎样算精准？以教学难点为例，以符合规律的方法突破难点为准. 对于环节5中的教材例题这一难点就可以从难的原因入手，涉及的量多就由少到多进行分析;过程复杂，就从单一过程到综合过程进行过渡.

本节课中，针对环节5的教学，具体分为以下四步.

第1步，理清总价、单价与件数之间的关系. 通过类比熟悉的路程、速度与时间之间的关系，得出总价 = 单价 × 件数. 在0 < t ≤ 10的情况下，如果快递费每件6元，那么2件几元？3件几元？n件呢？由此得到w = pn.

第2步，理解实际生活中每件包裹的快递费p与邮件的质量t有关. 快递1个刷子的费用是5元，快递1本书的费用是5元，快递1张桌子的费用也是5元吗？快递1台冰箱呢？看来[p]是与[t]有关的.

第3步，从图象到表格，从形到数，渗透数形结合思想. 笔者先呈现[t]在0 ～ 10范围的图象，再设置如下问题串：横轴、纵轴分别表示什么量？任取一个[t]的值，观察图象，说出相应的[p]的值，并填写t，p对应值的表格. 接下来，思考：p，t分别是常量还是变量？[t]在10 ～ 16的范围呢？[t]在0 ～ 16的范围呢？

第4步，问题解决. 同步紧跟以下三个追问.

追问1：在第（2）小题“若0 < t ≤ 10，投寄[n]件邮件的快递费记为[w]，此时t，p，m，w中哪些是常量？哪些是变量？”中，常量与变量概念中的“一个过程”，是指[t]在什么范围？

追问1的设计意图是巩固概念的内涵.

追问2：试找出一个[t]的范围，使得[p]是常量.

追问2的设计意图是引导学生发现问题，提出问题.

追问3：在一定范围内[p]是常量，随着[t]范围的变化，[p]也有可能是变量，这进一步说明了什么？

追问3的设计意图是拓展概念的外延.

3. 问题精准——目标导向，循序渐进

问题是为目标服务的，是为学生的学习、理解、发展服务的. 问题优劣是以是否有明确的问题设计意图为出发点，以能否通过循序渐进地教学达成预期目标为归宿点的.

例如，在环节1设置的四个问题情境中，前两个情境是让学生初步感受量的变与不变，重点是理解变与不变，不是量本身，因此笔者直接提问某个量变或者不变;情境3中提出“哪些量不变，哪些量变化了”，突出“哪些量”，要求学生自己找出具体的量，在认知要求上相比前两个情境中的问题要求有所提高. 所谓循序渐进，不仅体现在解题的难度上，思维上的变化也应如此. 情境3中，之所以设置“随着r的逐渐变大，S的值怎样变化？”一问，是因为本节作为章节起始课，要为接下来函数概念的学习做铺垫.

在实际教学中，笔者增加了如下两个追问.

追问1：当r = 2时，S = 4π，是怎么计算的？

通过追问1与下一节课将要学习的函数的图象法、解析法、表格法三种函数表示方法相衔接.

追问2：在情境3中，哪些数刻画了同一个量？有哪几个量？

该问的设计意图是通过对数值的分析，引导学生体会从数到量的抽象，体会量的意义，并且是通过在一个变化过程来识别的. 问题精准，即问题要符合数学学科的本质.

需要说明的是，对于什么是量，教材中并没有给出明确的定义，但学生要学会区别“数”与“量”. 本节课中，笔者是这样提问的：当r = 1，S = π;当r = 2，S = 4π. 那么2和4π是量吗？学生回答：不是量，是数值，它们分别刻画的半径r和面积S才是量. 这样，学生既理清了数与量的关系，又为判断诸如环节6中具体问题中的常量与变量等实际问题提供了有益的经验. 问题精准，即问题要符合学生的认知规律，符合教学规律.

当然，精准教学的内涵颇为丰富，要关注学习方式的变革和信息技术的融合，特别是基于大数据分析的个性化诊断、同类或变式问题的及时推送等，都是很好的研究方向. 过程评价要适时、适度，关注促进学生个性发展的多元评价，关注体现团队成长的动态评价，关注凸显过程发展的小组评价.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

收稿日期：2020-08-20

作者简介：陈建新（1973— ），男，高級教师，浙江省特级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.