统整核心内容 落实核心素养

刘志昂 陆一

摘  要：函数背景下的几何图形问题，是代数与几何知识的深度融合，是数形结合的典型代表之一. 文章以“一次函数背景下的三角形面积”专题复习课的教学为例，统整一次函数和三角形面积的核心内容，揭示相关知识间的逻辑关系，以及蕴涵的数学思想和活动经验之间的内在联系，丰富知识体系. 重视对学生“四基”“四能”的培养，让学生体验数学之美，落实学生的数学学科核心素养，彰显数学的育人价值.

关键词：学科统整;核心内容;核心素养

我校陆一老师开设的公开课“一次函数背景下的三角形面积”收到了很好的效果，受到了听课教师的一致好评. 整个教学设计统整了一次函数及其性质和三角形的面积、图形变换等核心内容，以数学知识为载体、以能力培养为目标，很好地落实了数学学科核心素养.

一、教学过程与点评

例1  一次函数y = 2x - 4的图象如图1所示，求△OAB的面积.

问题1：三角形的面积公式是什么？△OAB是什么三角形？它的底和高分别是什么？如何求OA和OB的长？如何求点A和点B的坐标？

【评析】此例从三角形的面积公式入手设置问题链，从要解决的问题△OAB的面积出发，采用“分析法”一路追问下去，到达最基本的问题——求点A和点B的坐标. 而在解决问题的过程中，则是先运用方程思想求出A，B两点的坐标，进一步求出OA，OB的长，然后运用三角形的面积公式求解.

此例的设计，复习了三角形的面积公式、一次函数的图象与两坐标轴交点的坐标，以及数轴上两点之间的距离. 充分运用一次函数的相关性质，将一个几何问题转化为代数问题.

在此基础上，又介绍了基本的分析问题的方法——分析综合法，同时还渗透了数形结合思想、方程思想、转化思想等数学思想方法，为后续问题的解决提供了最基本的范例.

例2  如图2，将图1中的直线y = 2x - 4围绕着点A按照逆时针方向旋转，交y轴于点[C0，2.]

问题2：图2中有几个三角形？它们可以如何分类？面积分别是多少？

【评析】学生很容易就看出图2中有三个三角形. 教师引导学生对它们进行分类：△OAB和△OAC是同一类三角形，都是一条直线与两坐标轴相交所形成的三角形，都可以用上面的方法来解决;△ABC是两条直线与一条坐标轴围成的三角形. △ABC的面积有两种求解方法：第一种方法是根据三角形的面积公式，得[S△ABC=1/2BC · OA];第二种方法是根据图形之间的位置关系，得到三角形面积之间的数量关系，即[S△ABC=][S△OAB+S△OAC.]

此例的设计建立在例1的基础上，将函数图象进行旋转变换，解决问题的方法也有其内在的联系，即用例1的方法直接解决，或者转化为两个例1中的三角形来解决. 这样的设计，既考虑到知识之间的联系，又关注到方法之间的转化和迁移，同时还渗透了因构成直线不同的三角形的分类讨论及一题多解.

例3  如图3，将图2中的直线AC沿着x轴的方向向左平移3个单位，分别交x轴于点D，交y轴于点E.

问题3：图3的三角形中，哪些与前面的三角形不同？它们的面积分别是多少？其面积的求法与前面的三角形有没有共性？

【评析】此例题是在例2的基础上，通过一次函数图象的平移变换，构造出不同的三角形. 依然是借助坐标轴，运用三角形的面积公式来解决问题，在运用待定系数法求两条直线交点F的坐标时，渗透了方程思想.

问题3的提出，揭示了其解决问题的方法与前面是有联系的. 也就是说，前面问题的解决，既积累了一定的活动经验，又为后面问题的解决提供了范例;既传授了知识，又关注了基本思想方法和基本活动经验的积累. 这同时也是一个逐渐一般化的过程，也就是一个数学抽象的过程.

例4  如图4，将图3中的y轴向右平移4个单位长度，分别与原来的两条直线交于点G和点H.

问题4：是否存在与图3中不同的三角形？如何求它们的面积？

【评析】此例再次通过平移变换得到不同的三角形，而求三角形面积的方法，则由借助坐标轴变成了借助与坐标轴平行的直线. 显然，虽然研究对象在变，但是研究的思想方法没有改变，这也是思想方法的螺旋式上升. 既是知识的迁移，更是思想方法和活动经验的迁移，很好地贯彻了“以知识为载体，以能力为目标”的教学理念.

例5  如图5，将图4中的直线GH围绕着点H按逆时针旋转，与直线AB交于点M，已知点M的纵坐标为1，求△FHM的面积.

问题5：这个三角形的构成与前面的三角形是否一样？如何求其面积？在解决这些问题的过程中，你有哪些感悟和体会？

【评析】通过旋转变换得到的△FHM与前面学习的所有的三角形都有着本质的区别，就其位置与形状来说，是一个很具一般性的三角形. 虽然其面积的求解方法不唯一，但无论是“补”（分别过点M，H作x轴的平行线，过F，H作y轴的平行线，构造出矩形，然后用矩形的面积减去周邊三个三角形的面积），还是“割”（过点M作y轴的平行线，或过点F作x轴的平行线，构造出两个三角形，求其面积之和），都是借助与坐标轴平行的直线来求三角形的面积. 这是对前面方法的推广应用，也是将此问题转化为前面的问题来解决. 而最后的追问，则是对能力要求的提升与升华.

二、教学感悟与思考

1. 设置问题主线，统整核心内容

（1）设置问题链，形成问题主线.

问题链是数学知识结构的表现形式. 对数学问题进行深化、推广、引申、综合，探索到新的发展规律，找到问题间新的联系时，就是形成问题链的开始. 通过这种过程的不断深化和逐步推进而找到的，具有内在联系的若干问题，就形成了问题链.

上述整个教学设计的例题中，后一道例题总是通过将前一道例题经过某种图形变换而得到的，是对前一道例题的延续与提升. 这种构造决定了它们之间内在的逻辑关系，也体现了整体设计构思之巧妙.

在每道例题中，都精心设置了一个问题链，而每个问题链之间又有着内在的逻辑关系. 例如，问题1从要解决的问题——求三角形的面积开始，逐步追问，最终指向求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，以及交点到坐标原点的距离，揭示了知识之间的交叉联系，这是一种引申问题链.

从例1到例5，所要求的三角形面积，从一条直线与两条坐标轴相交所形成的三角形（一线两轴），到两条直线与一条坐标轴相交所形成的三角形（两线一轴），再到三条直线两两相交所形成的三角形（三线无轴），总是从一个问题过渡到研究包含这个问题的另一个问题，这是一种推广式问题链，形成了一个逐渐一般化的过程.

在上述问题链的设置过程中，形成了问题主线，旨在培养学生善于深入思考问题，能抓住事物的本质规律，预见事物的发展规律，发展学生思维的深刻性. 同时，又培养学生能够根据条件的变化，及时调整思维方向，善于发现新的条件和新的因素，发展学生思维的灵活性.

（2）聚焦核心内容，开展学科统整.

奥苏贝尔认为，学习的实质就是学生认知结构的组织和重新组织，组织和重新组织的过程就是新旧知识相互联系、相互作用的过程. 执教教师的教学设计中，以一次函数背景下三角形的面积为主线，复习了用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，求数轴上两点之间的距离，求两条直线的交点坐标，求一次函数图象与坐标轴构成的三角形的面积等知识. 这些都是一次函数的核心内容，这是一种以知识联系为纲的统整. 这种以整体联系的眼光组织、设计和处理各知识点之间的关系，打通了学科知识内部通道，让学生在整体、联系、比较中学习，从而帮助学生在头脑中将知识“竖成线、横成片”，形成立体、开放、整体的知识结构. 同时，这种整体把握的教学内容对促进数学学科核心素养的连续性和阶段性发展具有重要意义.

本课例的设计，一次函数背景下的三角形面积，从“一线两轴”到“两线一轴”，再到“三线无轴”，面积的解法间有着内在的联系，是一个逐渐一般化的过程. 而一般问题的解决，则需转化为特殊问题. 这是从整体的视角设计的，整体即联系，整体即组织，整体即整合，这是一种方法上的统整，避免了知识、方法和能力的碎片化，改变了单个知识、方法的识记到理解再到应用的认知途径，是学科知识与学科方法、能力的有机结合.

2. 构建解题模式，体验数学之美

罗增儒教授指出，在学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式，将其有意识地记忆下来，并做有目的的简单编码. 当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已经解决过的问题，以此为索引，在记忆储存中提取相应的方法加以解决，这就是模式识别的解题策略.

本课例从例1到例4，不仅是一个逐渐一般化的过程，在解决这些问题的过程中，也逐渐构建了一个解决问题的模式——一次函数背景下的三角形，可以充分利用坐标轴或与坐标轴平行的直线来求其面积. 而例5则需要通过作辅助线，用“割”或者“补”的方法，将所求三角形转化为上述模式中的三角形来解决，这是对上述模式的识别与应用.

这一解题模式的构建，为反比例函数及二次函数背景下的三角形面积问题的解决提供了思想上和方法上的范例，并且现在积累的基本活动经验同样可以迁移到后续的问题解决中，充分体现了对“基本图形的基本结论，基本思想和基本方法”这一模式的积累与应用.

模式的构建与识别运用，从思考方式上看，用模式中简洁的方法去解决问题，将复杂的问题转化为模式来解决. 这种由浅入深的过程，体现了自然之美和艺术之美，在欣赏数学之美时，不应停留在感官的刺激上，而要用理性的思考去品味. 模式识别缩短了学生的思维路径，不仅使问题得以快速解决，还可以使学生获得成就感，产生满足感，这本身就是一种美的享受. 法国著名数学家庞加莱认为，数学的优美感，不过是问题的解答适应我们心灵需要而产生的满足感.

3. 重视“四基”“四能”，落实核心素养

章建跃博士认为，学生要理解知识，掌握技能，领悟数学基本思想;积累数学思维和解决问题的经验，提升与发展数学学科核心素养.

本课例注重学生对所学知识的理解，关注所学知识之間的联系，找准生长点与延伸点，很好地处理了局部知识与整体知识之间的关系，把整节课的知识置于整体知识的体系中，在构造的各种不同情境下求三角形的面积，促使学生理解解决问题的程序与步骤，增强对基本技能的训练.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括. 本课例的设计，学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，逐步感悟数学思想. 其中积累的数学活动经验，不仅有助于例4和例5的解决，而且有助于对反比例函数和二次函数背景下几何图形面积问题的解决，这是一种在“做”和“思考”的过程中的积淀. 最终的目标聚焦在理性思维上，使学生学会有结构、有逻辑地思考，而不是胡思乱想.

从例1到例5，执教教师引导学生有层次地认识图形及其关系，集中体现数学的逻辑性，帮助学生学会有逻辑地思考. 这种循序渐进、拾级而上的过程与方法是数学育人的力量所在，是培养学生的理性思维、发展学生数学学科核心素养的关键载体.

对于单元专题复习课的设计与教学，教师应在设计中统整核心内容、构建解题模式，在教学中落实“四基”“四能”，渗透数学之美，方可更好地落实学生的数学学科核心素养，彰显数学的育人价值.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]余文森. 核心素养导向的课堂教学[M]. 上海：上海教育出版社，2017.

[3]罗增儒. 数学解题学引论[M]. 西安：陕西师范大学出版总社，2016.

[4]喻平. 数学学习心理的CPFS结构理论[M]. 南宁：广西教育出版社，2008.

[5]刘志昂. 运用模式识别  探寻数学之美[J]. 中国数学教育（初中版），2019（4）：50-53，59.

收稿日期：2020-08-11

基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划重点自筹课题——初中生认知能力发展的学科统整研究（E-b/2018/13）.

作者简介：刘志昂（1968— ），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.