号脉课堂中数学抽象和逻辑推理素养的落实

陈算荣 顾秋丹

摘  要：以一节公开教学课例“图形的平移”中的两个关键教学事件为例，运用切片分析法，提取典型的教学行为片断加以诊断，从而发现教师在落实数学抽象和逻辑推理素养的教学中存在“有形无实”和“有实缺据”的典型问题. 究其根本，在于教师没有抓住数学抽象思维的本质，对不同推理形式的内涵亦把握不到位.

关键词：数学抽象;逻辑推理;图形的平移;切片分析

数学学科核心素养既是育人价值的集中体现，也是数学课程目标的集中体现. 数学抽象和逻辑推理为《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中六大核心素养的前两项. 其中，数学抽象被喻为“数学眼光”，逻辑推理被喻为“数学思维”，可见其基础性和重要性. 然而，学生的数学抽象和逻辑推理素养的形成和发展不是一朝一夕的事情，需要教师在各个阶段逐步加以渗透和培养，甚至需要教师抓住每个教学事件加以认真设计，实现核心素养的有效落实.

顺应《标准》中落实数学学科核心素养的教学要求，许多教师对此有了良好的认识和实践行动，但受限于个体对体现落实数学学科核心素养的教学设计的认知水平和具体实施能力，在真实的课堂教学中，还存在着诸多问题. 问题存在于哪里？造成这些问题的根源是什么？答案的寻找应该指向对真实课堂的观察，通过号脉课堂中一些关键的教学事件，达成问题的解答. 本研究以某国际交流会议中开设的“图形的平移”的公开教学课为例，运用教学切片分析法，以录像观察与现场观察相结合、定性与定量相结合的视频分析方式，选取课堂中的教学关键事件，提取典型的教学行为片断，依据教学理论和研究者的教学经验加以诊断和评价，找出问题和问题的根源.

一、课例选取

本研究课例主要选取概念探究和性质探究两个教学关键事件进行分析.

事件1：概念探究教学.

执教教师将概念探究部分分为直观感知和抽象归纳两个环节. 首先，执教教师在上课的开始依次播放2008年北京奥运会上冉冉升起的五星红旗、左右移动的窗户、乘坐扶梯的人的视频，同时引导学生观察并描述这些物体是如何运动的，目的是引导学生直观感知. 学生的观察和描述活动结束后，执教教师指出如果把生活中的物体抽象为数学中一些平面几何图形，那么这些物体的运动就可看成平面图形的运动，并把这类运动称为“图形的平移”，由此引出课题. 接下来，进入抽象归纳定义的教学环节，教学片断如下.

师：谁来说说看，什么是图形的平移？

生1：我觉得图形的平移是指这个物体移动时，物体的所有部分都移动同样的距离，方向和位置也是一样的.

师：生1在说“物体”，我们来看看，图形的平移是不是也是这样？谁能进行补充？

生2：图形的平移就是图形按照一定的方向和距离移动.

师：非常好！老师来概括一下，平面内的图形沿着一定的方向移动一定的距离，这样的图形运动就叫做图形的平移.

事件2：性质探究教学.

执教教师在完成图形的平移，以及对应点、对应线段、对应角、图形平移的距离和图形平移的方向等概念的教学后，给出如下操作任务：要求学生在小组内分工合作测量平移前后两个三角形之间对应点连线、对应线段、对应角之间的数量关系，并给予学生比较充足的时间进行操作，而后进入互动环节，请生3回答测量结果. 互动结束后，为了探究对应点连线之间的位置关系，执教教师提出问题“除了大小关系，它们还有怎样的位置关系？”而后进行了如下的师生对话.

生4：我发现它们是互相平行的.

师：除了互相平行，还有没有其他可能呢？给出两个对应点，你们发现它们的位置还有可能会出现什么样的情况呢？

在执教教师与4名学生进行了10余个一问一答式的“纠缠”，以及非常明显的手势暗示之下，教师才得到了关于图形平移后对应点连线完整的位置关系表述.

二、问题诊断

1. 数学抽象素养的落实有形无实

数学抽象素养是指个体根据已有经验，在具体情境中对数量关系与空间形式所反映出的一般規律和特征运用简洁、严谨的语言加以表述的意识和能力. 在数学课堂教学中，数学抽象思维的运用普遍存在于概念、定理和公式的教学中，教师不仅应该创设让学生进行抽象思维的活动空间，而且应该引导学生正确地进行抽象思维. 而在上述课例的概念探究教学事件中，执教教师在进行抽象归纳定义时，对数学抽象素养的落实空有其表、有形无实，具体分析如下.

切片分析1：教师引导学生抽象归纳定义的第一个问题是：“谁来说说看，什么是图形的平移？”首先，该问题不具有启发性，因为初中学生对如何下定义的经验不足;其次，执教教师提问后留给学生思考的时间过短，学生的抽象思维活动得不到保障.

切片分析2：执教教师面对生1的回答，回应点落在了“物体”上，意思是学生的抽象归纳问题在于把“图形”说成了“物体”，但其实这可能只是学生的口误，后续教学活动中常常有学生把“图形”说成“物体”，教师无意间也会这样表述. 虽然这一点需要指出来，但是执教教师应该聚焦到学生抽象归纳的主体表述是否指向实质. 生1的回答体现了其抽象思维的偏离，即其不是对前面直观感知中不同平面图形平移运动共同特征的抽象归纳，而是对某一物体（图形）在运动过程中各点运动距离的等值性描述.

切片分析3：对于生2接近教材定义的回答，执教教师没有挖掘其中缘由，而只是进行“非常好”的简单回应. 其实，学生表述背后的原因有两种可能：第一种是生2的确经历了一个从具体到抽象的思维过程，并且表述比较准确;第二种是生2参考了教材的定义进行表述，其本身并没有经历抽象概括的思维过程. 无论是哪一种情况，执教教师都没有采取措施暴露学生的思维过程，促进数学抽象素养在课堂中的落实.

2. 逻辑推理素养的落实有实缺据

逻辑推理素养是指个体运用所学知识，从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的意识和能力，逻辑推理通常包括从特殊到一般的合情推理，以及从一般到特殊的演绎推理这两种形式.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，逻辑推理能力的培养应贯穿于整个数学学习过程中. 其中，合情推理作为探索思路、提出猜想、创造性地发现结论的一种重要方法，在数学概念、命题、法则、性质，以及问题解决等的探究性学习中扮演着重要的角色. 归纳和类比是合情推理的两种主要形式，归纳推理又分为完全归纳推理和不完全归纳推理. 一线教师只有正确把握这些推理形式的内涵，才能科学合理地创设发展学生合情推理能力的教学情境. 而在上述“图形的平移”课例的性质探究教学事件中，教师试图引导学生运用不完全归纳法探究图形平移的性质，从中渗透逻辑推理素养，然而由于教学活动设置的不合理，致使逻辑推理素养的落实有实缺据，具体分析如下.

切片分析4：在性质探究教学中，执教教师创设了一个操作情境试图让学生从两个三角形平移前后对应点连线、对应线段、对应角之间的数量关系归纳得出任意的两个平面图形平移前后也具有此性质. 的确，学生经历了从特殊到一般的真实过程. 但是，执教教师没有意识到不完全归纳的内涵是根据某类事物部分对象具有某种属性，从而推出该类事物都具有某种属性的结论. 由此，从特殊到一般或从具体到抽象的归纳应该建立在多个具体对象的基础上，否则缺乏归纳推理的基础，即一定量的合理的证据. 而此操作设计的从特殊到一般不是由部分合情推理到整体，而是由一个事例来推理整体，这将潜移默化地给学生传达一个错误的不完全归纳概念，存在设计的科学性问题. 长此以往，学生就会形成一个对不完全归纳的错误认知.

切片分析5：与生3的互动结束后，在探究对应点连线之间的位置关系上，从课堂观察来看，教师与后面4名学生的互动进入了一个“挤牙膏”式的对话过程，尤其是得出“对应点的连线有可能在同一直线上”的过程，教师费了好大的力气. 为何对于位置关系的归纳如此吃力？原因有两个：第一，操作设计中只设计了让学生考察数量关系的问题，学生没有在操作过程中观察、思考位置关系的活动基础;第二，执教教师设计的问题中，没有创设对应点连线可能在同一条直线上的观察情境. 归根结底，这个归纳推理的过程同样缺少一定量的合理的依据.

三、改进建议

1. 概念探究教学重建

针对概念探究教学事件中存在的问题，可以从最初的问题设计上加以解决，也可以以学生的回答为突破口加以追问，此处提供两种解决方式下的教学设计重构.

重构方案1：改变最初的问题设计，将问题具体化. 教学活动预设如下.

教师活动：教师通过如下提问启发学生的思考方向——我们刚才分别描述了2008年北京奥运会上冉冉升起的五星红旗、左右移动的窗户、乘坐扶梯的人等物体（已抽象为平面图形）的平移运动特征，这些特征反映了什么共性？能否依据共性用简洁的语言给图形的平移下定义呢？大家以小组为单位进行讨论，尝试下定义.

学生活动：学生在问题的启发下，开展小组探讨，寻找不同图形平移运动特征的共性，体验和经历正确的数学抽象思维活动.

生成预设：在教师的提示下，学生的关注点能够从视频中的具体物体转移到不同图形的共性上来，但是归纳出“一定的方向和距离”仍有难度.

回应策略：教师在学生回答的基础上再次进行追问——回到我们观察的实例，同一图形各个部分都是沿着相同的方向运动，但不同的图形在沿着不同的方向运动，这里的共性是什么？同一个图形的各部分都移动相同的距离，但不同的图形移动的距离或长或短，这里的共性又是什么？

重构方案2：基于最初的提问，调整对生1的回应，重建如下.

教师活动：针对生1的回答，教师进行指向实质的回应——我们把物体已抽象为图形，这里我们说图形，对于某一图形在平移运动时，图形上的所有点都移动相同的距离，这是个体在运动过程中的规律，但我们现在需要对各种图形的各种平移进行运动特征的归纳，有的图形移动的距离长，有的移动短，移动方向有的由下向上，有的由左向右，有的向左上方的某个角度移动，我们如何抽象出这一类图形的平移特征呢？

生成预设：如果生1基础较好，在这样的提示之下能够归纳出图形平移的运动特征，但也可能仍然无法归纳.

回应策略：若生1能够归纳出图形平移的运动特征，则让其针对两个特征具体解释一番;若无法回答，教师可以让学生进行小组合作讨论，推进学生的数学抽象思考.

2. 性质探究教学重建

分析性质探究的教学事件中存在的问题，最根本的原因在于教学活动设置得不合理，故而最直接有效的方式为重建这个活动设计，此处提供两种解决方案.

方案1：给每个小组的组员操作的具体图形不同. 例如，有平移前后的两个三角形、四边形，或其他几何基本图形，其中特别设置有两组对应顶点连线在同一条直线上的情形.

教师活动：组织学生测量和观察研究这些图形平移前后的对应点连线、对应线段、对应角之间的数量关系和位置关系.

学生活动：进行测量操作，并在小组内交流各自获得的数据和位置特征，再观察和比较不同组员从不同形状的图形平移运动中得到的数据和位置特征，研究有何共性.

【设计意图】这个设计体现了两个层次的归纳. 第一个层次，个体针对自己的图形测量的数据，归纳这一具体图形平移前后反映的数据特征;第二个层次，小组交流，观察分析不同个体对不同具体图形平移后得出的结论是否具有一致性或一般性. 有了这两个层次的数学思考，学生的探究活动才能真正经历归纳推理的思维过程.

方案2：设计同一个小组操作同一具体的图形，但不同的小组操作的图形不同. 与方案1一样，要设置有两组对应顶点连线在同一条直线上的情形.

教师活动1：组织各组学生分工合作测量和记录所给图形平移前后图形中的对应点连线、对应线段、对应角之间的数量关系和位置关系，并写出结论.

学生活动1：按照教师指令，分工测量、记录和整理数据，并将数据结果展示、分享到班级.

教师活动2：教师组织学生对各组提供的数据进行汇总分析，并组织组间交流活动.

学生活动2：先对各组汇总的数据结果进行共性分析，然后在组间交流分析结果，共同归纳出图形平移的性质.

【设计意图】这个设计同样体现了两个层次的归纳. 第一个层次，小组内针对一个图形的数据进行观察分析，得出该图形的运动性质;第二个层次，观察分析不同小组对不同具体图形平移后得出的结论是否具有一致性或一般性. 最后，进行组间交流，达成共识.

四、研究总结

以上分析表明，本节课中，教师的教学设计存在以下不足. 第一，数学抽象素养的培育在课堂中没有得到有效的落实，执教教师虽然有意识地引导学生进行数学抽象思维，但实质上只是让学生走了一个归纳定义的形式，没有在实质上引导学生有方向地去思考，也没有给予学生思考的时间和空间. 问题的根源出在教师自身没有真正理解从直观感知到抽象归纳这一定义需要经历怎样的思维，没有抓住数学抽象思维的本质，即在具体情境中从一类事物中抽象出它们的数量关系和空间形式的一般规律和特征. 第二，逻辑推理素养的培养缺少合理有效的教学活动的推动，执教教师虽然试图创设一个实际操作情境让学生在动手的过程中自主归纳出图形平移的性质，然而由于执教教师自身对不完全归纳推理的形式和内涵把握不到位，导致教学活动的设计仅涉及一个事例的操作，缺乏一定量的合理的证据.

这样的活动设计不仅增加了学生归纳推理的难度，还给学生示范了一个错误的不完全归纳的过程，对学生逻辑推理素养的发展亦不能起到有效的推动作用.

诚然，以上只是一节公开教学课例中的两个教学事件，但是公开教学通常是经过学校教研组的教师反复试讲，多次重建后呈现的教学案例. 窥一斑而知全豹，这种有形无实和有实缺据的现象在真实课堂中发生的情况应该不在少数，具有典型性. 在落实发展数学抽象素养和逻辑推理素养的过程中可能还存在诸多其他的问题，有待研究者在更多真实的课堂中捕捉和分析，切实为一线教师提供有效的指导.

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收稿日期：2020-09-01

基金项目：江苏省研究生教育教学改革课题——后现代视域下的研究生数学教育课程教学变革研究：生长式自本课程教学理论和实践探索（JGLX18_058）.

作者简介：陈算荣（1972— ），女，副教授，主要从事数学教育与教师教育研究.