借“三维设计”培养学生数学思维

郑海山 吕子鹏

摘  要：“三维设计”是从学生思维发展的路径入手，运用师生行为的展示方式、知识的呈现梯度、知识与思想方法的归纳这三个外显的设计，引导教师进行教材的解读与演绎，促进不同学生不同思维层次的发展. 运用“三维设计”，教师便于把握教材的核心问题，培养学生的数学核心思维.

关键词：三维设计;数学思维;初中数学

罗增儒教授指出，数学核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的思维品质与关键能力. 郑毓信教授指出，数学素养的真正核心是通过数学教学帮助学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理. 可见，可以通过培养学生的数学思维，发展数学学科核心素养. 笔者通过“三维设计”的方法引导教师进行教材的解读与演绎，较好地促进不同学生不同思维层次的发展. 本文所说的“三维设计”是指教师在进行教材的解读与演绎中，充分运用师生行为的展示方式、知识的呈现梯度、知识与思想方法的归纳三个因素. 当然，还有其他方面的考虑. 但“三维设计”是教材解读与演绎的核心要素，运用这一方法，有利于教师把握教材的核心问题，培养学生的数学思维.

一、案例呈现

案例素材源自浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“1.5 三角形全等的判定（3）”，其教学目标是探索三角形全等的判定3，即会运用“SAS”判定两个三角形全等.

1. 知识引入

（1）数学实验室：图1是两块破碎的纸片，拿哪一块能还原三角形？所选的纸片保留着几个完整的条件？ [图1]

（2）把含有两个角和这两个角的公共边的三角形画下来（已知BC = 3 cm，∠B = 30°，∠C = 60°，试用量角器和刻度尺画△ABC），与同桌比较所画的三角形，你会发现什么？由此你能得出满足怎样条件的两个三角形是全等三角形？

【设计意图】从生活实际和作图中凸显三角形全等的三要素（两角及这两个角的夹边），为后续得出三角形全等的判定3埋下伏笔.

2. 判定初形成

问题1：观察图2，你认为下列哪些选项能得出△ABC ≌ △DEF？

（A）∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E

（B）∠A = ∠D，AC = DF，∠C = ∠F

（C）∠C = ∠F，BC = EF，∠B = ∠E

问题2：你能用文字描述出符合什么条件的两个三角形是全等三角形吗？

教师引导学生归纳全等三角形的判定3：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写为“角边角”或“ASA”.

【设计意图】从图形语言的描述到文字语言的表达，体现从直观到抽象的过程，让学生充分感受文字语言表达的概括性、准确性，学会用恰当的数学表达方式描述数学内容，培养学生的数学语言表达能力.

3. 典型学习

例1  如图3，已知∠CAE = ∠DAB，∠C = ∠1，AC = AE，求证：△ABC ≌ △ADE.

教学行为展示方式：提出问题—个体回答—师生再解—师生归纳.

变式1：若将图3中的△ADE绕点A逆时针旋转任意角，∠CAE = ∠DAB，∠C = ∠1，AC = AE，求证：△ABC ≌ △ADE.

变式2：若将图3中的△ADE绕点A顺时针旋转任意角，∠CAE = ∠DAB，∠C = ∠1，AC = AE，求证：△ABC ≌ △ADE.

对于变式1和变式2，教师先让学生画出旋转后的图形，如图4和图5所示，再进行教学行为.

问题3：对于例1及其两道变式的解决，我们运用了哪些知识与方法？

巩固练习：（1）如图6，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：AC = AD.

（2）如图7，已知点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB = CD，∠A = ∠D.求证：AE = DF.

问题4：从以上三道练习题的解决中，大家有哪些感悟？

【设计意图】及时用符号语言巩固全等三角形的判定3，通过一组变式和巩固练习，不仅让学生经历了图形语言的形成过程，而且让学生感受到了变化中的不变，总结归纳解题的一般思维路径，多角度、多层次地巩固判定3. 及时总结学习方法，落实“四基”，是培养学生数学思维的前提.

例2  如图9，已知点D，E分别在AC，AB上，∠B = ∠C，AB = AC. 求證：（1）AE = AD;（2）BM = CM.

教学行为展示方式：提出问题—个体回答—师生再解—师生归纳.

【设计意图】设计图形较为复杂的例题，有利于培养学生在复杂图形中找到关键点的能力，直击解题的本质，从而能使学生熟练掌握全等三角形的判定，进而拓展学生思维的宽度和深度，为深度学习和数学思维的落地提供载体.

4. 小组合作，问题解决

例3  如图10，已知AB∥CD，AD∥CB，求证：AB = CD.

例4  阅读下面一段文字：泰勒斯是古希腊哲学家. 相传，“两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等”就是泰勒斯首先提出的. 泰勒斯利用这个判定三角形全等的依据求出了岸上一点到海中一艘船的距离.

如图11，点A是观察点，船P在点A的正前方，过点A作AP的垂线l，在垂线l上截取任意长AB，O是AB的中点. 观测者从点B沿垂直于AB的BK方向走，直到点K、船P和点O在同一条直线上时停止，则BK的距离即为船到岸边的距离. 试给出证明.

教学行为展示方式：提出问题—小组合作—小组汇报—师生再解—师生归纳.

【设计意图】例3和例4都是对全等三角形判定的深层次运用，通过构造和建构三角形，让学生理解全等三角形判定的运用方法及思维方式. 例题设计基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能，凸显数学本质与数学思想方法，帮助学生在学习过程中构建整体性观念，进而达到对全等三角形本质上的理解. 同时，借助具体的情境，让学生学会发现问题、提出问题和解决问题的方法，这是培养学生数学思维的有效载体之一.

二、案例解析

1. 师生行为的展示方式促进学生数学表达能力的提升

上述例题的教学行为展示方式的实质是遵循以问题为主线，以个体或小组合作的形式为互动平台，全过程、全方位提升学生独立解决问题的能力，并择机采取全员再解答的形式进行补偿教学，师生及时对所学知识与方法进行归纳，提升思维的深度. 师生行为展示的目的是促进学生数学表达能力的提高. 数学表达能力作为一种重要的数学学科思维能力，其内涵包括合理运用数学语言（文字语言、图形语言和符号语言）表达、分析数学对象并解决数学问题，能在交流中阐明自身数学观点或见解等.

该案例中的知识引入、判定初体验等环节都是从学生的最近发展区和知识的最近生成区这两个视角来设计问题，遵循思维由浅入深、由易到难、由形象到抽象，逐步逼近数学本质的原则. 这样的问题具有思考价值和明确的指向性，能够启发学生的思维活动. 叶澜教授提出：人类的教育活动起源于交往，教育是人类一种特殊的交往活动. 本案例中，教师采取师生互动、小组合作和集体解答等形式展开教学活动，关注课堂对话，尤其是对学生数学表达能力和数学理解更为重视，较好地体现了数学学科的育人功能.“师生再解—师生归纳”的过程是本案例中始终采取的方法，对于刚接触几何的初中学生而言，用符号语言描述解答过程具有一定的难度，前面的互动环节解决了学生逻辑思维上的困惑，而后者不仅能解决学生语言描述上的障碍，还能进一步帮助学生理清思路并将其内化为自己的理解. 紧接着，教师与学生一起归纳题目中蕴涵的知识和思想方法. 这个环节更进一步促进了学生构建知识的方法体系，使得学生更加深入地理解了数学知识的本质与核心.

2. 运用知识的呈现梯度培养学生解决问题的能力

教材知识体系呈现梯度发展，而一节课的知识呈现顺序也有梯度，好的梯度设计有利于培养学生的高阶思维能力. 上述案例中的教学思维正是教师对三角形全等判定3的内涵与外延的考量，使得学生对于新接触的知识，经历了从简单到复杂、从直观到抽象、从低阶思维逐步到高阶思维的发展过程.

（1）在简单的三角形全等问题中落实低阶思维.

该案例中，通过简单的三角形全等问题及一系列变式型题组和开放型问题对三角形全等的判定3进行凸显，不仅能够揭示知识的本质，还能拓宽学生的知识面. 例如，例1—变式—巩固练习，无不指向知识的核心本质，落实低阶思维，提高基础知识和基本技能达成率. 在设计时要考虑两个三角形全等在“形”上的特征，从例1到变式题组的设计线索为“共角”的旋转变换，巩固型题组的设计线索是两个三角形全等在“共边”上的变化，并设计条件开放的题目，这些都能帮助学生从多角度、多方位理解知识的本源.

（2）在复杂三角形全等的问题中提升中阶思维.

当学生从简单的图形中认识到知识的本源后，就要把知识的本源隐藏起来，让条件弱化或是让图形更加复杂化，这些设计都能帮助学生更好地认识事物外在与内在的关联，使之形成事物的闭环系统. 如案例中的例2，明显比例1在图形上具有复杂性和干扰性，出现了多个三角形全等的可能性，且使全等具有一定的隐藏性，但是问题的核心仍然不变，考查的还是全等三角形的判定3的运用. 问题4具有一定的深度，隐藏着对学生几何推理一般思维路径的培养，有利于提高学生的中阶思维能力，进一步落实核心知识.

（3）在构造三角形全等的问题中培养高阶思维.

当中阶思维得到提升时，教师要做的是如何使学生的思维向更高层次推演. 根据本节内容的实际，教师从两个方面培养学生的高阶思维：① 例3虽然图形简单，但三角形全等的“形”被隐藏了起来，学生需要通过添加辅助线，构造出三角形来解决问题，能够有效培养学生的创造性思维;② 例4结合数学文化和实际问题，通过合理建模，构造两个三角形全等来解决实际问题，有利于培养学生的建模思维和问题解决能力，提升学生的数学思维.

对于例4，可以进行如下改编.

阅读下面一段文字：泰勒斯是古希腊哲学家. 相传，“两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等”就是泰勒斯首先提出的. 泰勒斯利用这个判定三角形全等的依据求出了岸上一点到海中一艘船的距离. 如图12，点A是观察点，船P在点A的正前方，试结合上述原理，设计能测量PA长度的合理方案，并证明.

这样设计的较好地吻合了PISA试题理念，相比原设计，该改编保留知识背景，去掉具体操作，使得试题更具有真实情境性且更加开放. 学生需要运用知识搭建合理构图去解决问题，在这个过程中能够有效培养学生理解知识、运用知识、反思评价的能力，更能发展学生积极合作的学习态度，从而培养学生终身学习的动机和能力.

3. 善用知識与思想方法的归纳成就学生建构知识体系的方法

在教学实践中，不可避免地要进行知识与思想方法的归纳，何时进行归纳？仁者见仁，智者见智. 一节紧凑的课中每个环节的设计都具有一定的教育意图，体现了教师对学生和教材的理解与解读. 教师应该适时地进行归纳和升华，使之切合整节课的核心知识和思维能力的达成.

如上述案例中的每个环节中，教师都会与学生一起经历师生归纳.“例1—变式—巩固”环节归纳如下：① 求证角相等的策略有公共角、角的和差关系、互补（余）角的关系、三角形的外角推论、平行线的性质等;② 求证边相等的策略有：公共边、线段的和差关系. 例2环节归纳为：求证角相等的策略为全等三角形的对应角相等. 例3环节归纳为：常用辅助线的添加方法，构造三角形全等的方法. 通过上述的师生活动，逐步显现在学生眼前的是一张完整的推理思维导图（如图13），结合学生的实践和总结，教师有意识地渗透推理思维导图，这些必将改变学生的学习方法和思维方式，逐步使学生掌握建构知识体系的方法，确保培养学生的数学思维.

长期的教学实践经验表明，教师的备课思考与课堂教学若能在师生行为的展示方式、知识的呈现梯度、知识与思想方法的归纳等方面有所考虑，就一定能落实好“四基”，有效培养学生的数学核心思维.

参考文献：

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[2]高欣，赵连顺. 初中数学课堂三维目标实践的三重反思[J]. 中学数学教学参考（中旬），2012（5）：17-19.

[3]谭铁强. 对初中数学教学设计标准的认识[J]. 西藏教育，2012（5）：27-28.