数形结合思想在数学高考教学中的应用研究

刘晋江

摘 要：数形结合在数学解题中的应用十分广泛，如在三角函数、解析几何、线性规划等方面都有应用。数形结合的思想将抽象的数字问题化为具象的图像进行解决，剖析数学问题的本质，从而提升学生对题目的理解能力和解题速度。

关键词：数形结合;高考教学;解题应用

高中生面对高考升学精神压力极大，如何在高中数学教学中通过较好的教学方式帮助学生少走弯路是高中数学老师的工作重心之一，数形结合思想即为有效解题思想之一，其在几何解析、求参数取值范围等方面都有显著优势。

一、数形结合思想在解析几何中的应用

解析几何作为结合了数字和图形的数学学科分支，与代数学有很大的不同，但同时也将代数和几何联系在一起。因此，由解析几何延展出的问题成为数形结合思想的重点应用对象[1]。

例1（2018全国卷I，理科）已知双曲线C：-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）

A. B.3 C.2 D.4

分析：首先由双曲线方程可知，OF==2，且渐近线方程为y=+x，∴∠NOF=∠MOF=30°又∵△OMN为直角三角形，∴△OMF也为直角三角形

由此可知，在Rt△OMF中，OM=OF·cos∠MOF=2·cos30°=;在Rt△OMN中，MN=OM·tan∠NOM=·tan（30°+30°）=3，故选B.

点评：将双曲线中得出的数值和渐近线方程与几何定理（勾股定理）相结合，从而得出作为三角形一边的MN的数值，巧妙的运用了数形结合的思想解决问题。

二、数形结合思想在求参数取值范围中的应用

参数的取值类问题在高考试题中非常常见，因其解题方法的多样化和计算过程的复杂程度，数形结合思想的运用打破了其繁琐的运算模式，使学生在高考解题中有效提升了解题速度和准确度。

例2（2018全国卷I，理科）已知函数若g（x）存在两个零点，则a的范围是（）

A. [-1，0）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞）

分析：首先，由题目得知g（x）存在两个零点，可以得出f（x）+x+a=0这个方程有两个解，进而得出f（x）=-x-a有两个解，即直线y=-x-a与曲线y=f（x）有两个交点，可以得到函数f（x）的图像如图2，再通过移动直线y=-x，得出当-a≤1时，满足y=-x-a与曲线y=f（x）有两个交点，从而求出a≥-1，故选C.

点评：通常解决参数取值范围问题时，一般运用的是分离参数，再求解的方法，而在这道题中，将问题中的函数转变为图形展开分析，使原本繁琐的计算过程在图像的表现形式下变得簡洁明了。

三、数形结合思想在求线性规划中的最值问题

线性规划作为高考中的重点考察对象之一，其中通过给出约束条件求得最值的出题模式最为常见，应用数形结合思想，画出相应的线性函数图像，可将问题简单化、直观化地表现出来。

例3（2018全国卷I，理科）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为.

分析：根据所给的约束条件，可以得出相应图像中的可行区域如图3，再将目标函数转化为斜截式y=-x+z，接着再画出直线y=-x.通过直线移动的过程，可以得出直线y=-x+z过B点时取得最大值，然后联立方程组，求出点B的坐标为（2，0），此时zmax=3×2+0=6，因此答案为6.

点评：这道题主要考察了线性规划的相关知识，通过图像解析，联立方程组，从而得出最优解。

结束语：高中数学教师需在教学中，利用历年高考真题为学生讲解高考试题类型及方向，同时需要教会学生运用数形结合思想解题，以提高学生解题速度和准确度，培养学生自信心，积极面对高考。

参考文献

[1]朱琳.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用研究[J].中国校外教育（中旬刊），2019，（9）：48-49.