π的计算

童广鹏 (河南省民权县高级中学 476800)

纵观滔滔历史长河中的数学发展史，圆周率始终如一颗光彩夺目的璀璨之珠,散发着经久不衰的魅力．π是一个驰名数学界的数，众多数学家包括阿基米德、祖冲之、鲁道夫等都对如何计算π值进行过不断的探索.正所谓“路漫漫其修远兮”，古典方法已引导数学家们走了很远，但到今天我们仍未到达终点．本文根据高考对数学文化的要求，以π的精确值的计算方法为主线，按照数学家攻坚的时间结合试题作一简要呈现．

1 《算数书》算法

背景分析古代数学名著《算数书》是中国现已发现的最古老的一部算书，全书总共约有200多支竹简(其中完整的有185支，10余根己残破)，约七千多字，有60多个小标题，如方田、少广、金价、合分、约分、经分、分乘、相乘、增减分、贾盐、息钱、程未等．当今流行的传本《九章算术》部分问题来自《算数书》，但时间上比《算数书》晚了一个半世纪以上．《算数书》是出土的竹简算书，属于更可珍贵的第一手资料．但由于当时世界上对圆周率的计算停留在试验获取阶段，《算数书》中涉及到的π值为4，所以π=4完全是测量出来的，误差较大．

2 刘徽算法

问题2我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．他用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法．所谓“割圆术”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率(圆周率指圆周长与该圆直径的比率)．如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n可表示成( )．

背景分析中国古代数学家刘徽(约225-295年)创造了求圆周率的“割圆术”，将人类对圆周率的计算引向了正确的轨迹．刘徽是第一个把推求圆周率π的近似值的方法提高到理论上来认识的，他不仅计算出了更为精确的圆周率的值，创立了以几何学求圆周率的方法，而且开创了中国数学史上关于圆周率的理论研究之先河，奠定了中国数学之新纪元．在公元263年前后，他就用此方法得出π≈3.14，后人称之为“徽率”，他指出这是不足近似值．虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法却有着更美妙之处．割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德同时用内接和外切正多边形的方法简捷得多．同时，割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工方法，借此他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π≈3.1416．而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算来得出，需要割到3 072边形．割圆术不断地利用勾股定理来计算正n边形的边长这种精加工方法的效果是奇妙的，也是割圆术中最为精彩的部分．

3 何承天算法

4 祖冲之算法

5 蒲丰算法

问题5关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人都随机写下一个小于1的正实数对(x,y)，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m，最后再根据统计数m估计π的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计π的值约为( )．

图1

背景分析计算π的最为稀奇的方法之一，要数法国博物学家蒲丰的投针实验了．1777年的 一天，蒲丰忽发奇想，把许多宾朋邀请到家中，做了一个叫人感到奇怪的试验.他把事先画好一条条等距离的平行线的白纸铺在桌面上，又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一半的小针，请客人把小针一根一根的随便地仍在纸上，而蒲丰则在一旁专注地观察并记着数，投完后统一计数，共投 2 212次，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一个简单的除法，2 212÷704=3.142，然后宣布：“这就是圆周率的近似值！”所有的宾朋都惊呆了，这简直是不可思议！这就是著名的蒲丰投针试验．

6 蒙特卡罗算法

问题6rand( )是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次rand( )函数，就产生一个在区间[0,1]内的随机数．我们产生n个样本点P(a,b)，其中a=2 rand( )-1，b=2 rand( )-1．在这n个样本点中，满足a2+b2<1的样本点的个数为m，当n足够大时，可估算圆周率π的近似值为( )．