创设双曲线作图情境 再认识反比例函数——几何画板软件提升互动体验线上教学实录*

赵欣庆 (甘肃省兰州市永登连铝学校 730335)

1 学情分析

上课班级是地处远郊的市级示范高中高三年级两个理科班．同一时间两个班进行线上高中数学教学，师生协同实现教学共振需要信息技术支持．选择几何画板软件作为工具，因其具有文档选项添加页功能，具有把文档片段及插入公式以粘贴图片的方式编辑在其界面上的优势；更重要的原因是师生对几何画板软件动态构图情有独钟，加之学生人手一台电脑，具有跟随教师操作几何画板软件的能力．

2 内容分析

作为平面解析几何“双曲线”复习内容的完备，在线上教学中，运用几何画板软件创设反比例函数图象作图情境.学生先在微信群中表达自己的看法，教师快速地了解每一位学生的观点后，引导学生线上共同操作“几何画板”作图，更加有效地回应学生，营造积极互动的学习氛围；深刻认识反比例函数图象，理解双曲线的本质，揭露双曲线与反比例函数的关系．

3 过程实录

在高中数学线上教学中，将几何画板软件作图融入到线上互动环节，对激发学生的操作热情，引导学生深度地体验数学知识并培养学生的实践能力，提升对比较抽象的高中数学知识的深入理解是极其有益的．高中解析几何教学，要求学生会用坐标法解决几何问题，如果辅以准确的几何作图，将加深学生对问题的理解．为此，创设一个求曲线方程的引例，得到双曲线与反比例函数的关系.在教师的引导下，师生共同操作几何画板作图，创设反比例函数图象的作图情境，分析双曲线的性质，再认识反比例函数图象，解析双曲线的本质．

3.1 问题情境

“台上十分钟，台下十年功”．在教师的教学设计中应以文档形式以及插入公式详尽全面地准备问题情境．首先展示引例．通过观察、思考情境问题，微信群里有学生发现题目中蕴含着双曲线定义．

生：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹可能是双曲线，题目中的两个定点A和B不在坐标轴上，而在直线y=x上，且关于直线y=-x对称．

教师引导学生用直译法,按求动点的轨迹方程的基本步骤解题，每一步骤的结果先由学生得到，讨论确定后，再由教师按步骤将结论粘贴在几何画板上．

生：计算可要细心啊！

微信群中学生表示准确计算的重要性．

师：同学们，解析过程运算严密，体现了求轨迹方程的纯粹性与完备性，这是数学的推理美．重要的是同学们发现结论为二次曲线的轨迹方程具有对称性，变形后恰为反比例函数的标准形式．

学生纷纷表达自己的看法，有现场比较几何画板绘制图象与尺规作图的意愿．

3.2 具体情境

生：参数k取一个正数，是不是可以简化问题？可以画出已知反比例的函数图象．

师：同学们可根据离心率的概念计算引例中双曲线的离心率．

3.3 作图情境

图1

探索 打开几何画板，建立平面直角坐标系，描绘点A(-1,-1)，B(1,1)；以点B为圆心，以定长2为半径作圆.由于要在这个圆上任取一个主动点，把这个圆称为“控制圆”．在控制圆上任意选取一点D．作直线DA的中垂线l与直线DB相交于点C．同时选取D,C两点，构造轨迹(图1)．根据双曲线的定义，由中垂线的对称性质，得|CA-CB|=CD-CB=BD=2．

3.4 动态情境

生：双曲线与其渐近线越来越近，永不相交，怎么理解？

图2

探析 当点C在双曲线第一象限的一支上时，鼠标拖动点D在控制圆上逆时针方向匀速旋转，发现点C在双曲线上加速在向右移动，这时候等腰△ADC底边AD上的高GC越来越大，当直线DB接近平行于x轴时，等腰△ADC的两条腰接近于平行，点C与x轴正方向无限逼近．超越平行，等腰△ADC的顶点C出现在第二象限，这时若顺时针微调控制圆上的点D，发现点C与x轴负方向无限逼近(图2)．

生：这时切线l几乎与x轴平行，但又不能平行．

图3

图4

3.5 光学性质

问题反比例函数图象的光学性质．

探析 拖动点D在控制圆周上旋转，切线l伴随切点C紧贴着反比例函数图象运动.观察发现，从双曲线焦点B出发的光线，经过双曲线反射，本质是由双曲线的切线反射，就好像是从焦点A射出的一样(图4)．

师：等腰△ACD的顶角∠ACD的角平分线l即为过点C的切线，又根据对顶角的性质，得到入射角等于反射角的光学性质．

4 结语

高三在线教学辅学双曲线时，在教师的引导下，师生共同操作几何画板软件，探索图形、问题共答，将数学推理与几何画板构图思维有机融合，揭示双曲线与反比例函数的关系，让情境图形动起来，营造积极的互动体验，提升了双曲线学习效果．