2020年高考江苏省数学卷试题及参考答案

数学Ⅰ试题

参考公式：

柱体的体积V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.

.1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={0，2，}，则A∩B=.

2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2-i)的实部是.

3.已知一组数据4，2a，3-a，5，6的平均数为4，则a的值是.

4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.

(第5题)

5.右图是一个算法流程图.若输出y的值为-2，则输入x的值是.

(第9题)

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.

11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，则d+q的值是.

12.已知5x2y2+y4=1(x，y∈R)，则x2+y2的最小值是.

(第13题)

二、解答题:本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(第15题)

15.(本小题满分14分)

在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.

(1)求证:EF∥平面AB1C1；

(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1；

(第16题)

16.(本小题满分14分)

(1)求sinC的值；

17.(本小题满分14分)

(1)求桥AB的长度；

(第17题)

18.(本小题满分16分)

(第18题)

(1)求△AF1F2的周长；

(3)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．

19.(本小题满分16分)

已知关于x的函数y=f(x)，y=g(x)与h(x)=kx+b(k，b∈R)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)．

(1)若f(x)=x2+2x，g(x)=-x2+2x，D=(-∞，+∞)，求h(x)的表达式；

(2)若f(x)=x2-x+1，g(x)=klnx，h(x)=kx-k，D=(0，+∞)，求k的取值范围；

20.(本小题满分16分)

(1)若等差数列{an}是“λ～1”数列，求入的值；

(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{an为“λ～3”数列，且an≥0？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

数学Ⅱ(附加题)

A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)

(1)求实数a，b的值；(2)求矩阵M的逆矩阵M-1

B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

(1)求P1，P2的值；(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标．

C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)

设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4.

(第22题)

22.(本小题满分10分)

(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；

23.(本小题满分10分)

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．

(1)求P1，q1和P2，92；

(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和X的数学期望E(Xn)(用n表示)

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.

二、解答题

15.本小题主要考查直线与直线直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力满分14分.

证明:(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1．

(第15题)

又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.

(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.

又AB⊥AC，B1⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC=C，所以AB⊥平面AB1C.

又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1．

(第16题)

16.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力满分14分．

17.本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分14分．

解:(1)设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．

所以AB=O′A+O′B=80+40=120(米).

(2)以O为原点，OOO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)．

(第17题)

因为CE=80，所以O′C=80-x.

x(0,20)20(20,+40)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗

所以当x=20时，f(x)取得最小值．

答:(1)桥AB的长度为120米；

(2)当O′E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．

18.本小题主要考查直线方程、椭圆方程、圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力分析问题能力和运算求解能力满分16分．

(第18题)

所以△AF1F2的周长为2a+2c=6.

(2)椭圆E的右准线为x=4．

设P(x，0)，Q(4，y)，

设M(x，y)，因为S2=3S1，所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的3倍．

则3x-4y+12=0或3x-4y-6=0．

19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分16分．

解:(1)由条件f(x)≥h(x)≥g(x)，得x2+2x≥kx+b≥-x2+2x，取x=0，得0≥b≥0，所以b=0.

由x2+2x≥kx，得x2+(2-k)x≥0，此式对一切x∈(-∞，+∞)恒成立，所以(2-k)2≤0，则k=2，此时2x≥-x2+2x恒成立，所以h(x)=2x．

(2)h(x)-g(x)=k(x-1-lnx)，x∈(0，+∞)．

x(0,1)1(1,+∞)u'(x)-0+u(x)↘极小值↗

所以u(x)min=u(1)=0.则x-1≥lnx恒成立，

所以当且仅当k≥0时，h(x)≥g(x)恒成立．

另一方面，f(x)≥h(x)恒成立，即x2-x+1≥kx-k恒成立，

也即x2-(1+k)x+1+k≥0恒成立．

所以(1+k)2-4(1+k)≤0，解得-1≤k≤3.

因此，k的取值范围是0≤k≤3．

令Δ=(t3-t)2-(3t4-2t2-8)，则Δ=t6-5t4+3t2+8.

则φ′(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立，

②当0

f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.

设υ′(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1，

υ′(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1)，

υ(0)=-1，υ(1)=0，则当0

(或证:υ(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0).

则f(-1)-h(-1)<0，因此-1∉(m，n).

20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分．

解:(1)因为等差数列{an}是“λ～1”数列，则Sn+1-Sn=λan+1，即an+1=λan+1，

也即(λ-1)an+1=0，此式对一切正整数n均成立．

若λ≠1，则an+1=0恒成立，故a3-a2=0，而a2-a1=-1，

这与{an}是等差数列矛盾．

所以λ=1.(此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列)

所以数列{Sn}是公比为4的等比数列．

(3)设各项非负的数列{an}(n∈N*)为“λ～3”数列，

①若λ≤0或λ=1，则(＊)只有一解为cn=1，即符合条件的数列{an}只有一个.(此数列为1，0，0，0，…)

即符合条件的数列{an}只有一个．(此数列为1，0，0，0，…)

由于数列{Sn}从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{Sn}有无数多个，则对应的{an}有无数多个．

综上所述，能存在三个各项非负的数列{an}为“λ～3”数列，入的取值范围是0<λ<1．

数学Ⅱ(附加题)参考答案

21.【选做题】

A. [选修4-2：矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识考查运算求解能力满分10分．

B.[选修4-4:坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10分．

C.[选修4-5:不等式选讲]

本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分10分．

22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力满分10分.

解:(1)连结OC，因为CB=CD，O为BD中点，所以CO⊥BD．

又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC.

所以B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2).

因为E为AC的中点，所以E(0，1，1).

(第22题)

设n1=(x1，y1，z1)为平面DEF的一个法向量，

取x1=2，得y1=-7，z1=5，所以n1=(2，-7，5).

23.【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力满分10分.

(2)当n≥2时，

①

Xn的概率分布

xn012p1-pn-qnqnpn