齐次化联立方程，简化圆锥曲线解题运算

赵立春 (江苏省南京市宁海中学 210024)

众所周知，圆锥曲线问题是高考数学的一个重要考点，更是由于其对学生计算能力的考查尤其突出而成为难点．在解决此类大题的过程中，学生往往思路特别清晰，但却在运算上耗费大量时间，陷入算不出来、算不下去的窘境．

事实上，将直线方程与圆锥曲线方程联立后，利用“1”的代换实现齐次化，顺理成章地将联立后的方程转化为一元二次方程，利用一元二次方程的两根关系，可化简解题过程，避免繁琐运算，提高解题正确率．

1 知识铺垫

问题 如何用平面中的点P(a,b)来设直线方程？

2 考题探究

(1)求椭圆C的方程．

(2)设椭圆C的左顶点为A，记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.

①若m=0，求k1·k2的值；

(2)利用定点A(-2,0)，直线l的方程可设为λ(x+2)+μy=1．

点评独特巧妙之处在于齐次化联立一箭双雕，①②两问顺着同一条路径，同时解决．

3 方法应用

由例1、例2的解题过程发现，齐次化联立的适用范围在于：

(1)椭圆上有定点P和动弦AB；

类似地，齐次化联立也适用于双曲线和抛物线问题．

故可得直线l的方程为8x+y-24=0.

例4已知抛物线C:y2=4x，过点M(1,2)作C的两条弦MA,MB，设MA,MB的斜率分别为k1,k2，当k1,k2变化且满足k1+k2=-1时，试问：直线AB是否过定点？若是，求出该点的坐标.

点评由以上解题过程，齐次化联立的一般步骤可概括如下：

(1)题型识别.

①有心二次曲线上出现定点和动弦；

(2)利用定点重新设出直线l和曲线的方程.

(3)联立之后利用“1”的代换实现齐次化，从而将问题转化成一元二次方程根与系数的关系来解决．

4 拓展延伸

问题 如果定点不在二次曲线上，是否也可以用此法解决呢？答案是肯定的．

图1

(1)求椭圆C的方程．

(2)如图1,直线l与椭圆C交与不同的两点A,B(都在x轴上方)，且∠OFA+∠OFB=180°．

①当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；

②是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

下面用齐次化联立处理第②问．

利用F(-1,0)这个定点，l的方程可设为m(x+1)+ny=1(*).

将(*)式中的“1”代入(** )，得

由x+1≠0，则两边除以(x+1)2,得

1°若n=0，代入(*)式得m(x+1)=1，若要恒过定点，则x=-1，此时等式不成立，舍去；

2°若m=-1，代入(*)式得-(x+ 1) +ny= 1，恒过定点(-2,0)．

综上得，直线l恒过定点(-2,0)．

著名的数学家和教育家波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就意味着善于解题.”提高学生数学思维能力的重要途径之一是解题，而教师要实现这一目标就必须进行解题教学研究．本文在解析几何题海中分析出齐次化联立模型，让学生学会选择简单高效的方法，间接地为学生争取宝贵的时间，训练他们良好的思维习惯，继而让学生能仿而娴熟、熟而有悟、悟而生巧、巧而创新，从而在达到解决一类问题的同时，实现学生的自我完善及综合能力的提高.