从基本量出发：一线串通高考试题与竞赛试题

束文清 徐章韬 (华中师范大学数学与统计学学院 430079)

1 基本量及其作用

基本量就是若干个可以唯一确定一个数学问题的一组量，多一个没用，少一个不行，其中每一个问题的量称为该问题的一个基本量[1]．一个数学问题有一个或多个基本量，这些基本量彼此独立，但通过描述数学规律的方程或定义新的数学量的方程，基本量之间可以互相联系．

基本量是解决数学问题的出发点．从基本量出发，梳理数学问题中基本量之间的关系，有助于简化条件与问题之间的关系，使思考活动更具有指向性，为解题带来便捷性．因此，基本量思想广泛地渗透于数学解题中．

基本量是解决数学问题的切入点．解题时，基于题目的背景分析，选取合适的基本量，而后，再应用数学定义、定理、公式等对基本量之间的关系进行分析和推导，得到若干个由基本量表示的非基本量(导出量)，将问题转变为对基本量与非基本量及其相互关系的研究．这是解决数学问题的基本方法．

当选择不同的基本量作为解题切入点时，解决问题的方法和效果也会有所差别．但是不论采取何种解法，只要在解题中抓住“基本”，即相信在复杂的情境中存在着基本的东西，发现并运用这个基本的东西，问题就会得以解决[2]．

2 从基本量出发，试解高考题与竞赛压轴题

平面几何的基本量是长度和角度．在解平面几何题中，常常结合题目背景选用长度或角度作为基本量，应用相关的定义、定理、公式来表示问题中的其他非基本量(导出量)，寻找相互关系，从而实现了平面几何问题的代数化．

从基本量出发，不仅是高考数学题的基本解题思路，也是解答竞赛数学题行之有效的方法．以下，举2018年全国高考理科数学卷第19题和2018年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)压轴题第11题为例，进行分析探讨．

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程．

(2)设O为坐标原点，证明∠OMA=∠OMB．

解(1)由题易知，右焦点F的坐标为(1,0)，故直线l的方程为x=1．

(2)解法1 从基本量“角度”出发

当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°．

当l与x轴垂直时，OM为AB的中垂线，故∠OMA=∠OMB.

故MA,MB的倾斜角互补，∠OMA=∠OMB．

解法2 从基本量“长度”(距离)出发

当l与x轴垂直时，OM为AB的中垂线，故∠OMA=∠OMB.

由直角三角形的全等证明知，△OMA≌△OMB，故∠OMA=∠OMB．

反思本题分为两个小题．第一小题根据“直线与轴垂直”这一条件，求出点A可能的坐标，进而得到直线方程．第二小题要证∠OMA=∠OMB，从基本量“角度”出发，即证OM为∠AOB的平分线．由于直线OM与x轴重合的特殊性，题中存在直线l与x轴的多种位置情况，需要分类讨论．对于一般情况，从角平分线的基本性质出发，不难发现∠AOB的两条外边所在的直线倾斜角互补，进而得到斜率和为0的推论，也就找到了几何问题代数化的桥梁.通过联立方程，运用韦达定理，验证了推论．从基本量“长度”(距离)出发，利用点F到直线MA,MB的距离相等，得到△OMA≌△OMB，进而有全等三角形对应角相等．

例2(2018年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)压轴题第11题)在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y2=4x的过点F(1,0)的弦，△AOB的外接圆交抛物线于点P(不同于点O,A,B)．若PF平分∠APB，求PF的所有可能值．

解法1 从基本量“角度”出发

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，△AOB的外接圆方程为C1:x2+y2+mx+ny=0．令AB的解析式为x=ky+1，由题意知A，B均在抛物线和圆上，联立方程得y2-4ky-4=0，(k2+ 1)y2+(2k+mk+n)y+(1+m)=0．

进一步得y4-(16k2+4)y2-16ky=y(y2-4ky-4)(y+4k)=0，从而P(4k2,-4k).

若k=0，则点P与原点重合，PF=1(舍)．

反思解法1从基本量“角度”出发，在无法直接选取具体基本量的情况下，提前构建各几何要素的关系，由条件“PF平分∠APB”，得到PA，PB，PF与y轴正向夹角α，θ，β的相互关系，列出等式β-θ=θ-α．进而思考，用什么样的基本量作为表征工具，采取什么方法刻画α，θ，β？解析几何中几何要素及相互关系，往往具有多元的外部表征形式．虽已假设点A，B的坐标，但如果采用两点式表示AB函数则不够典型，也无法体现AB过抛物线焦点这一重要特征．于是采用点斜式，设AB的解析式为x=ky+1，通过分析和甄别，确定具体的基本量，即为AB的斜率k,利用题中抛物线，圆与过焦点弦的位置关系，得到用斜率k表示的点P坐标及α，θ，β的正切值,带入等式求解得出答案．

解法2 从基本量“长度”(距离)出发

图1

反思解法2从距离出发，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”构建等式，易知点F到PA，PB的距离相等．若采用点斜式设出直线PA，PB的表达式，四个未知数会导致联合直线方程与抛物线及圆的表达式得到的方程组较为复杂．因此，采用参数式的方法设立坐标点A，B，P的坐标，进而求得yAB，yAP，再带入点到直线的距离公式，问题也就迎刃而解．

解法3 从基本量“长度”(距离)出发

反思解法3与解法2均抓住“长度”(距离)这一基本量，但二者用基本量表示其他几何要素和实现几何问题代数化的方式有所差别：前者从角平分线的定义出发，属于高中数学知识范畴；后者以角平分线的性质定理为切入点，构造了不同的非基本量和关系式，所用知识属竞赛范畴．

3 高中数学教学中，应注重学生基本量思想的培养

从基本出发，是高考数学和竞赛数学的命题要求．全国高考题例1与竞赛试题例2，命题和解题都紧扣“基本”．两题考查的内容均是解析几何背景下的过焦点弦与角平分线，属于《普通高中数学课程标准(2017年版)》有关平面几何部分要求掌握的基础知识，并未超纲．例1与例2的解题思路都以平面几何的基本量“角度”和“长度”作为切入点，应用角平分线的相关性质及方程根与系数的关系解决问题．

从基本量出发，是从基本出发思考问题的一种体现.本文例1与例2虽然难度有别，但考查学生应用数学基本量解决数学问题却是一致的．高考试题题例1设两小问，第一问对第二问给予特殊情况的暗示，且点M位置特殊，减少了推理和运算要求，降低了解题难度．与竞赛数学相比，高考数学强调通性通法，应用基本量思想解决高考数学问题是“高考数学通性通法”应有之意．竞赛试题例2的条件中各几何要素关系复杂，比高考题难度大，所考查的基本量思想却与高中数学课程目标一脉相承，都是“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识，基本技能，基本思想，基本活动经验”．

从基本量出发，在高中数学教学活动中不可或缺．无论高考数学还是竞赛数学，都要求高中数学教学活动中应该加强学生基本量思想的养成，注重学生应用基本量提高解题技能．为了培养基本量思想，学生应掌握牢固的基础知识，具有敏锐的基本量意识，提高恰当选取基本量的技巧，具备借助数学语言用基本量推导非基本量的能力．应用基本量提高解题技能，要求学生提高分析数学问题中基本量及其关系的技能，提高选取合适的基本量作为解题切入点的技能，提高通过基本量构建关系式的技能，提高基本应算技能．