以史为鉴创新教学

2020-09-02刘兆伟

教学月刊·小学数学 2020年8期

刘兆伟

一、起疑：提出设想

学校五年级数学组在进行“多边形的面积”单元（苏教版五年级上册）集体备课时，有教师提出这样的设想：可以先教学三角形的面积，再教学平行四边形和梯形的面积，其理由是多边形中最简单、最基本的是三角形，任意多边形都可以分割成若干个三角形，如果知道了三角形的面积公式，那么就可以通过分割求和的方式推导出平行四边形和梯形的面积公式。这样的想法在逻辑上是可行的，但问题是现行教材中都是先教学平行四边形的面积公式，再依据其推导出三角形的面积公式。能否跳过平行四边形的面积先教学三角形的面积呢？

二、慎思：可行性分析

数学史对于学生的数学学习有着重要的指导作用，学生学习数学知识的过程可以看作数学史的浓缩。以史为鉴，从数学史的角度对上述问题进行分析，能够让教师对一些问题获得更为透彻的理解。

史宁中教授在其所著的《数学思想概论（第2辑）》中提到：几何学是古埃及人发明的，因为实际需要，他们创造了一套有效的计算土地面积的方法，其中包括三角形、长方形和梯形的面积公式，还包括圆面积的近似公式，这些公式被记录在公元前1700年左右的莱茵德纸草书上。古埃及人用来计算长方形面积的方法为“长乘宽”，古埃及人还知道，直角三角形的面积为长方形面积的一半。显然，古埃及人是依据长方形的面积计算方法得到直角三角形的面积计算方法的。

公元1世纪左右，我国第一部数学专著《九章算术》中也记载了三角形的面积计算方法，人教版教材和苏教版教材中（如图1）都以“你知道吗”栏目向学生介绍了这种计算方法。学生从“你知道吗”中了解我国古代数学家是通过“以盈补虚”的方法将三角形等积转化成长方形，并得到三角形的面积计算方法“半广以乘正从”。

公元5世纪，古印度的著名数学家阿耶波多在其所著的《阿里亚哈塔历书》一书中记载了一般三角形的面积公式。在该书“算术篇”第6回中，阿耶波多准确地给出了一般三角形的面积公式“对于一个三角形，底的一半与高的乘积即为其面积”，显然这个公式也是依据长方形的面积公式推导而来的。

从数学史可以看到，古人是依据长方形的面积公式得到三角形的面积公式的，并不是依据平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式的，所以教师完全可以先教学三角形的面积。

三、明辨：价值叩问

通过上述分析，教师发现先教学三角形的面积公式是可行的。但有教师提出疑问：依据平行四边形的面积公式推导三角形的面积公式极其简单，学生很容易理解，而依据长方形的面积公式推导三角形的面积公式在思维上有一定的难度，学生学起来比较困难。放着简单的路不走，偏走一条困难的路，有价值吗？确实，没有价值的教学创新是没有必要的，因此需要对这两种不同教学思路的价值进行分析。

（一）“简单”未必简单

苏教版教材在“三角形的面积”一课中安排了两个例题，例4让学生计算三个放置于平行四边形中的三角形的面积（如图2），从中学生初步发现三角形的面积公式，例5则依据两个完全一样的三角形与拼成的平行四边形之间的关系推导并确定三角形的面积公式，其他版本教材中的教學思路与之大致相同。

如果仅从知识获得的角度来看，按照教材中的步骤进行教学确实简单、高效。但学生的数学学习不仅要获得知识、技能，更要在获得知识的过程中感悟数学思想方法、积累数学活动经验、发展思维能力。从这个角度来看，在依据平行四边形的面积公式推导三角形的面积公式的过程中，最为重要、最为关键的是学生怎么能够想到将三角形转化成平行四边形，怎样将三角形转化成平行四边形。教材中的处理方式是直接将最为关键的方法呈现给学生，这样学生完成剩下的探究任务当然不存在任何困难，但在这样的探究过程中学生充当的只是操作工的角色，难以获得深刻的感悟，并发展思维能力。

如果不给学生提供关键方法，会怎样呢？于是，教师选择了一个班进行调研。先在这个班教学平行四边形的面积，随后直接出示一个三角形，让学生探寻其面积。结果，学生能够想到的方法是将三角形沿高剪成两个三角形，并打算将其拼成长方形，这样的想法源自将平行四边形转化成长方形时获得的经验。在探究未果后，教师提醒学生想想其他方法，但学生还是千方百计地想要将三角形等积转化成长方形，甚至还有学生发现沿高剪拼的方法能够将等腰三角形等积转化成长方形，就是没有学生想到用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。

可见，如果教材不做安排，想要让学生自发地想到用两个完全一样的三角形去拼成一个平行四边形是非常困难的，“简单”未必简单。

（二）困难，但有价值

无论是先学习平行四边形的面积，还是先学习三角形的面积，本单元第一课时必然承载着让学生感悟转化思想的教学目标。如果选择困难的方式，让学生先学习三角形的面积，有没有独特的价值呢？

1.统一转化方法，完善认知结构

如果按照教材中的顺序进行教学，学生在学完本单元后，头脑中留下的知识结构如图3所示，即多边形的面积公式中最先学习的是长方形的面积，正方形、平行四边形的面积公式与长方形的面积公式直接相关，而三角形、梯形的面积公式则与长方形的面积公式间接相关。虽然在学习平行四边形、三角形、梯形的面积公式时都运用了转化的方法，但它们转化的方式是不一样的，平行四边形转化成长方形是等积转化，而三角形、梯形转化成平行四边形是加倍转化。

当先教学三角形的面积，让学生感悟“以盈补虚”的思想方法后，再让学生学习平行四边形、梯形的面积时，他们完全能通过“以盈补虚”的方法将平行四边形和梯形等积转化成长方形。这样不仅在转化方法上统一了，而且学生还可以对多边形的面积形成新的知识结构图（如图4）。在这个知识结构图中，长方形的面积公式处于中心位置，其他四个图形的面积公式都与长方形的面积公式直接相关，从而使面积公式教学紧扣度量的本质（度量的本质是用单位去测量）。从中学生还能感悟到在探寻图形的面积时，对于长方形和正方形这样“方”的图形可以用面积单位直接度量，对于其他“不方”的图形可将其“化斜为方”后，再用面积单位去度量，同时，学生在后续学习圆的面积时自然会想到“化圆为方”，从而统一了转化方法，完善了认知结构。

4.通过完全归纳，得到一般三角形的面积公式

师：前面我们分别研究了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，并得到了它们的面积计算公式，现在你能计算一个三角形的面积吗？

大家通过研究得到了三种不同的三角形面积公式，这三个公式之间有什么联系呢？

交流中明确：依据积的变化规律，两个数相乘，不管哪个因数除以2，其积必然也除以2，所以这三个公式的计算结果是一样的，我们一般用S=a×h÷2来计算（如图11）。

师：回顾一下研究的过程，我们是怎么得到三角形的面积公式的？

小结：我们先研究了一个方格图中的直角三角的面积，在研究中我们初步感悟到可以将一个直角三角形转化成长方形并算出它的面积。接着，我们将转化的方法运用到一般直角三角形的面积研究之中，并得到了直角三角形的面积公式，然后我们将这个公式类推到锐角三角形、钝角三角形之中，最后归纳出了三角形的面积公式。

（三）巩固练习，运用公式（略）

（四）回顾反思，拓展延伸

师：通过今天的学习，你有哪些体会？（生答略）

师：今天，我们依据长方形的面积公式得到了三角形的面积公式。想知道古人是怎么得到三角形的面积公式的吗？请阅读书中的“你知道吗”，读完后说说你的体会。

交流中明确：我们研究三角形面积的思路与古人的思路是一致的，其中第二、第三种方法就是“以盈补虚”。

结合图形与公式S=a÷2×h让学生理解“以盈补虚”和“半广以乘正从”的意义（如图12）。