“理解算理”的测试维度与水平分析

王来波 王敏烽 郑娟娟

【摘   要】理解算理是运算能力的重要表现特征。“理解算理”测评可以从算理表述的正确性、算理表征的层次性、算理迁移的通用性三个维度展开，并对其进行水平划分与分析。通过区域测评发现，“20以内进位加法”在理解算理维度上，呈现算理表征层次性不强、算理迁移通用性水平不高等特点。

【关键词】理解算理;水平分析;20以内进位加法

一、算理的含义和理解表现形式

算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。理解算理是运算能力的重要表现特征。算理的表现形式主要有：运算的意义、十进制与位值制思想、运算的性质与定律、运算之间的互逆关系。

“20以内进位加法”重点掌握“凑十法”，算理的表现形式是“运算的意义”“十进制”“运算的性质”。以“9+4”为例，运算的意义是“要把9和4合并起来”;十进制是“拆分凑十的过程”;运算的性质是“依据加法结合律先凑十，再十加几”。因为凑十法是后续整数进位加法的主要算法，其背后的算理也是后续进位加法的主要算理。所以，“20以内进位加法”是加法算理的一节种子课。

二、“理解算理”的测试维度与样例说明

对“理解算理”的检测，主要通过各种题型的测试暴露学生算法背后思考的过程，并进行算理理解的水平划分。“理解算理”的测试，可以围绕 “算理表述的正确性”“算理表征的层次性”“算理迁移的通用性”三个维度展开。

（一）“算理表述的正确性”检测样例与水平划分

算理表述的正确性主要反映为图式的一致性，通过让学生根据算法来选择图示，检测算理与算法的一致性。

“20以内进位加法”中的算法主要依托框架式来呈现，展现算法的过程;而算理主要依托直观图示或文字来解释算法背后的道理。如“8+9”的口算，可以有两种拆分凑十的方法，学生要找到与此对应的图示，理解“凑十法”背后的“十进制”（如表1）。

（二）“算理表征的层次性”检测样例与水平划分

算理表征的层次性主要采用不同的物化材料来表征算理的检测方式，如文字、符号、图形等，不同的表征方式反映出对算理的理解水平。

如，“9+4”的算理表征检测，可以让学生根据“9+4”算的过程，画一画、圈一圈，把想法表示出来;也可以让学生根据算的局部过程，还原算式。通过顺向、逆向的试题检测，完成“凑十法”背后算理理解水平的划分（如表2）。

（三）“算理迁移的通用性”检测样例与水平划分

算理迁移的通用性，主要采用未学先试的检测方式，考查学生能否将同一算理自主迁移到后续学习内容中，从而反映学生对算理的理解程度。

“20以内进位加法”后续学习内容是“两位数加一位数的进位加法”，共通的算理是“十进制”。可以仿照“9+4”的顺向测试题进行编制，如“根据19+4算的过程，画一画、圈一圈，把想法表示出来”，完成算理迁移通用性水平的考查（如表3）。

会算的同学，请你把19+4算的过程写一写、画一画。][写一写][画一画] 空着没画或个数画错 实物图 点子图、小棒图，体现十进制位值制 ]

三、“20以内进位加法”理解算理水平区域调查分析

“20以内进位加法”理解算理水平区域测查，选取城区小学、乡镇小学和农村完小各5所，每所学校2个班级，共计1200名学生参加测查。检测维度包括算理表述的正确性、顺向和逆向的算理表征的层次性、算理迁移的通用性，每个维度划分为三个水平，对每个群体的每个水平比例进行统计分析，具体数据如表4所示。

从表4可以发现，区域“20以内进位加法”理解算理能力水平呈现三个特点。一是算理表征表述的正确性总体水平较高，城乡差异不大;二是算理表征的层次性总体水平偏低，顺向表征能力略高于逆向表征能力;三是算理迁移的通用性明显受算理表征的层次性的影响，水平等级的人数分布和算理表征的层次性（顺向）非常接近。

（一）算理表征的层次性不明显，材料缺乏结构性

算理表征物化手段统计显示，有60%左右的学生选用实物图，如苹果、花朵等;有30%左右的学生选用点子图;只有5%左右的学生选用小棒图。另外，还有5%的学生用文字、写算式等。其中有一所农村完小全班都画了苹果图。

点子图、小棒图和实物图都属于表征算理的物化材料。物化材料主要分为齐性材料和结构性材料，像点子图、小棒圖和实物图都属于齐性材料，计数器、数位筒等属于结构性材料。测查数据说明，“20以内进位加法”教学中大量使用的是齐性材料，表征方式较为单一，教师应有意识渗透结构性材料，让学生尽早感知十进制位值制。当然，算理表征除了层次性之外，还要做好顺向、逆向表征的融会贯通，以更好地理解算理。

（二）算理点状教学，导致算理迁移的通用性水平较低

“十进制位值制”是“20以内进位加法”非常重要的算理之一，基于这一算理，才有了凑十法。“9+4”表征算理的过程性，大部分学生的作品如图1、图2所示，画图只是点数出结果，或从运算意义的角度画出“9+4”的意义，没有体现十进制思想。正因为“20以内进位加法”的十进制思想教学的缺失，导致“19+4”算理表征的时候十进制思想也没有体现，学生只是画出算式的意义或排成一列点数出结果（如图3），很少有学生有“圈十”的过程。

在“20以内进位加法”的教学中，位值制思想虽然不是这节课的重点，但对后续学习有一定影响。教学中，只需借助直观图或计数器简单渗透即可。从学生的作品反映来看，多数教师缺乏整体思考，算理的点状教学是导致算理迁移的通用性水平低的主要原因。

总之，无论是教学，还是测评，都需要高度重视算理。通过“算理表述的正确性”“算理表征的层次性”和“算理迁移的通用性”三个维度的测评，可以让算理更加显性化，从而提升学生的运算能力。