于寻常之中发现不寻常——“任意角”的教学设计与反思

张志勇 (江苏省常州市第五中学 213000)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自四星级高中普通班，基础一般但已有一定的阅读表达和推理运算能力，并且基本掌握了GeoGebra的常见操作要领，能简单应用软件开展数学探究活动．

1.2 教材分析

“三角函数”是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修4)》第1章内容，“任意角”则是高中三角函数模块的第1课时．本节课的内容是任意角的概念，教与学的重点在于回答三个问题，即为什么引入任意角、如何进行概念推广、推广后的角怎样应用以嵌入到原有的认知结构中．首先，引入任意角是为了满足生活实际的需要，所以需要有大量超出学生对角的原有认知范围的生活实例(周而复始现象)的呈现；而作为章节起始课，有必要从三角函数的研究需要出发，居高临下地去思考角的推广的必要性.三角函数是描述客观世界周期性变化规律的重要数学模型，于是角的概念推广可视为三角函数研究的前奏(可类比指数幂的概念推广引入任意角)．其次，角的推广有旋转量与旋转方向两个维度，一方面改造角的静态定义为动态定义(旋转角)，形成量(数值大小)的突破；另一方面引进角的符号，区别旋转方向的差异给出正角、负角的概念.角的概念推广后，可适当点明“任意角”与原有“角”的关系(内在兼容一致性，解决“小角减大角”的矛盾冲突等)．再次，任意角的应用首先在于“数”与“形”的对应，而任意角的几何刻画离不开始边、终边和带箭头的螺旋线这三个要素，于是有必要把角放在同一个参照系下进行讨论(以直角坐标系为基准，引入象限角的概念，重点考察角的终边位置).这样，终边相同的角便是角的周期性变化规律的代数表示，用数量关系可表示为“终边相同的角相差360°的整倍数”．

综合上述分析，本节课拟采用的教学策略为：一是开展可视化教学，通过呈现丰富的典型实例，让学生积累足够的数学体验从而理解周而复始现象的变化规律，同时借助GeoGebra实验平台让学生在“动态旋转”中建构任意角的概念、理解终边相同的角的符号表达；二是重视问题引导，在思维“关节点”与“关键点”处驻足停留，对于为什么要推广角的概念、怎样将角放置于直角坐标系中研究等问题，通过问题串的方式不断追问，以引导并帮助学生构建和完善任意角的概念．

1.3 教学目标

(1) 经历完整的角的概念的推广过程，认识角的推广和引进象限角的必要性与合理性，结合具体情境提炼、归纳、发现任意角的概念，认识任意角在刻画周期现象中的作用．

(2)正确把握任意角的概念，从旋转量、方向等角度认识正角、负角、任意角的概念；会从数与形两个角度刻画任意角，能在坐标系中熟练地绘制角，并正确判断角的象限；熟悉化角技巧，能列举与已知角同终边的角并写出相应角的集合．

教学重点 任意角的概念推广及表示．

教学难点 终边相同的角的表示．

2 教学过程

2.1 创设情境，厘清思路

·周而复始现象解析

问题1数学源于生活.现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复的现象，如地球自转和公转带来的昼夜交替和四季变化、月亮的盈亏圆缺以及潮汐涨落，又如车轮旋转、单摆运动、电流变化等．面对生活中存在着的众多周而复始现象，怎样的数学模型可以用以刻画这种变化规律呢？

投影生活中周期性现象的动图实例(如图1，钟表时间变化、地球自转公转、行星运行轨迹等),并请学生列举日常生活中类似的周期现象，如年月的划分、摩天轮的转动、公交车的运行时刻表、跳水运动员的转体动作等；师生齐声朗读诗句(摘自湘教版教材)“东升西落照苍穹，影短影长角不同；昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣”，以感自然轮转之神奇、悟周期变换之规律．

图1

引领学生追踪动图中点与线的变化，突出“角”的刻画自然性，并开门见山地指出：“函数是刻画生活现象的最基本的数学模型，描述这种周期性变化规律，需要学习一类新的函数，即三角函数.”投影GeoGebra中研究三角函数的部分场景(图2)，由增减性和波峰波谷等简要分析图象中所反映出来的周期特性．

图2

设计意图图象的呈现不应仅停留于现象的描述，更重要的是要引导学生“看”到数学，即体现“用数学的眼光、视角发现问题”．图1可以将问题空间的表征聚焦到“角”的应用；图2的超前出示则可以让学生确信“三角函数是描述客观世界周期性变化规律的重要数学模型”(一目了然)，同时也为下阶段从函数研究视角思考角的概念推广作铺垫，因为函数要求定义域为R，而角的范围只在0°～360°，有冲突，也就有了推广的必要(图1、图2分别对应着生活表达的需要和数学研究的需要)．

·函数研究经历回顾

问题2三角函数是我们将要开启的新的学习旅程，出发之前要做“行程攻略”，研究三角函数也应该思考三个问题，即目前在哪里(已知)、将到哪儿去(目标)、中间经历怎样的步骤(路径).

温故而知新，在教师引领下学生回顾既有的函数学习经验：必修1中涉及的具体函数包括指数函数、对数函数和幂函数等；函数学习是从图象到性质，性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等；指数函数中还有分数指数幂，对数函数先学习对数运算；指数函数的定义域为R，所以要将指数幂扩充，从整数指数幂到分数指数幂，再到无理指数幂，最后得到实数指数幂．从中梳理出以下结论：

(1)函数的学习进程(基本范式)：概念推广→函数图象→函数性质→模型应用(图3)，概念推广往往是函数研究的开始(解决函数定义域问题)．

图3

(2)概念推广的一般要求：新概念兼容旧概念，解决数学中的冲突，运算性质基本不变．

设计意图梳理函数学习进程是想告诉学生“角的推广是三角函数研究的前奏”，将任意角纳入到函数研究的框架中进行思考.这虽然会多花费些时间但可以提升学生的归纳总结能力，也可避免学生在学习中因不知所以然而“摸着石头过河”的情况发生．同时，指数幂的概念推广是角的推广的先行组织者，从分数指数幂的推广中可获得类比推广角的直接经验．

2.2 类比探究，推广概念

· 角的知识回顾

问题3三角函数的研究要起步于角的概念推广，那么初中时是怎么定义角的呢？

图4

角的原有定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，角有顶点和两条边(图4)．角的范围为 0°～360°，有锐角、直角、钝角、平角、周角之分．

教师带领学生回顾角的原有定义并在黑板上画出图形，投影展示另一组动图实例(如图5，运动员跳水、旋转中的风力发电机、传动中的机械齿轮等)．

图5

设计意图知识回顾是让学生清楚地知道目前在哪里，动图展示是提示将到哪里去，消除两者之间的落差便是角的推广的基本任务.黑板板演作图同时为后继定义改进作准备．

·推广1：量突破

问题4生活中有很多场景，如体操跳水中“转体两周半”、分针走过2分钟秒针走过多少度等，原有角的范围仅限于0°～360°，对这些都难以区分，所以需要对“角”重新定义、加以扩容.如何重新定义“角”更加合理呢？

图6

教师用三角板跟踪图6中的动图，作旋转状以启发学生思考将“角”动起来；在原有构图中增加带箭头的螺旋线以对应旋转，并与学生共同讨论，将“边”区别修正为“始边”和“终边”．

定义改造1：一个角可以看做由平面内一条射线，绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；其中射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．

设计意图改造角的定义为旋转角(区分始边和终边，引进带箭头的螺旋线)可以破除360°的制约，从而不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程．教学中需要注意板书设计，在原图的基础上增加螺旋线这一新元素，可改造静态定义为动态定义；一方面体现“数学是清楚的、自然的、水到渠成的”，另一方面也展现概念推广的基本要义，即遵循基础、增加元素、适当扩容．

·推广2：引符号

问题5用扳手拧松和拧紧螺丝时，同样的转过450°，这样的两个角该如何加以区分？将瓶盖转动90°角，是旋紧了还是旋松了？

旋转有方向差异，教师启发学生，类比实数中的正数、负数，引进正角、负角来区分逆时针旋转与顺时针旋转；结合图7中的台风云图、水中漩涡图可以佐证“逆时针为正、顺时针为负”的约定俗成．

图7

定义改造2：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．带箭头的螺旋线既表示角的旋转量，也指明旋转方向．

设计意图数学概念的建立往往有一个不断深化完善的过程，将角的推广分解为两个步骤就是体现过程意识，在“慢”中求“悟”，让数学概念在“自然”中“生成”．为了有效刻画现实中的各种角，数学意义上的角不仅区分大小也要辨明方向，类比正数、负数的概念可构建正角、负角的概念.当然，规定逆时针方向旋转所成的角为正角主要是基于约定俗成(不需要过多解释)，而螺旋线的解读可以用图5适当强化．

·任意角的绘制

图8

教师在GeoGebra中演示任意角的绘制(如图8，突出螺旋线的方向和大小)，安排学生在纸上作出480°和-300°的角，同时交流角的具体画法并比较绘制角的大小．

设计意图理解任意角的关键是建立“数”与“形”的对应联系，“数”上容易把握，“形”上则需慢慢体会．安排学生作图的目的在于：一是角的作法中包含运算性质的简单应用，如480°=360°+120°=120°+360°对应加法交换律，而-300°=60°-360°=-360°+60°则体现小角减大角、减法化加法；二是大小比较(共始边、看终边、比大小)的过程中往往隐含着象限角的概念雏形，为下阶段的探究作铺垫．需要注意的是，这里缺少直角坐标系作参照，因此所作角不宜太复杂．

2.3 找寻基准，同化概念

问题6如图9，如何比较两个角α和β的大小？除了用量角器等工具度量外，还有什么方案？

学生通过讨论得到基本方案“移动α和β的始边使之重合，进而考察终边位置关系”．循着学生的思路，教师在GeoGebra中作相应操作，并改变两角的大小让学生在不同位置上判断(有意制造一些麻烦)，启发学生寻找坐标系为参照(如 图10，可以一劳永逸)．

问题7将角置于坐标系中后，便有了“统一标准”，能否结合坐标系对角加以恰当的分类？

定义改造3：以角的顶点为坐标原点、始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．

设计意图比较大小的活动设计让象限角的引进不再“突兀”，而且由此获得“化角”的直接经验，即α=α1+m·360°,β=β1+n·360°，其中m,n∈Z，α1,β1均介于0°～360°之间．一方面，将角放在直角坐标系中研究，就有了统一的“基准”，而判断角所在的象限，可以只管终边位置不计较旋转过程；另一方面，判断任意角α的象限可归结为判断基本角α1的象限，为后面同终边角的学习打好基础．

2.4 数形联通，学以致用

例1在平面直角坐标系中，分别作出下列各组角：(1)-120°, 600°；(2)-215°, 585°；(3)-390°, 1 050°．并判断角的象限．

在学生完成作图后，教师追问：各组角的终 边是否相同？如，由-390° = -30° - 360°, 1 050°= -30°+3×360°，可知-390°和1 050°的终边相同．引导学生列举其他与-30°同终边的角，如330°, 690°, 1 410°,从中概括出同终边角的共同特征，得出下列结论：

一般地，与角α同终边的角有无数个，构成集合{β|β=α+k·360°,k∈Z}．

设计意图让学生学会角的规范表示，尤其是螺旋线大小及方向的标注．作角的前提是化角，即将角表示成“α+k·360°”的形式，如600°=240°+360°=-120°+2×360°，1 050°=-30°+ 3×360°，为同终边角的学习作必要的样例准备．在学生作图的基础上，教师可在如图10所示的GeoGebra课件中给出标准图象(拖动滑动条或者在输入框中给定)，以作比对．

竞猜游戏(以小组为单位计算得分，部分优异小组胜出)：

(1) 一小组出题，给定一组任意角，如650°, -150°, 990°15′;其他小组抢答，找出0°到360°范围内与之终边相同的角．

(2) GeoGebra系统自动出题(选定难度系数，随机给出30°的整倍角)，结合图象判断大小(如图11，可勾选“查看答案”确定正误)．

图11

设计意图通过游戏形式让学生参与其中，活动(1)侧重“数”的化归，活动(2)指向“数”与“形”的关联．

2.5 归纳梳理，感悟任意

问题8通过本节课的学习，在知识内容、方法能力等方面，你有怎样的收获或体会？

对照板书内容，回顾学习过程，师生共同归纳出下列收获：

(1) 知识内容：基于数学研究和现象解释的需要，类比指数幂的推广将“角”扩容为“任意角”，涉及的重要概念包括任意角(正角，负角，零角)、象限角(终边所在的象限)、同终边角(构成集合{β|β=α+k·360°,k∈Z})等，基本路径如 图12所示．

图12

(2) 思想方法：①数形结合，从静态定义到动态旋转，“形”的变化带来“数”的突破(从0°～ 360°到-∞～+∞)；②分类讨论，象限角的分类，倍角半角所在象限的判断(例2)；③类比推理，从指数幂的推广到角的推广，从实数的正负到角的正负；④归纳提炼，在函数研究的一般过程的回顾中，明晰角的概念推广为三角函数研究的前奏．

师生共同拟就一段诗句——“任意角不任意：概念改进转无限，方向顺逆定负正；坐标基准看象限，终边相同成集合．”

3 回顾与反思

在多数教师眼里，任意角只是简单寻常内容，容易为学生所接受，考试要求不高，完全可以采用直接告诉或学生自学的寻常方式处理.然而这样的教学处理下学到的只是显性的、表面化的知识，深刻的思维方法却难以揭示，如为什么要推广角的概念、任意角与“周而复始”现象有着怎样的关联、任意角为何要放置于坐标系中研究.本节课通过不寻常的教学处理，帮助学生发现任意角的内在知识逻辑和思维逻辑；因为“简单内容”最主要的教育价值不在于知识是什么而在于以知识为载体，让学生体会、理解研究数学问题的思路与方法，体会数学知识是这样而不是那样的，其科学性、合理性在哪里，体会创造和建构数学知识的策略与方法．[1]

3.1 厘清逻辑关联，发现不寻常的基石

三角函数是描述周期性变化规律的数学模型，任意角是三角函数学习的前奏，这是知识本身的逻辑，因此不能撇开函数只言角，否则只是“牵着学生鼻子走”.更进一步地，任意角是一种概念推广，概念推广有其内在思维逻辑(可以不言明，但需渗透)，从指数幂的推广回顾中获得直接经验恰有必要，而类比联想、归纳提炼等正可蕴涵其中．于是创设情境提供先行组织者，将简单的告诉转化为学生内在的探究，便是本节课的教学逻辑思路．于寻常之中发现不寻常，需要准确把握教学中的知识逻辑和思维逻辑并据此确立教学逻辑，从而在教学活动中揭示出所教授知识的本质，实现知识教学的教育价值．[2]

3.2 开展可视化教学，发现不寻常的路径

数学是抽象、不可见的，通过可视化的手段可以让它变得具象、看得见.如螺旋线的理解是一个教学重点，借助图7可以认识到这是一种极其自然的表达，而图8的跟进更让大小和方向明明白白，事实上，“周而复始”正是在动态旋转中“深入人心”的．所谓可视化，就是将抽象的事物、过程转化为图形图象等形象化、看得见的呈现.应用丰富多样的视觉表征手段(图形、图象、动画等)和视觉认知辅助工具(思维导图、知识地图等)，以形象直观的方式呈现数学对象的本质属性、基本特征及数学对象间的关系网络，可以帮助学习者更好地理解数学、发现数学、建构数学．GeoGebra作为一款集几何作图、代数运算和数据处理于一体的动态数学学科软件，可以为我们带来更方便快捷的数学教学.图11对应的课件发布到网络(https://www.geogebra.org/m/v4qpnveh)后，学生可以随时随地使用任意终端开展实验探究．

3.3 主动智力参与，发现不寻常的关键

数学是玩概念的，让学生参与概念本质特征的概括过程，在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目，无疑是教学成功的关键．于是我们需要更好地“让”学生学，在知识回顾过程中领悟概念推广的一般方法，在问题引领中发现任意角的数量突破和符号引进，在大小比较中找寻引入象限角的价值意义，在游戏竞猜中实现数与形的联通表征.追求高水平的智力参与，离不开开放灵活的任务驱动和丰富递进的活动设计，而这些都取决于我们对数学的理解和对教学逻辑的把握．