以“实验+思辨”有效培育学生“四能”
——从一堂椭圆折纸课谈学生“四能”培养*
2020-09-02江苏省苏州中学215007
沈 浩 (江苏省苏州中学 215007)
1 课程背景与意图
《普通高中数学课程标准(2017年版)》在内容标准部分，将数学探究、数学建模与数学文化作为独立的部分呈现，阐述了各自的内涵、教育价值，并提出了要求，对如何实施给出了说明和建议．数学探究、数学建模作为一种新的学习方式引入高中数学课程，旨在为学生提供自主学习、探究学习的空间，使学生经历数学概念、结论产生的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，形成积极向上的情感、态度和价值观．[1]
苏教版教材中有一类“操作题”，为学生提供了动手操作的素材，为学生体验数学知识的创造过程提供了可能，并能极大地提高学生学习数学的兴趣，培养学生的动手能力、思考能力和创新能力．为了利用好这一课本资源，同时降低学生学习椭圆的门槛，这就要求我们在课堂教学中重视学生的动手操作和观察思考层面的训练，从而加深学生对数学概念内在本质的理解，提升课堂教学的效果．为了贯彻苏州市教育系统落实拔尖创新人才培养相关要求，尊重青少年身心发展规律，关注青少年发展的多样性、差异性，为各类具备拔尖创新潜质的青少年提供适切的教育，在此探索过程中笔者面向本校拔尖学生开设了本次公开课．
2 教学过程
本次探索实验课通过实验与猜想、验证与结论、理解与应用、拓展与思考、总结与反思这五个环节，让学生充分发展“四能”，围绕问题展开，不断解决原有问题并提出新问题，环环相扣，最终使学生真正掌握问题探究的基本方式．
·环节1：实验与猜想
师：准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点A，将纸片折起，使圆周过点A，然后将纸片展开，就得到一条折痕l(为了看清楚，可把直线l画出来，如图1)．这样继续折下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？大家两两分组配合完成．
图1 图2
师：当我们折叠时，是否圆周上每一点都可以与点A对应产生折痕呢？
生1：可以．
师：既然可以，想象一下得到的图形是否封闭？
生2：是封闭图形．
师：因此当我们折叠次数尽可能多，大家猜测所围成的封闭图形是什么呢？
生众：猜测是椭圆．
师：接下来通过计算机模拟得到比较稠密的折痕，大家直观感受一下图2所围成的轮廓以及折痕与曲线的位置关系．
设计意图在折纸实验观察轮廓线的过程中获得感性认识，在教师逐步追问后形成基本认识，从而猜测轮廓线为椭圆.正如张奠宙先生提出的，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性认识向理性认识飞跃，形成基本数学经验．[2]
·环节2：验证与结论
师：既然猜测轮廓线是椭圆，那么如何验证呢？
图3
生3：从图3中我猜测折痕应该与曲线相切，也是切线．
师：很好!请问如何说明折痕为切线，曲线为椭圆呢？
生4：椭圆的切线即为与椭圆有且仅有一个公共点的直线，故可以从这个角度入手，找寻切点．
师：很好！切点既在折痕上又在椭圆上，如何在图3中作出来？
生5：折痕就是AB线段的垂直平分线，连结OB与折痕的交点记为C，只需证两件事：(1)点C在椭圆上；(2)折痕与椭圆有且仅有一个公共点．
师：非常好！这两件事如何证明？
生5：由垂直平分线的性质有CO+CA=CO+CB=OB(半径)，且OA
师：漂亮！因此有了圆心O和点A后，圆周上的每一点对应了一条折痕，每条折痕对应了轮廓线上的一个点，这些点所构成的图形即为椭圆．我们通过验证得出了以下结论．
结论1：每条折痕上有且仅有一点在椭圆上，折痕即是切线．
师：接下来大家相互讨论，图中若把线段AC看成入射光线，反射面是折痕，反射光线是什么？
生众：反射光线是CO．
师：如何验证呢？
学生小组讨论．
图4
生6：如图4，由于∠1=∠2(中垂线性质)，∠1=∠3(对顶角)，则∠2=∠3，从而入射角等于反射角，即证明了椭圆的光学性质．
师：非常好，我们得到以下结论．
结论2：椭圆的光学性质,即从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆壁反射后，必经过椭圆的另一个焦点．
设计意图分析与解决问题，发挥学生学习主动性，师生合作分析问题，生生相互讨论问题，教师引领解决问题．教师要精心设计、创造问题情境，让学生通过自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果．[3]
·环节3：理解与应用
师：下面我们就来求椭圆的切线方程．
图5
师：通过之前的分析，大家想一想有哪些方法解决问题．
生8：(几何法)通过折纸实验解题．以F2为圆心、4为半径的圆的方程为(x-1)2+y2=16，与直线PF2的一个交点为B(1,4)，且点B与F1的中垂线即为所求切线．
师：很好！你是以F2为圆心，能否以F1为圆心求出切线呢？
师：有没有同学是从光学性质这个角度入手解题的呢？
师：集思广益，从多角度来审视同一个问题，能够使我们对问题的了解更加深刻，我们可以得出一般性结论．
师：例1是已知椭圆求切线，反过来是否可以已知切线求椭圆，我们来看接下来的问题．
例2已知以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆与直线x-2y+4=0有且仅有一个公共点，求椭圆的长轴长．
设计意图对于例题的探究，进一步强调“四能”，多角度切入问题，让学生选择更多解决问题的视角，突破思维定势，从容自如地应对各种新问题，成为善于思考、独具个性的学习者．[4]
·环节4：拓展与思考
图6
师：如图6，在纸上画一个圆O，在圆外任取一定点F，将纸片折起，使圆周通过F，然后展开纸片，得到一条折痕l(为了看清楚，可把直线l画出来).这样继续下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？
生13：类比猜测为“双曲线”，课后可以进一步严格证明．
设计意图再一次对新问题的探究，将“四能”培养延伸到课堂之外．教师通过不断地追问和点拨，形成一系列由易到难、由浅入深，而且具有一定深度的开放性问题．[5]
·环节5：总结与反思
这节折纸探索实验课，以培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力为目标，设置实验、验证、应用、思考四个环节，紧紧围绕折痕这一操作对象，环环相扣，不断提出新问题，使学生经历合理猜想、严谨证明、灵活运用、类比思考等思维过程，会用数学的眼光观察，构建数学模型；用数学语言描述客观事物，进行数学抽象；用多种方式理解数学对象，进行数学运算(图7)．
图7
设计意图教师引导总结，既落实在知识层面，又提升到能力层面，在不断重复中使“四能”得到了升华．
3 教学反思
本次公开课通过实验与猜想、验证与结论、理解与应用、拓展与思考、总结与反思这五个环节，培养学生的“四能”，即发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力．课堂五环节应环环相扣，不断围绕“四能”展开．其中在实验与猜想环节培养学生发现并提出问题的能力，在验证与结论环节分析并解决问题，同时在理解与应用环节再一次提出新问题并加以解决，加深印象.而拓展与思考环节让学生再次体验如何发现问题的过程，将问题从课堂延伸到课外，使学生真正掌握问题探究的基本方式．以下是对发现和提出问题、分析和解决问题时的两点反思．
(1)在发现和提出问题时，以教师的高度引领学生的探究
过去都说，要给学生一碗水，教师要有一桶水，这说明知识储备量要比学生大.随着新课程的推进，学生探究欲的生长，教师可能要成为自来水，能源源不断地发展与思考．本课选材于苏教版选修2-1第2章的一道习题，也就是让学生通过动手做，发现轮廓线即为椭圆．这种观察是感性的，并非理性的，不能成为一节数学课的内容，至少得有点数学逻辑的味道．折纸形成椭圆涉及的问题在于折痕与切线的关系，本质上要来研究两者的一致性质，即从数学逻辑来讲必须说明圆上的每条折痕都是椭圆的切线，反过来椭圆在每一点处的切线都可以是折痕，这和在曲线与方程中所提到的纯粹性和完备性是一致的．课堂是有空间与时间的限制，所以很多问题不能也不便跟学生讨论，虽然课堂上不需要讨论，但是教师还是要思考清楚，这样才有底气站在课堂上．
(2)在分析和解决问题时，用操作的感性推进数学的理性
在学习过程中，数学的直觉是相当重要的，但严谨的推理更是不可或缺的．如在例1中涉及到的如何求椭圆上某点处切线的问题，事实上可以通过类比圆上某点处切线方程，从而看出椭圆的切线方程，但这样的处理逻辑上是不严密的，所以采用直线与椭圆联立方程组，消元得到二次方程，计算判别式Δ=0，求得切线方程，这也紧扣了解析几何的灵魂.当然在课堂上还出现了其他的一些计算方法，例如寻找焦点与圆上点为端点的线段的中垂线、用椭圆的光学性质中切线的法线就是角平分线、采用角平分线定理加以解决，这些都是十分严密的代数运算，体现了数学运算的核心素养．
