借助问题驱动 促进素养提升——以高三专题复习“动态空间几何中的最值问题”为例

赖忠华 (浙江省龙游县教师进修学校 324400)

徐丽峰 (浙江省江山中学 324100)

美国数学家哈尔莫斯曾说：“问题是数学的心脏．”数学的研究与发展都是以问题为中心的.新课改强调问题在学习中的重要性，主张通过问题来学习，把问题作为学习的起点和动力贯穿在整个学习过程之中，并通过学习来生成问题、深化问题，把学习看成是发现、提出、分析和解决问题的不间断过程．“变式教学”是我国数学教育的重要特色之一，它通过不同的角度、不同侧面、不同背景，从多个方面变更所提供的数学对象的某些内涵以及数学问题的呈现形式，使数学的非本质特征时隐时现而本质特征保持不变的教学形式[1]．尽管数学题型千变万化，但其都有深层的“根”存在着，通过寻找“题根”与变式，进而结成“题网”即问题链[2]，用此精心设计的“题网”式问题链驱动知识的建构，探究、促进认知结构的完善，对激发学生的求知欲和潜能，提高课堂效率，培养和落实学生的数学核心素养，能起到很好的效果．高三备考复习是中学数学教学的最后阶段，也是对中学数学知识的高度概括总结和提炼拔高阶段，教师如何通过有效“题网”式问题链，让学生在解决问题过程中对知识进行组织、整理、升华显得尤为重要．本文以高三专题复习课“动态空间几何中的最值问题”为例，做部分尝试并交流教学体会，希望能给广大读者以启发．

1 教学过程简述

1.1 问解与提炼

图1

图2 图3

设计意图通过人教A版选修2-1中的一道习题引入，能降低思维起点，充分调动学生积极参与课堂．通过坐标法和几何法两个角度构造函数模型解决最值问题，帮助学生归纳、总结、提炼动态空间几何中的最值问题的解题策略之一，即引入参数(变量)构造函数，将问题转化为求函数的最值问题，提高学生的直观想象能力和数学建模能力．

变式1(2011年辽宁赛区预赛第6题)在如图4的试验装置中，正方形框架边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，使得MN∥平面CBE，求MN的最小值．

图4 图5

分析 由已知条件知AB⊥CB，AB⊥BE，所以AB⊥平面CBE．因为MN//平面CBE，故AB⊥MN．如图5所示，过M作MP⊥AB于点P，连结NP，则AB⊥平面MPN，所以AB⊥NP． 过M作MQ⊥BC于Q，因为△MQC，△BPN都是等腰直角三角形，且MQ=BP，所以△MQC≌△BPN，从而CM=BN，即由MN∥平面CBE可以推出CM=BN，变式1转化为课本习题．

设计意图通过对变式1的分析，让学生感悟同一问题的不同表述方式，感受数学问题之间的相互联系．学生虽然能较直观地想象出变式1与课本习题的等价性，但缺少严密的逻辑推理．实际教学中应让学生充分暴露思维过程，体会数学推理的严密性，培养学生用联系的观点看问题的习惯，提升直观想象、逻辑推理和转化化归能力．

1.2 探究与发现

图6

变式2如图6，ABEF是边长为1的正方形，弧APB是以AB为直径的半圆，且AP=BP，平面ABEF⊥平面ABP，若M，N是线段BF上的两个动点，满足∠MAN=30°，求三棱锥P-AMN体积的最小值．

图7

图8

设计意图通过改编问题的背景和目标，实现教材的二次开发．在求体积最小值的过程中，将三维(体积)转化为二维(面积)，让学生感受转化与化归思想的重要性，并促使学生从多角度(如引入边参数、角参数等)构造函数模型，多维度分析解决问题，培养学生一题多解的思考习惯．

图9

变式3如图9，ABEF是边长为1的正方形，弧APB是以AB为直径的半圆，且AP=BP，若M，N是线段BF上两个动点，且满足∠MAN=30°，求三棱锥P-AMN体积的最大值．

设计意图变式3增加了翻折这一动态因素，形成多动态最值问题．通过类比变式2，将多变量问题转化为单变量问题，比较变式2的解法1、解法2，选择三角函数求最大值，加深对三角函数图象与性质的认知，促使学生深度理解、类比探究、选择应用，这是学习能力逐步提升的阶梯．

1.3 拓展与提升

图10

变式4(2016年浙江高考理科第16题)如图10，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=AD，PB=AB，则四面体PBCD体积的最大值是．

设计意图通过变式4，深度理解建立函数模型解决动态空间几何中的最值问题的基本步骤和方式，让学生感悟解题不只是关注结果，更重要的是如何选择最佳的路径，引入最合适的参数，采用最合理的运算等，优化学生的认知结构，培养数学思维能力，落实数学核心素养．

变式5(2019浙江赛区预赛第5题)如图10，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=AD，PB=AB，则点P到平面BCD距离的最大值是．

图11

解法2 如图11所示，过A作AH⊥BD，则点P到平面BCD的距离d≤AH，当且仅当平面PBD⊥平面BCD时取等号．随着D点运动，点H形成的轨迹是以AB为直径的一段(大于半圆的)圆弧，故AH的最大值为直径AB，即点P到平面BCD的距离的最大值为2．

设计意图通过变式5的分析、解答，让学生感受数学问题的相互联系，体会高考题、竞赛题的源与流，消除对动态立体几何问题的畏难情绪，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

1.4 回顾与总结

回顾本专题的学习过程，总结用函数模型解决动态空间几何中的最值问题的一般过程，深化理解数学问题分析过程中体现的类比推理、转化化归、分类讨论等数学思想方法．

设计意图数学理解的一个基本要求就是让学生理解知识、掌握思想方法．回顾不是简单地回头望，而是重新审视自己经历的过程，提炼过程中的精华，将新旧知识进行有效的重组与融合，形成新的认知结构．

2 教学反思

动态空间几何中的最值问题是一类综合性问题，注重考查学生的空间想象能力、抽象思维能力、转化构造能力．因此在高考、竞赛中备受命题人的关注．这类问题常考常新，解题方法主要有代数法：通过引入变量(参数)将所求问题转化为函数问题加以解决；几何法：结合问题特点，通过平移、旋转、展开等手段，将立体几何问题转化为平面几何问题加以解决．本专题结合近几年浙江省高考(竞赛)命题特点和学生学习情况，重点讲述用代数法解决动态空间几何中的最值问题．

(1)问题是数学知识的载体，是数学思维的源泉，问题设置的有效性是有效课堂教学的核心，数学学习始于问题且终于问题．在高中数学课堂教学，特别是高三备考复习教学中，尝试运用“题网”式问题链组织教学，不但有助于激发学生的探究欲，调动学生的学习兴趣，还能直击并有效突破教学重难点，促进知识的联系、渗透和迁移，提升课堂教学效果，发展学生的数学思维．而“题网”式问题链设置的一条重要途径是以教材为本，研究教材，找到设置的知识点，并结合不同阶段的教学内容、教学目标、学生的认知特点等精心设计、难易相当，使其成为引导学生探究数学问题的指明灯[3]．本专题从课本的习题出发，在吃透教材、明确习题考查的知识点的基础上，采用变换题干、改变角度、转化背景等方式，精心设计“题网”式问题链，并通过开展扎实有效的探究活动，发展学生的数学思维能力，培养学生的数学核心素养．

(2)探究性教学是以探索和研究为主的教学，问题驱动是探究性教学常用的教学手段，以问题为引领的探究性教学是提升学生数学思维能力的有效途径．为此，教师应明确所教学生的认知水平与数学学习能力，找准学生的“最近发展区”，充分抓住某些典型的数学问题，通过设置“题网”式问题链优化课堂教学环节，为学生创设探究的情景．在教会学生通性通法的基础上引导他们多角度、多层次地探究不同的思考方式，架起学生现有发展水平与潜在发展水平之间的桥梁，使学生进一步加深对数学基础知识、基本技能、基本思想方法的理解与掌握，积累基本活动经验，在学习数学知识的同时提高数学思维品质，增强分析问题、解决问题的能力．

(3)学生始终是学习的主体．构建主义认为，学习是学习者在一定的社会文化背景下，利用一定的学习资料，通过构建的方式来获得知识的过程．弗赖登塔尔认为，数学教学方法的核心是学生的“再创造”，就是让学生在现实活动中通过自己的实践和思考去创造、去获取数学知识，而不是生吞活剥地将数学知识灌输给学生．为此，在课堂教学中，教师应该在情境创设、交流合作、反思评价、诱导迁移等方面实施有指导的再创造，并把再创造的教学变成一个不断增值的过程，将所学的各个部分有机地结合起来．“题网”式问题链是有效的活动载体之一，它通过题题相连、层层深入，启发学生透过现象有效抓住问题的本质，拓展思维空间，促使学生构建出属于自己的解题结构与经验．通过总结归纳解题思路和方法，提高学生对数学整体知识结构的认识，在解决问题的同时锻炼学生独立思考能力与合作交流精神，提升数学核心素养．

总之，在高中数学课堂教学中，采用“题网”式问题

链的教学方式，能有效提升教学的针对性和有效性．“题网”式问题链的设计需要充分发挥数学教师的智慧，并结合学情，以培养学生创造性思维、探究能力为目的，才能达到最佳的教学效果．