遴选问题情境 还原概念生成——记一节优质课的设计与思考

朱 潇 刘静平 (湖北省黄石市第七中学 435000)

1 问题提出

从2003年《普通高中课程标准(实验稿)》(以下简称“课标”)颁布，到新一轮高考改革及新版《普通高中数学课程标准(2017年版)》[1](以下简称“新课标”)实施，我们看到一线课堂中很多概念课的讲授仍然是“一个定义、三项注意”，忽略了课标中提出的“还原知识的发生发展过程”的理念．新课标指出，在学习和应用数学过程中要发展学生六大数学学科核心素养．在概念教学中发展核心素养，更需要还原概念的生成过程，同时还需要遴选合适的问题情境．前者为发展核心素养提供了路径，后者为发展核心素养提供了媒介．在一次优质课评选中，笔者设计了一节“抛物线及其标准方程”新授课，尝试还原抛物线概念的生成过程，并始终围绕一个问题情境展开，以下简要阐述之．

2 教学设计片断

教材(人教版，选修2-1)中以“信息技术与应用”栏目直接给出定直线和定点，让学生借助几何画板找出抛物线上的点满足的几何关系，进而生成抛物线概念．由于前面椭圆和双曲线的概念都是到两定点的距离关系，而这里出现一个定点和一条直线，学生会思考:这条直线是什么？怎么来的？因此，抛物线的概念得出并不能由前面两种曲线类比得出，应该另辟蹊径．将物理中光的反射相关知识作为问题情境，学生经历定点和定直线形成过程，并在曲线上点的运动变化中发现不变性．还原知识的发生发展过程，积累基本活动经验，进而生成抛物线概念．

基于以上分析，将教学目标设定为：

(1) 通过凹面镜上光的反射问题，借助几何画板，经历抛物线焦点、准线形成过程，抽象出抛物线概念，提升直观想象、数学抽象核心素养；

(2)类比椭圆、双曲线标准方程推导流程，比较不同建系方法，协助学生推导抛物线标准方程，提升逻辑推理、数学建模、数学运算素养，进一步体会数形结合的思想；

(3)能用这节所学内容判断阿基米德“火镜”传说的真假，并了解抛物线的光学性质在我国自主研发的射电望远镜上的应用，强化“数学来源于生活、应用于生活”的数学观．

2.1 用数学的眼光观察世界

师：大家在小时候有没有听说过阿基米德用镜子烧毁敌人战船的传说啊？(邀请一位学生讲述故事梗概，教师补充)

故事梗概：公元前213年，罗马帝国想征服叙拉古王国，大量战船开进地中海的西西里岛，几次鏖战之后，叙拉古王国惨败，最后他们想死死守住自己的城堡．聪明的阿基米德制作了很多大镜子，镜子为抛物面．在战船开近城堡时，阿基米德让镜子一齐对准太阳，将太阳光反射到敌船上．不久，敌船船帆着火，火势蔓延，船上的士兵吓得胆战心惊，纷纷跳水逃命．

师：你们觉得这个传说是真的还是假的呢？(学生纷纷发表观点)我相信通过今天的学习，大家就能够有所判断了！(图1)

图1

2.2 用数学的思维思考世界

图2

师：太阳光近似为平行光，我们不妨借助几何画板，看看平行光照在曲面上会有什么特征(图2)．

问题1所有反射光线呈现出什么特点？

教学预设 所有反射光线交于一点.

师：我们不妨把这个点记为F,即平行光照在曲线上，反射光线都汇聚于点F．从这一点来看，阿基米德用抛物面镜烧船的传说有一定的可能性．

师：在光学里我们学过，光路是可逆的，如果在F处放置一个光源，则反射光线全是平行的．大家能够找到虚光源F′吗(图3)？

图3 图4

问题2当反射点改变时，光源F′呈现出什么特征？

教学预设F′的轨迹为一条直线(记为l)(图4).

追问：抛物线上的任意一点O与定点F、定直线l之间满足什么几何关系？

教学预设 抛物线上点到定点的距离等于到定直线的距离.

问题3你能结合刚才找到的几何关系给抛物线下定义吗？

抛物线:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

追问：若l经过点F，则动点轨迹为什么图形？

教学预设 轨迹为经过F且垂直于l的直线.

师：在学习了椭圆、双曲线概念后，我们构建了其标准方程，类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何建立抛物线的标准方程？

①建系设点;②列几何关系;③列代数关系;④化简验证(KF=p，p>0).

图5

教学预设 学生根据前两节已有的知识经验，在建系中最有可能出现以上三种建系方式(图5)，分小组进行运算化简后，对比化简后的方程形式．

2.3 用数学的语言表达世界

师：在课程开头，我们提到了阿基米德“火镜传说”的真假性问题，假设火镜顶部距离敌船有100 m，你能用今天所学的知识判断这个传说的真假吗？

教学预设 学生会从镜子口径、镜子材料、聚光稳定性等方面分析．

师：“火镜传说”可能是子虚乌有的，但现实生活中却有一个真实案例.我们国家设计出了一款名为“FAST”的射电望远镜(图6)，就是根据抛物线聚光原理而设计的，我们不妨一起来了解下．

图6

3 教学思考

(1) 创设合适的问题情境，为发展核心素养提供媒介

问题来源于情境，合适的情境有助于提出更有质量的问题．新课标指出，在教学活动中应结合教学任务及其蕴含的数学学科素养设置合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题．本节课始终围绕抛物线的光学性质展开，跨学科的问题情境吸引了学生注意力，并且首尾呼应，一古一今、一假一真．在研究反射点的“变中不变性”时，抛物线概念在这个问题情境中自然而然得出，学生的数学抽象素养在情境、问题的有效互动中得以提升．

(2) 还原概念的生成过程，为发展核心素养提供路径

数学抽象是数学概念生成的必由之路．还原概念的生成，是为提升数学抽象素养提供路径．李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也．”但是在一线教学中，还有很多教师直接抛出概念，然后通过设置例题、习题，以期通过题目巩固概念的理解，这无异于揠苗助长．学生也只是表面理解、模仿操作而已．例如，给定一个函数，很多学生会求出导函数，但是对于导数的概念却知之甚少．还原概念的生成，学生才能真正理解概念，进而理解数学本质．

(3)反思教材的呈现方式，为发展核心素养提供载体

教材是核心素养落地的载体．“教教材”是将教材作为一种权威，照本宣科；而“用教材教”是将教材作为一种资源，在教学中通过资源的组织、整合，转化为教学智慧．本节课在教材的基础上做了两点处理：一是通过创设问题情境，生成焦点与准线；二是改变了教材中直接给出的“对称建系法”．因为对定直线的理解上，对比前面椭圆、双曲线定义，学生存在认知障碍；其次，在建系过程中学生最容易想到的不是课本中的建系方法，而是以准线所在的直线为y轴这种建系方式，应在此处放手让学生进行思维的碰撞．最后对比分析，数学的对称美、简洁美就水到渠成了．